sistema dinkin

Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables

Un sistema Dynkin , ^[1] que lleva el nombre de Eugene Dynkin , es una colección de subconjuntos de otro conjunto universal que satisface un conjunto de axiomas más débiles que los del 𝜎-álgebra . Los sistemas Dynkin a veces se denominan sistemas 𝜆 (el propio Dynkin usó este término) o sistema d . ^[2] Estas familias de conjuntos tienen aplicaciones en teoría de medidas y probabilidad . ${\displaystyle \Omega }$

Una aplicación importante de los sistemas 𝜆 es el teorema π -𝜆, ver más abajo.

Definición

Sea un conjunto no vacío y sea una colección de subconjuntos de (es decir, es un subconjunto del conjunto potencia de ). Entonces es un sistema Dynkin si ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$

1. ${\displaystyle \Omega \in D;}$
2. ${\displaystyle D}$está cerrado bajo complementos de subconjuntos en superconjuntos: si y entonces ${\displaystyle A,B\in D}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle B\setminus A\in D;}$
3. ${\displaystyle D}$está cerrado bajo uniones crecientes contables : si es una secuencia creciente ^{[nota 1]} de conjuntos en entonces ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

Es fácil comprobar ^{[prueba 1]} que cualquier sistema Dynkin satisface: ${\displaystyle D}$

4. ${\displaystyle \varnothing \in D;}$
5. ${\displaystyle D}$está cerrado bajo complementos en : si entonces ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle A\in D,}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A\in D;}$
   • Tomar muestra que ${\displaystyle A:=\Omega }$ ${\displaystyle \varnothing \in D.}$
6. ${\displaystyle D}$está cerrado bajo uniones contables de conjuntos disjuntos por pares : si es una secuencia de conjuntos disjuntos por pares en (lo que significa que para todos ) entonces ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$
   • Para ser claros, esta propiedad también es válida para secuencias finitas de conjuntos disjuntos por pares (al permitir para todos ). ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle A_{i}:=\varnothing }$ ${\displaystyle i>n}$

Por el contrario, es fácil comprobar que una familia de conjuntos que satisfacen las condiciones 4 a 6 es una clase Dynkin. ^{[prueba 2]} Por esta razón, un pequeño grupo de autores ha adoptado las condiciones 4-6 para definir un sistema Dynkin, ya que son más fáciles de verificar.

Un hecho importante es que cualquier sistema Dynkin que también sea un sistema π (es decir, cerrado bajo intersecciones finitas) es un 𝜎-álgebra . Esto se puede verificar observando que las condiciones 2 y 3 junto con el cierre bajo intersecciones finitas implican cierre bajo uniones finitas, lo que a su vez implica cierre bajo uniones contables.

Dada cualquier colección de subconjuntos de, existe un sistema Dynkin único denotado que es mínimo con respecto a contener. Es decir, si cualquier sistema Dynkin contiene, entonces se llama sistema Dynkin generado por. Por ejemplo, para otro ejemplo, sea y ; entonces ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}},}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}.}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$ ${\displaystyle D\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\Omega \}.}$ ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1\}}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}.}$

Teorema π-λ de Sierpiński-Dynkin

Teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin : ^[3] Si es un sistema π y es un sistema Dynkin con entonces ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P\subseteq D,}$ ${\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D.}$

En otras palabras, el álgebra 𝜎 generada por está contenida en Por lo tanto, un sistema Dynkin contiene un sistema π si y solo si contiene el álgebra 𝜎 generada por ese sistema π . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D.}$

Una aplicación del teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin es la unicidad de una medida que evalúa la longitud de un intervalo (conocida como medida de Lebesgue ):

Sea el intervalo unitario [0,1] con la medida de Lebesgue en conjuntos de Borel . Sea otra medida para satisfacer y sea la familia de conjuntos tales que Sea y observe que está cerrada bajo intersecciones finitas, que y que es el álgebra 𝜎 generada por Se puede demostrar que satisface las condiciones anteriores para un sistema Dynkin. Del teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin se deduce que, de hecho, incluye todos los de , lo que equivale a demostrar que la medida de Lebesgue es única en . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},\ell )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle m[(a,b)]=b-a,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m[S]=\ell [S].}$ ${\displaystyle I:=\{(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]:0<a\leq b<1\},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq D,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Aplicación a distribuciones de probabilidad.

