Sistema algebraico diferencial de ecuaciones.

En matemáticas , un sistema de ecuaciones algebraico diferencial ( DAE ) es un sistema de ecuaciones que contiene ecuaciones diferenciales y ecuaciones algebraicas , o es equivalente a dicho sistema.

El conjunto de las soluciones de tal sistema es una variedad algebraica diferencial , y corresponde a un ideal en un álgebra diferencial de polinomios diferenciales .

En el caso univariado , un DAE en la variable t se puede escribir como una única ecuación de la forma

${\displaystyle F(x'(t),x(t),t)=0,}$

donde es un vector de funciones desconocidas. ${\displaystyle x(t)}$

Se diferencian de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) en que una DAE no tiene solución completa para las derivadas de todos los componentes de la función x porque es posible que no aparezcan todos (es decir, algunas ecuaciones son algebraicas); Técnicamente, la distinción entre un sistema ODE implícito [que puede volverse explícito] y un sistema DAE es que la matriz jacobiana es una matriz singular para un sistema DAE. ^[1] Esta distinción entre ODE y DAE se hace porque los DAE tienen características diferentes y generalmente son más difíciles de resolver. ^[2] ${\displaystyle {\frac {\partial F(u,v,t)}{\partial u}}}$

En términos prácticos, la distinción entre DAE y ODE es a menudo que la solución de un sistema DAE depende de las derivadas de la señal de entrada y no sólo de la señal misma como en el caso de las ODE; ^[3] este problema se encuentra comúnmente en sistemas no lineales con histéresis , ^[4] como el disparador Schmitt . ^[5]

Esta diferencia es más claramente visible si el sistema se puede reescribir de modo que en lugar de x consideremos un par de vectores de variables dependientes y el DAE tenga la forma ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}}$

dónde y​​ ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.}$

Un sistema DAE de esta forma se denomina semiexplícito . ^[1] Cada solución de la segunda mitad g de la ecuación define una dirección única para x a través de la primera mitad f de las ecuaciones, mientras que la dirección para y es arbitraria. Pero no todo punto (x,y,t) es solución de g . Las variables en x y la primera mitad f de las ecuaciones obtienen el atributo diferencial . Las componentes de y y la segunda mitad g de las ecuaciones se denominan variables algebraicas o ecuaciones del sistema. [El término algebraico en el contexto de DAE solo significa libre de derivados y no está relacionado con el álgebra (abstracta).]

La solución de un DAE consta de dos partes, primero la búsqueda de valores iniciales consistentes y segundo el cálculo de una trayectoria. Para encontrar valores iniciales consistentes, a menudo es necesario considerar las derivadas de algunas de las funciones componentes del DAE. El orden más alto de una derivada que es necesario para este proceso se llama índice de diferenciación . Las ecuaciones derivadas al calcular el índice y los valores iniciales consistentes también pueden ser útiles en el cálculo de la trayectoria. Un sistema DAE semiexplícito se puede convertir en uno implícito disminuyendo el índice de diferenciación en uno y viceversa. ^[6]

Otras formas de DAE

La distinción entre DAE y EDO se vuelve evidente si algunas de las variables dependientes ocurren sin sus derivadas. El vector de variables dependientes puede entonces escribirse como par y el sistema de ecuaciones diferenciales del DAE aparece en la forma ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0}$

dónde

• ${\displaystyle x}$, un vector en , son variables dependientes para las cuales están presentes derivadas ( variables diferenciales ), ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\displaystyle y}$, un vector en , son variables dependientes para las cuales no hay derivadas ( variables algebraicas ), ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• ${\displaystyle t}$, un escalar (normalmente el tiempo) es una variable independiente.
• ${\displaystyle F}$es un vector de funciones que involucran subconjuntos de estas variables y derivadas. ${\displaystyle n+m}$ ${\displaystyle n+m+1}$ ${\displaystyle n}$

En su conjunto, el conjunto de DAE es una función

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.}$

Las condiciones iniciales deben ser una solución del sistema de ecuaciones de la forma

${\displaystyle F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

Ejemplos

El comportamiento de un péndulo de longitud L con centro en (0,0) en coordenadas cartesianas ( x , y ) se describe mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}}$

donde es un multiplicador de Lagrange . Las variables de momento u y v deben estar limitadas por la ley de conservación de la energía y su dirección debe apuntar a lo largo del círculo. Ninguna condición es explícita en esas ecuaciones. La diferenciación de la última ecuación conduce a ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}}$

restringiendo la dirección del movimiento a la tangente del círculo. La siguiente derivada de esta ecuación implica

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}}$

y la derivada de esa última identidad simplifica a lo que implica la conservación de la energía ya que después de la integración la constante es la suma de la energía cinética y potencial. ${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$ ${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy}$

Para obtener valores derivados únicos para todas las variables dependientes, la última ecuación se diferenció tres veces. Esto da un índice de diferenciación de 3, que es típico de los sistemas mecánicos restringidos.

