Fórmula de suma de Abel

Versión de integración por partes del método de Abel para la suma por partes

En matemáticas , la fórmula de suma de Abel , introducida por Niels Henrik Abel , se utiliza intensamente en la teoría analítica de números y en el estudio de funciones especiales para calcular series .

Fórmula

Sea una secuencia de números reales o complejos . Defina la función suma parcial mediante ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(t)=\sum _{0\leq n\leq t}a_{n}}$

para cualquier número real . Fijemos los números reales , y sea una función continuamente diferenciable en . Entonces: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [x,y]}$

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,du.}$

La fórmula se deriva de la aplicación de la integración por partes para una integral de Riemann-Stieltjes a las funciones y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$

Variaciones

Si tomamos el extremo izquierdo como se obtiene la fórmula ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \sum _{0\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{0}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.}$

Si la secuencia está indexada a partir de , entonces podemos definir formalmente . La fórmula anterior se convierte en ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.}$

Una forma común de aplicar la fórmula de suma de Abel es tomar el límite de una de estas fórmulas como . Las fórmulas resultantes son ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du.\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones se cumplen siempre que ambos límites en el lado derecho existan y sean finitos.

Un caso particularmente útil es la secuencia para todos los . En este caso, . Para esta secuencia, la fórmula de suma de Abel se simplifica a ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle A(x)=\lfloor x+1\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{0\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x+1\rfloor \phi (x)-\int _{0}^{x}\lfloor u+1\rfloor \phi '(u)\,du.}$

De manera similar, para la secuencia y para todo , la fórmula se convierte en ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x\rfloor \phi (x)-\int _{1}^{x}\lfloor u\rfloor \phi '(u)\,du.}$

Al tomar el límite como , encontramos ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x+1\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }\lfloor u+1\rfloor \phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }\lfloor u\rfloor \phi '(u)\,du,\end{aligned}}}$

suponiendo que ambos términos del lado derecho existen y son finitos.

La fórmula de suma de Abel se puede generalizar al caso en el que solo se supone que es continua si la integral se interpreta como una integral de Riemann-Stieltjes : ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\,d\phi (u).}$

Al tomar como la función suma parcial asociada a alguna secuencia, esto conduce a la fórmula de suma por partes . ${\displaystyle \phi }$

Ejemplos

Números armónicos

Si para y entonces y la fórmula da ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \phi (x)=1/x,}$ ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,du.}$

El lado izquierdo es el número armónico . ${\displaystyle H_{\lfloor x\rfloor }}$

Representación de la función zeta de Riemann

Arreglar un número complejo . Si para y entonces y la fórmula se convierte en ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \phi (x)=x^{-s},}$ ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s}}}+s\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.}$

Si , entonces el límite como existe y produce la fórmula ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.}$

donde es la función zeta de Riemann . Esto se puede utilizar para derivar el teorema de Dirichlet que tiene un polo simple con residuo  1 en s = 1 . ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

Recíproco de la función zeta de Riemann

La técnica del ejemplo anterior también se puede aplicar a otras series de Dirichlet . Si es la función de Möbius y , entonces es la función de Mertens y ${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$ ${\displaystyle \phi (x)=x^{-s}}$ ${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\,du.}$

Esta fórmula es válida para . ${\displaystyle \Re (s)>1}$

Véase también

• Suma por partes
• Integración por partes

Referencias

• Apostol, Tom (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas , Springer-Verlag.