Solenoide (matemáticas)

Clase de espacios topológicos compactos conexos

En esta página se analiza una clase de grupos topológicos. Para el bucle de cable enrollado, consulte Solenoide .

El solenoide Smale-Williams.

En matemáticas , un solenoide es un espacio topológico compacto y conexo (es decir, un continuo ) que puede obtenerse como el límite inverso de un sistema inverso de grupos topológicos y homomorfismos continuos .

${\displaystyle f_{i}:S_{i+1}\to S_{i}\quad \forall i\geq 0}$

donde cada uno es un círculo y f _i es la función que envuelve uniformemente el círculo para tiempos ( ) alrededor del círculo . ^{[1] : Cap. 2 Def. (10.12)} Esta construcción se puede llevar a cabo geométricamente en el espacio euclidiano tridimensional R ^{3 . Un solenoide es un} continuo indecomponible homogéneo unidimensional que tiene la estructura de un grupo topológico compacto abeliano . ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i+1}}$ ${\displaystyle n_{i+1}}$ ${\displaystyle n_{i+1}\geq 2}$ ${\displaystyle S_{i}}$

Los solenoides fueron introducidos por primera vez por Vietoris para el caso, ^[2] y por van Dantzig para el caso, donde es fijo. ^{[3] Un solenoide de este tipo surge como un} atractor expansivo unidimensional , o atractor de Smale-Williams , y constituye un ejemplo importante en la teoría de sistemas dinámicos hiperbólicos . ${\displaystyle n_{i}=2}$ ${\displaystyle n_{i}=n}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Construcción

Construcción geométrica y el atractor de Smale-Williams

Un toro sólido envuelto dos veces alrededor de otro toro sólido en R ³

Los primeros seis pasos en la construcción del atractor Smale-Williams.

Cada solenoide puede construirse como la intersección de un sistema anidado de toros sólidos incrustados en R ³ .

Fijemos una secuencia de números naturales { n _i }, n _i ≥ 2. Sea T ₀ = S ¹ × D un toro sólido . Para cada i ≥ 0, elijamos un toro sólido T _{i +1} que esté envuelto longitudinalmente n _i veces dentro del toro sólido T _i . Luego su intersección

${\displaystyle \Lambda =\bigcap _{i\geq 0}T_{i}}$

es homeomorfo al solenoide construido como el límite inverso del sistema de círculos con las funciones determinadas por la secuencia { n _i }.

He aquí una variante de esta construcción aislada por Stephen Smale como un ejemplo de un atractor en expansión en la teoría de sistemas dinámicos suaves. Denotemos la coordenada angular en el círculo S ¹ por t (se define módulo 2π) y consideremos la coordenada compleja z en el disco unitario bidimensional D . Sea f la función del toro sólido T = S ¹ × D en sí mismo dada por la fórmula explícita

${\displaystyle f(t,z)=\left(2t,{\tfrac {1}{4}}z+{\tfrac {1}{2}}e^{it}\right).}$

Este mapa es una incrustación suave de T en sí mismo que preserva la foliación por discos meridionales (las constantes 1/2 y 1/4 son algo arbitrarias, pero es esencial que 1/4 < 1/2 y 1/4 + 1/2 < 1). Si T se imagina como un tubo de goma, el mapa f lo estira en la dirección longitudinal, contrae cada disco meridional y envuelve el tubo deformado dos veces dentro de T con torsión, pero sin autointersecciones. El conjunto hiperbólico Λ del sistema dinámico discreto ( T , f ) es la intersección de la secuencia de toros sólidos anidados descritos anteriormente, donde T _i es la imagen de T bajo la i ésima iteración del mapa f . Este conjunto es un atractor unidimensional (en el sentido de dimensión topológica ) , y la dinámica de f en Λ tiene las siguientes propiedades interesantes:

• Los discos meridionales son las variedades estables , cada una de las cuales interseca a Λ sobre un conjunto de Cantor
• Los puntos periódicos de f son densos en Λ
• La función f es topológicamente transitiva en Λ

La teoría general de solenoides y atractores en expansión, no necesariamente unidimensional, fue desarrollada por RF Williams e involucra un sistema proyectivo de infinitas copias de una variedad ramificada compacta en lugar del círculo, junto con una autoinmersión en expansión .