Si se dan valores iniciales y un signo para y , las otras variables se determinan mediante , y si entonces y . Para pasar al siguiente punto basta con obtener las derivadas de x y u , es decir, el sistema a resolver ahora es ${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle v=-ux/y}$ ${\displaystyle \lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}}$

Este es un DAE semiexplícito de índice 1. Se puede obtener otro conjunto de ecuaciones similares a partir de y un signo para x . ${\displaystyle (y_{0},v_{0})}$

Los DAE también ocurren naturalmente en el modelado de circuitos con dispositivos no lineales. El análisis nodal modificado que emplea DAE se utiliza, por ejemplo, en la omnipresente familia SPICE de simuladores de circuitos numéricos. ^[7] De manera similar, el paquete Analog Insydes Mathematica de Fraunhofer se puede utilizar para derivar DAE de una lista de redes y luego simplificar o incluso resolver las ecuaciones simbólicamente en algunos casos. ^{[8] [9]} Vale la pena señalar que el índice de un DAE (de un circuito) se puede hacer arbitrariamente alto conectando en cascada/acoplando amplificadores operacionales a través de condensadores con retroalimentación positiva . ^[4]

DAE semiexplícito del índice 1

DAE de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}}$

se llaman semiexplícitos. La propiedad del índice 1 requiere que g tenga solución para y . En otras palabras, el índice de diferenciación es 1 si por diferenciación de las ecuaciones algebraicas para t resulta un sistema EDO implícito,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}}$

que es solucionable si ${\displaystyle ({\dot {x}},\,{\dot {y}})}$ ${\displaystyle \det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.}$

Cada DAE suficientemente fluido es casi en todas partes reducible a esta forma de índice 1 semiexplícito.

Tratamiento numérico de DAE y aplicaciones.

Dos problemas importantes para resolver los DAE son la reducción del índice y las condiciones iniciales consistentes . La mayoría de los solucionadores numéricos requieren ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

No es una tarea trivial convertir sistemas DAE arbitrarios en EDO para su solución mediante solucionadores de EDO puros. Las técnicas que pueden emplearse incluyen el algoritmo de Pantelides y el método de reducción del índice de derivada ficticia . Alternativamente, también es posible una solución directa de DAE de alto índice con condiciones iniciales inconsistentes. Este enfoque de solución implica una transformación de los elementos derivados mediante colocación ortogonal en elementos finitos o transcripción directa a expresiones algebraicas. Esto permite resolver DAE de cualquier índice sin reordenamiento en forma de ecuación abierta.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

Una vez que el modelo se ha convertido a la forma de ecuación algebraica, se puede resolver mediante solucionadores de programación no lineal a gran escala (consulte APMonitor ).

Tratabilidad

Se han desarrollado varias medidas de la trazabilidad de los DAE en términos de métodos numéricos, como el índice de diferenciación , el índice de perturbación , el índice de trazabilidad , el índice geométrico y el índice de Kronecker . ^{[10] [11]}

Análisis estructural para DAE

Usamos el método -para analizar un DAE. Construimos para el DAE una matriz de firmas , donde cada fila corresponde a cada ecuación y cada columna corresponde a cada variable . La entrada en posición es , que denota el orden más alto de derivada que ocurre en , o si no ocurre en . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j})}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \sigma _{i,j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle f_{i}}$

Para el péndulo DAE anterior, las variables son . La matriz de firma correspondiente es ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

Ver también

• Ecuación diferencial algebraica , un concepto diferente a pesar del nombre similar
• Ecuación diferencial de retardo
• Ecuación algebraica diferencial parcial
• Lenguaje modelico