El teorema π -𝜆 motiva la definición común de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria en términos de su función de distribución acumulativa . Recuerde que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$

mientras que la ley

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$

espacios de probabilidadiguales en distribuciónleyπ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Un resultado similar es válido para la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, supongamos que y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad con sistemas π generados respectivamente y La función de distribución acumulativa conjunta de es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$ ${\displaystyle (X,Y)}$

$${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

Sin embargo, y porque ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$

$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$

ππ ${\displaystyle (X,Y),}$ ${\displaystyle (X,Y).}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (W,Z)}$

En la teoría de los procesos estocásticos , se sabe que dos procesos tienen la misma distribución si y sólo si coinciden en todas las distribuciones de dimensión finita; es decir, para todos ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$

$${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

La prueba de esto es otra aplicación del teorema π -𝜆. ^[4]

Ver también

• Álgebra de conjuntos  : identidades y relaciones que involucran conjuntos
• δ -ring  - Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos
• Clase monótona  – teoremaPages displaying wikidata descriptions as a fallbackPages displaying short descriptions with no spaces
• π -sistema  - Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• σ-álgebra  - Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ideal  – Familia cerrada en subconjuntos y uniones contables
• 𝜎-ring  – Anillo cerrado bajo uniones contables

Notas

1. Una secuencia de conjuntos se llama creciente si es para todos ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

Pruebas

1. Suponga que satisface (1), (2) y (3). Prueba de (5) : La propiedad (5) se deriva de (1) y (2) usando El siguiente lema se utilizará para probar (6). Lema : si son disjuntos, entonces Prueba del lema : implica dónde por (5). Ahora (2) implica que contiene de modo que (5) garantiza lo que prueba el lema. Prueba de (6) Supongamos que son conjuntos disjuntos por pares en Para cada número entero, el lema implica que donde porque es creciente, (3) garantiza que contiene su unión como se desea. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle B:=\Omega .}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle B\subseteq \Omega \setminus A,}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (\Omega \setminus A)\setminus B=\Omega \setminus (A\cup B)}$ ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {D}},}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle D_{n}:=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq D_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle D_{1}\cup D_{2}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Suponga que satisface (4), (5) y (6). Prueba de (2) : Si satisface entonces (5) implica y dado que (6) implica que contiene , de modo que finalmente (4) garantiza que está en Prueba de (3) : Supongamos que es una secuencia creciente de subconjuntos en let y let para cada donde (2) garantiza que todos pertenecen a Dado que son disjuntos por pares, (6) garantiza que su unión pertenece a lo que prueba (3). ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \Omega \setminus B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (\Omega \setminus B)\cap A=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (\Omega \setminus B)\cup A=\Omega \setminus (B\setminus A)}$ ${\displaystyle \Omega \setminus (\Omega \setminus (B\setminus A))=B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}},}$ ${\displaystyle D_{1}=A_{1},}$ ${\displaystyle D_{i}=A_{i}\setminus A_{i-1}}$ ${\displaystyle i>1,}$ ${\displaystyle D_{2},D_{3},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2},D_{3},\ldots }$ ${\displaystyle D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

1. Dynkin, E., "Fundamentos de la teoría de los procesos de Markov", Moscú, 1959
2. Aliprantis, Charalambos; Frontera, Kim C. (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista (Tercera ed.). Saltador . Consultado el 23 de agosto de 2010 .
3. Sengupta. "Conferencias sobre teoría de la medida lección 6: El teorema de Dynkin π - λ" (PDF) . Matemáticas.lsu . Consultado el 3 de enero de 2023 .
4. Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna , p. 48

Referencias

• Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Nueva York: Springer. doi :10.1007/b138932. ISBN 0-387-22833-0.
• Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y Medida . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Williams, David (2007). Probabilidad con Martingalas. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 193.ISBN _ 0-521-40605-6.

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