Construcción en coordenadas toroidales

En las coordenadas toroidales con radio , el solenoide se puede parametrizar mediante como donde ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

${\displaystyle \omega _{k}={\frac {1}{n_{1}\cdots n_{k}}},\quad r_{k}=R\delta _{1}\cdots \delta _{k}}$

Aquí se encuentran los parámetros de forma ajustables, con restricción . En particular, funciona. ${\displaystyle \delta _{k}}$ ${\displaystyle 0<\delta <1-{\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n_{k}}}}}}$ ${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2n_{k}}}}$

Sea el solenoide construido de esta manera, entonces la topología del solenoide es simplemente la topología de subconjunto inducida por la topología euclidiana en . ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Dado que la parametrización es biyectiva, podemos hacer un pullback de la topología a , que se convierte en el solenoide. Esto nos permite construir las funciones límite inversas de forma explícita: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle g_{k}:\mathbb {R} \to S_{k},\quad g_{k}(t)=(r,\theta ,\zeta ){\text{ in toroidal coordinates, where }}\zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{k}r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

Construcción por dinámica simbólica

Visto como un conjunto, el solenoide es simplemente un continuo de círculos de Cantor, conectados entre sí de una manera particular. Esto nos sugiere la construcción mediante dinámica simbólica , donde comenzamos con un círculo como "pista de carreras" y agregamos un "odómetro" para llevar un registro de en qué círculo nos encontramos.

Defina como el solenoide. A continuación, defina la adición en el odómetro , de la misma manera que los números p-ádicos. A continuación, defina la adición en el solenoide por La topología en el solenoide se genera por la base que contiene los subconjuntos , donde es cualquier intervalo abierto en , y es el conjunto de todos los elementos de comenzando con el segmento inicial . ${\displaystyle S=S^{1}\times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}\to \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle +:\mathbb {R} \times S\to S}$ $${\displaystyle r+(\theta ,n)=((r+\theta \mod 1),\lfloor r+\theta \rfloor +n)}$$ ${\displaystyle S'\times Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$ ${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle (m_{1},...,m_{k})}$

Propiedades patológicas

Los solenoides son espacios metrizables compactos que están conexos , pero no conexos localmente ni conexos por trayectorias . Esto se refleja en su comportamiento patológico con respecto a varias teorías de homología , en contraste con las propiedades estándar de homología para complejos simpliciales . En la homología de Čech , se puede construir una secuencia de homología larga no exacta utilizando un solenoide. En las teorías de homología de estilo Steenrod , ^[4] el grupo de homología 0 de un solenoide puede tener una estructura bastante complicada, aunque un solenoide sea un espacio conexo.

Véase también

• Protorus , una clase de grupos topológicos que incluye los solenoides
• Dualidad de Pontryagin
• Límite inverso
• número p-ádico
• Entero profinito

Referencias

1. Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979). Resumen Análisis Armónico I: Estructura de Grupos Topológicos Teoría de Integración Representaciones de Grupos . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 115. Berlín-Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-1-4419-8638-2. ISBN 978-0-387-94190-5.
2. Vietoris, L. (diciembre de 1927). "Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen". Annalen Matemáticas . 97 (1): 454–472. doi :10.1007/bf01447877. ISSN  0025-5831. S2CID  121172198.
3. van Dantzig, D. (1930). "Ueber topologisch homogene Kontinua". Fundamentos Mathematicae . 15 : 102-125. doi : 10.4064/fm-15-1-102-125 . ISSN  0016-2736.
4. "Homología de Steenrod-Sitnikov - Enciclopedia de Matemáticas".

• D. van Dantzig, Ueber topologisch homogene Kontinua , Fondo. Matemáticas. 15 (1930), págs. 102-125
• "Solenoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Clark Robinson, Sistemas dinámicos: estabilidad, dinámica simbólica y caos , 2.ª edición, CRC Press, 1998 ISBN 978-0-8493-8495-0 
• S. Smale, Sistemas dinámicos diferenciables, Boletín de la AMS , 73 (1967), 747 – 817.
• L. Vietoris, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen , Math. Ana. 97 (1927), págs. 454–472
• Robert F. Williams, Atractores en expansión, Publ. Math. IHÉS, t. 43 (1974), págs. 169–203

Lectura adicional

• Semmes, Stephen (12 de enero de 2012), Algunas observaciones sobre solenoides , arXiv : 1201.2647 , Bibcode :2012arXiv1201.2647S