Referencias

1. Uri M. Ascher; Linda R. Petzold (1998). Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas diferenciales . SIAM. pag. 12.ISBN​ 978-1-61197-139-2.
2. Achim Ilchmann; Timo Reis (2014). Encuestas en ecuaciones algebraicas diferenciales II . Saltador. págs. 104-105. ISBN 978-3-319-11050-9.
3. Renate Merker; Wolfgang Schwarz, eds. (2001). Automatización del diseño de sistemas: fundamentos, principios, métodos, ejemplos . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 221.ISBN​ 978-0-7923-7313-1.
4. KE Brenan; SL Campbell; LR Petzold (1996). Solución numérica de problemas de valores iniciales en ecuaciones algebraicas diferenciales . SIAM. págs. 173-177. ISBN 978-1-61197-122-4.
5. Gunther, M.; Feldmann, U.; Ter Maten, J. (2005). "Modelado y discretización de problemas de circuitos". Métodos numéricos en electromagnética. Manual de análisis numérico. vol. 13. pág. 523. doi :10.1016/S1570-8659(04)13006-8. ISBN 978-0-444-51375-5., págs. 529-531
6. Ascher y Petzold, pág. 234
7. Ricardo Riaza (2013). "DAE en modelado de circuitos: una encuesta". En Achim Ilchmann; Timo Reis (eds.). Encuestas en ecuaciones algebraicas diferenciales I. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-34928-7.
8. Platte, D.; Jing, S.; Sommer, R.; Barke, E. (2007). "Mejora de la eficiencia y robustez de los modelos de comportamiento analógicos". Avances en lenguajes de diseño y especificación para sistemas integrados . pag. 53. doi :10.1007/978-1-4020-6149-3_4. ISBN 978-1-4020-6147-9.
9. Hauser, M.; Salzig, C.; Dreyer, A. (2011). "Reducción de pedidos de modelos simbólicos rápida y robusta con Analog Insydes". Álgebra informática en informática científica . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 6885. pág. 215. doi :10.1007/978-3-642-23568-9_17. ISBN 978-3-642-23567-2.
10. Ricardo Riaza (2008). Sistemas algebraicos diferenciales: aspectos analíticos y aplicaciones de circuitos . Científico mundial. págs. 5–8. ISBN 978-981-279-181-8.
11. Takamatsu, Mizuyo; Iwata, Satoru (2008). "Caracterización de índices de ecuaciones algebraicas diferenciales en análisis híbrido para simulación de circuitos" (PDF) . Revista internacional de teoría y aplicaciones de circuitos . 38 (4): 419–440. doi :10.1002/cta.577. S2CID  3875504. Archivado desde el original (PDF) el 16 de diciembre de 2014 . Consultado el 9 de noviembre de 2022 .

Otras lecturas

Libros

• Hairer, E.; Wanner, G. (1996). Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias II: problemas rígidos y algebraicos diferenciales (2ª edición revisada). Berlín: Springer-Verlag.
• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998). Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas diferenciales . Filadelfia: SIAM. ISBN 978-0-89871-412-8.
• Kunkel, Peter; Mehrmann, Volker Ludwig (2006). Ecuaciones algebraicas diferenciales: análisis y solución numérica. Zúrich, Suiza: Sociedad Matemática Europea. ISBN 978-3-03719-017-3.
• Kazuo Murota (2009). Matrices y Matroides para Análisis de Sistemas . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-03994-2.(Cubre el enfoque estructural para calcular el índice DAE).
• Matías Gerdts (2012). Control Óptimo de ODEs y DAEs . Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-024999-6.
• Lamour, René; März, Roswitha ; Tischendorf, Caren (2013). Ecuaciones algebraicas diferenciales: un análisis basado en proyector . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-27554-8.

Varios papeles

• G. Fabián; el fiscal del distrito van Beek; JE Rooda (2001). "Manejo de discontinuidades y reducción de índices mediante ecuaciones sustitutas" (PDF) . Modelado matemático e informático de sistemas dinámicos . 7 (2): 173–187. CiteSeerX  10.1.1.8.5859 . doi :10.1076/mcmd.7.2.173.3646. S2CID  14450374. Archivado desde el original (PDF) el 26 de abril de 2005.
• Ilie, Silvana; Corless, Robert M.; Reid, Greg (2006). "Las soluciones numéricas de ecuaciones algebraicas diferenciales del índice −1 se pueden calcular en tiempo polinomial". Algoritmos Numéricos . 41 (2): 161-171. CiteSeerX  10.1.1.71.7366 . doi :10.1007/s11075-005-9007-1. S2CID  14684538.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2005). "Resolución de ecuaciones algebraicas diferenciales mediante series de Taylor (I): cálculo de coeficientes de Taylor" (PDF) . POCO . 45 (3): 561–591. doi :10.1007/s10543-005-0019-y. S2CID  16451180.
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• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2007). "Resolución de ecuaciones algebraicas diferenciales mediante series de Taylor (III): el código DAETS" (PDF) . Revista de Análisis Numérico, Matemática Industrial y Aplicada (JNAIAM) . 1 (1): 1–30. ISSN  1790-8140.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D.; Bronceado, Guangning (2014). "DAESA: una herramienta Matlab para el análisis estructural de ecuaciones algebraicas diferenciales: software" (PDF) . Transacciones ACM sobre software matemático . 41 (2): 1–14. doi :10.1145/2700586. S2CID  16655498.
• Pryce, John D.; Nedialkov, Ned S.; Bronceado, Guangning (2014). "DAESA: una herramienta Matlab para el análisis estructural de ecuaciones algebraicas diferenciales: algoritmo" (PDF) . Transacciones ACM sobre software matemático . 41 (2): 1–20. doi :10.1145/2689664. S2CID  311443.
• Roubíček, T.; Valášek, M. (2002). "Control óptimo de sistemas algebraicos diferenciales causales". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 269 ​​(2): 616–641. doi : 10.1016/s0022-247x(02)00040-9 .

enlaces externos

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations