Sistema de coordenadas universal transversal de Mercator

Sistema de proyección de mapas

El Universal Transverse Mercator ( UTM ) es un sistema de proyección de mapas para asignar coordenadas a ubicaciones en la superficie de la Tierra . Al igual que el método tradicional de latitud y longitud , es una representación de posición horizontal , lo que significa que ignora la altitud y trata la superficie terrestre como un elipsoide perfecto . Sin embargo, se diferencia de la latitud/longitud global en que divide la Tierra en 60 zonas y proyecta cada una de ellas al plano como base para sus coordenadas. Especificar una ubicación significa especificar la zona y las coordenadas x , y en ese plano. La proyección del esferoide a una zona UTM es una parametrización de la proyección transversal de Mercator . Los parámetros varían según la nación, la región o el sistema cartográfico.

La mayoría de las zonas en UTM abarcan 6 grados de longitud y cada una tiene un meridiano central designado. Se especifica que el factor de escala en el meridiano central es 0,9996 de escala real para la mayoría de los sistemas UTM en uso. ^{[1] [2]}

Zonas UTM en un mapa mundial equirectangular con zonas irregulares en rojo y la zona de la ciudad de Nueva York resaltada

Historia

El sitio web de la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (NOAA) afirma que el sistema fue desarrollado por el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de los Estados Unidos , a partir de principios de la década de 1940. ^[3] Sin embargo, una serie de fotografías aéreas encontradas en el Bundesarchiv-Militärarchiv (la sección militar de los Archivos Federales alemanes ) que aparentemente datan de 1943-1944 llevan la inscripción UTMREF seguida de letras cuadriculadas y dígitos, y proyectadas según el Mercator transversal. , ^[4] un hallazgo que indicaría que algo llamado sistema de referencia UTM fue desarrollado en el período 1942-43 por la Wehrmacht . Probablemente fue realizado por el Abteilung für Luftbildwesen (Departamento de Fotografía Aérea). A partir de 1947, el ejército estadounidense empleó un sistema muy similar, pero con el factor de escala ahora estándar de 0,9996 en el meridiano central, a diferencia del 1,0 alemán. ^[4] Para áreas dentro de los Estados Unidos contiguos se utilizó el Elipsoide de Clarke de 1866 ^{[5] .} Para el resto de áreas de la Tierra, incluida Hawái , se utilizó el Elipsoide Internacional ^{[6] .} El elipsoide WGS84 del Sistema Geodésico Mundial ahora se usa generalmente para modelar la Tierra en el sistema de coordenadas UTM, lo que significa que el norte UTM actual en un punto determinado puede diferir hasta 200 metros del anterior. Para diferentes regiones geográficas, se pueden utilizar otros sistemas de referencia .

Antes del desarrollo del sistema de coordenadas Universal Transverse Mercator, varias naciones europeas demostraron la utilidad de los mapas conformes basados ​​en cuadrículas al mapear su territorio durante el período de entreguerras . Calcular la distancia entre dos puntos en estos mapas se podía realizar más fácilmente en el campo (usando el teorema de Pitágoras ) que usando las fórmulas trigonométricas requeridas bajo el sistema de latitud y longitud basado en retículas . En los años de la posguerra, estos conceptos se ampliaron al sistema de coordenadas Universal Transverse Mercator/ Universal Polar Stereographic (UTM/UPS), que es un sistema global (o universal) de mapas basados ​​en cuadrículas.

La proyección transversal de Mercator es una variante de la proyección de Mercator , que fue desarrollada originalmente por el geógrafo y cartógrafo flamenco Gerardus Mercator , en 1570. Esta proyección es conforme , lo que significa que conserva ángulos y, por lo tanto, formas en regiones pequeñas. Sin embargo, distorsiona la distancia y el área.

Definiciones

zona UTM

Vista simplificada de zonas UTM contiguas de EE. UU. , proyectadas con cónica conforme de Lambert.

El sistema UTM divide la Tierra en 60 zonas, cada una de 6° de longitud de ancho. La zona 1 cubre la longitud de 180° a 174° W; la numeración de zonas aumenta hacia el este hasta la zona 60, que cubre la longitud 174°E a 180°. Se excluyen las regiones polares al sur de 80°S y al norte de 84°N .

Cada una de las 60 zonas utiliza una proyección transversal de Mercator que puede mapear una región de gran extensión norte-sur con baja distorsión. Al utilizar zonas estrechas de 6° de longitud (hasta 668 km) de ancho y reducir el factor de escala a lo largo del meridiano central a 0,9996 (una reducción de 1:2500), la cantidad de distorsión se mantiene por debajo de 1 parte en 1000 en el interior. cada zona. La distorsión de escala aumenta a 1,0010 en los límites de la zona a lo largo del ecuador .

En cada zona, el factor de escala del meridiano central reduce el diámetro del cilindro transversal para producir una proyección secante con dos líneas estándar , o líneas de escala verdadera, de aproximadamente 180 km a cada lado y aproximadamente paralelas al meridiano central ( Arco cos 0,9996 = 1,62° en el Ecuador). La escala es menor que 1 dentro de las líneas estándar y mayor que 1 fuera de ellas, pero la distorsión general se minimiza.

Excepciones

Las zonas UTM son uniformes en todo el mundo, excepto en dos zonas. En la costa suroeste de Noruega , la zona 32 se extiende 3° más al oeste y la zona 31 se reduce correspondientemente para cubrir únicamente aguas abiertas. Además, en la región alrededor de Svalbard , las zonas 32, 34 y 36 no se utilizan, mientras que las zonas 31 (9° de ancho), 33 (12° de ancho), 35 (12° de ancho) y 37 (9° de ancho) sí lo son. extendido para cubrir los huecos.

Cuadrículas superpuestas

Las zonas de cuadrícula Universal Transverse Mercator (UTM) 31N a 37N difieren de la zona estándar de 6° de ancho por 84° para el hemisferio norte, en parte para acomodar la parte occidental del Reino de Noruega. Para obtener más información sobre su historia, consulte el artículo de Clifford J. Mugnier sobre Grids & Datums of The Kingdom of Noruega que apareció en la edición de octubre de 1999 de PE&RS http://www.asprs.org/a/resources/grids/10-99- noruega.pdf

La distorsión de escala aumenta en cada zona UTM a medida que se acercan los límites entre las zonas UTM. Sin embargo, muchas veces es conveniente o necesario medir una serie de ubicaciones en una sola cuadrícula cuando algunas están ubicadas en dos zonas adyacentes. Alrededor de los límites de los mapas a gran escala (1:100.000 o mayor), las coordenadas de ambas zonas UTM contiguas generalmente se imprimen dentro de una distancia mínima de 40 km a cada lado del límite de una zona. Idealmente, las coordenadas de cada posición deberían medirse en la cuadrícula de la zona en la que se encuentran, pero debido a que el factor de escala aún es relativamente pequeño cerca de los límites de la zona, es posible superponer mediciones en una zona contigua a cierta distancia cuando sea necesario. .

Bandas de latitud

Las bandas de latitud no forman parte de UTM, ^[7] sino más bien parte del sistema de referencia de cuadrícula militar (MGRS). ^[8] Sin embargo, a veces se incluyen en notación UTM. Incluir bandas de latitud en la notación UTM puede generar coordenadas ambiguas (ya que la letra "S" se refiere al hemisferio sur o a una banda de latitud en el hemisferio norte) y, por lo tanto, debe evitarse.

Localizar una posición usando coordenadas UTM

Una posición en la Tierra viene dada por el número de zona UTM y el designador de hemisferio y el par de coordenadas planas este y norte en esa zona.

El punto de origen de cada zona UTM es la intersección del ecuador y el meridiano central de la zona. Para evitar tratar con números negativos, un falso Este deSe añaden −500.000 metros al meridiano central. Así, un punto que tiene un este de400.000 metros está a unos 100 km al oeste del meridiano central. Para la mayoría de esos puntos, la distancia real sería de poco más de 100 km medida en la superficie de la Tierra debido a la distorsión de la proyección. Las esteras UTM varían desde aproximadamente166 000 metros a834.000 metros en el ecuador.

En el hemisferio norte, las posiciones se miden hacia el norte desde cero en el ecuador. El valor máximo de "norte" es aproximadamente9.300.000 metros en la latitud 84 grados Norte, el extremo norte de las zonas UTM. El norte del hemisferio sur en el ecuador se establece en10 000 000 metros. Los nortes disminuyen hacia el sur desde estos10 000 000 metros a aproximadamente1.100.000 metros a 80 grados Sur, el extremo sur de las zonas UTM. Por lo tanto, ningún punto tiene un valor de norte negativo.

Por ejemplo, la Torre CN está en 43°38′33.24″N 79°23′13.7″W / 43.6425667°N 79.387139°W / 43.6425667; -79.387139 (Torre CN) , que está en la zona UTM 17, y la posición de la cuadrícula es630 084  m al este,4 833 438  m al norte. Dos puntos de la Zona 17 tienen estas coordenadas, uno en el hemisferio norte y otro en el sur; el formato no ambiguo es especificar el designador de zona y hemisferio completo, es decir, "17N 630084 4833438".

Fórmulas simplificadas

Estas fórmulas son una versión truncada de Transverse Mercator: series de aplanamiento, que originalmente fueron derivadas por Johann Heinrich Louis Krüger en 1912. ^[9] Tienen una precisión de alrededor de un milímetro dentro3000 km del meridiano central. ^[10] También se han dado comentarios concisos para su derivación. ^{[11] [12]}

El sistema de referencia espacial WGS 84 describe la Tierra como un esferoide achatado a lo largo del eje norte-sur con un radio ecuatorial de kilómetros y un aplanamiento inverso de . Tomemos un punto de latitud y longitud y calculemos sus coordenadas UTM, así como el factor de escala de puntos y la convergencia de meridianos utilizando un meridiano de longitud de referencia . Por convención, en el hemisferio norte km y en el hemisferio sur km. Por convención también y km. ${\displaystyle a=6378.137}$ ${\displaystyle 1/f=298.257\,223\,563}$ ${\displaystyle \,\varphi }$ ${\displaystyle \,\lambda }$ ${\displaystyle k\,\!}$ ${\displaystyle \gamma \,\!}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle N_{0}=0}$ ${\displaystyle N_{0}=10000}$ ${\displaystyle k_{0}=0.9996}$ ${\displaystyle E_{0}=500}$

En las siguientes fórmulas, las distancias están en kilómetros . Primero, aquí hay algunos valores preliminares:

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {f}{2-f}},&A&={\frac {a}{1+n}}\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}+\cdots \right),\\{}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {5}{16}}n^{3},&\alpha _{2}&={\frac {13}{48}}n^{2}-{\frac {3}{5}}n^{3},&\alpha _{3}&={\frac {61}{240}}n^{3},\\[12pt]\beta _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {37}{96}}n^{3},&\beta _{2}&={\frac {1}{48}}n^{2}+{\frac {1}{15}}n^{3},&\beta _{3}&={\frac {17}{480}}n^{3},\\[12pt]\delta _{1}&=2n-{\frac {2}{3}}n^{2}-2n^{3},&\delta _{2}&={\frac {7}{3}}n^{2}-{\frac {8}{5}}n^{3},&\delta _{3}&={\frac {56}{15}}n^{3}.\end{aligned}}}$

Desde latitud, longitud ( φ , λ ) hasta coordenadas UTM (E, N)

Primero calculamos algunos valores intermedios:

${\displaystyle t=\sinh \left(\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)-{\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\tanh ^{-1}\left({\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\sin \varphi \right)\right),}$

${\displaystyle \xi '=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{\cos(\lambda -\lambda _{0})}}\right),\,\,\,\eta '=\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin(\lambda -\lambda _{0})}{\sqrt {1+t^{2}}}}\right),}$

${\displaystyle \sigma =1+\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\cosh(2j\eta '),\,\,\,\tau =\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\sinh(2j\eta ').}$

Las fórmulas finales son:

${\displaystyle E=E_{0}+k_{0}A\left(\eta '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\sinh(2j\eta ')\right),}$

${\displaystyle N=N_{0}+k_{0}A\left(\xi '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\cosh(2j\eta ')\right),}$

${\displaystyle k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{t^{2}+\cos ^{2}(\lambda -\lambda _{0})}}}},}$

${\displaystyle \gamma =\tan ^{-1}\left({\frac {\tau {\sqrt {1+t^{2}}}+\sigma t\tan(\lambda -\lambda _{0})}{\sigma {\sqrt {1+t^{2}}}-\tau t\tan(\lambda -\lambda _{0})}}\right).}$

donde es el Este, es el Norte, es el Factor de Escala y es la Convergencia de la Red. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$

Desde coordenadas UTM (E, N, Zona, Hemi) hasta latitud, longitud ( φ , λ )

Nota: Hemi = +1 para el Norte, Hemi = −1 para el Sur

Primero calculemos algunos valores intermedios:

${\displaystyle \xi ={\frac {N-N_{0}}{k_{0}A}},\,\,\,\eta ={\frac {E-E_{0}}{k_{0}A}},}$

${\displaystyle \xi '=\xi -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\eta '=\eta -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),}$

${\displaystyle \sigma '=1-\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\tau '=\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),}$

${\displaystyle \chi =\sin ^{-1}\left({\frac {\sin \xi '}{\cosh \eta '}}\right).}$

Las fórmulas finales son:

${\displaystyle \varphi =\chi +\sum _{j=1}^{3}\delta _{j}\sin \left(2j\chi \right),}$

${\displaystyle \lambda _{0}=\mathrm {Z} \mathrm {o} \mathrm {n} \mathrm {e} \times 6^{\circ }-183^{\circ }\,}$

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+\tan ^{-1}\left({\frac {\sinh \eta '}{\cos \xi '}}\right),}$

${\displaystyle k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\cos ^{2}\xi '+\sinh ^{2}\eta '}{\sigma '^{2}+\tau '^{2}}}}},}$

${\displaystyle \gamma =\mathrm {H} \mathrm {e} \mathrm {m} \mathrm {i} \times \tan ^{-1}\left({\frac {\tau '+\sigma '\tan \xi '\tanh \eta '}{\sigma '-\tau '\tan \xi '\tanh \eta '}}\right).}$

Ver también

• Sistema Europeo de Referencia Terrestre 1989 (ETRS89)
• Sistema de referencia de cuadrícula militar , una variante de UTM diseñada para simplificar la transferencia de coordenadas.
• Mercator transversal modificado , una variación de UTM utilizada en Canadá con zonas espaciadas 3° de longitud en comparación con los 6° de UTM.
• Proyección transversal de Mercator , la proyección cartográfica utilizada por UTM.
• Sistema de coordenadas estereográficas polares universales , utilizado en los polos norte y sur.
• Open Location Code , un sistema zonificado jerárquico
• MapCode , un sistema zonificado jerárquico

Referencias

1. "Mercator transversal universal (UTM)". Biblioteca de software de transformación de coordenadas PROJ .^{[ enlace muerto permanente ]}
2. Snyder, John P. (1987). Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo . Imprenta del gobierno de EE. UU.
3. Dracup, Josef F. "Historia de la NOAA - Topografía y cartografía - Estudios geodésicos 1940 - 1990". www.historia.noaa.gov . Archivado desde el original el 18 de diciembre de 2019.
4. Buchroithner, Manfred F .; Pfahlbusch, René. Cuadrículas geodésicas en mapas autorizados: nuevos hallazgos sobre el origen de la cuadrícula UTM. Cartografía y Ciencias de la Información Geográfica, 2016, doi:10.1080/15230406.2015.1128851.
5. Radio ecuatorial 6.378.206,4 metros, radio polar 6.356.583,8 metros
6. Radio ecuatorial 6.378.388 metros, recíproco del aplanamiento 297 exactamente
7. "LAS REJILLAS UNIVERSALES: Universal Transverse Mercator (UTM) y Universal Polar Stereographic (UPS)" (PDF) . Agencia_de_inteligencia_geoespacial_nacional . 1989-09-18. Archivado (PDF) desde el original el 13 de febrero de 2024 . Consultado el 13 de febrero de 2024 .
8. "Lectura de mapas militares 201" (PDF) . Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial . 29 de mayo de 2002 . Consultado el 19 de junio de 2009 .
9. Krüger, Luis (1912). "Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene". Deutsches GeoForschungsZentrum GFZ. doi :10.2312/GFZ.b103-krueger28. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
10. Karney, Charles FF (2011). "Transversal de Mercator con una precisión de unos pocos nanómetros". Revista de Geodesia . 85 (8): 475–485. arXiv : 1002.1417 . Código Bib : 2011JGeod..85..475K. doi :10.1007/s00190-011-0445-3. S2CID  118619524.
11. Kawase, K. (2012): Derivación concisa de fórmulas extensas de conversión de coordenadas en la proyección Gauss-Krüger, Boletín de la Autoridad de Información Geoespacial de Japón , 60 , págs.
12. Kawase, K. (2011): Una fórmula general para calcular la longitud del arco de los meridianos y su aplicación a la conversión de coordenadas en la proyección Gauss-Krüger, Boletín de la Autoridad de Información Geoespacial de Japón, 59 , 1-13

enlaces externos

• Coordenadas UTM en Google Maps.
• Comprender la proyección UTM.

Otras lecturas

• Snyder, John P. (1987). Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo. Documento profesional del Servicio Geológico de EE. UU. 1395. Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos, Washington, DC