Valor singular

Raíces cuadradas de los valores propios del operador autoadjunto

En matemáticas , en particular en análisis funcional , los valores singulares de un operador compacto que actúa entre espacios de Hilbert y , son las raíces cuadradas de los valores propios (necesariamente no negativos) del operador autoadjunto (donde denota el adjunto de ). ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T^{*}T}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$

Los valores singulares son números reales no negativos , generalmente enumerados en orden decreciente ( σ ₁ ( T ), σ ₂ ( T ), …). El valor singular más grande σ ₁ ( T ) es igual a la norma del operador de T (ver Teorema de mínimo-máximo ).

Visualización de una descomposición en valores singulares (SVD) de una matriz de cizallamiento real bidimensional M . Primero, vemos el disco unitario en azul junto con los dos vectores unitarios canónicos . Luego vemos la acción de M , que distorsiona el disco a una elipse . La SVD descompone M en tres transformaciones simples: una rotación V ^* , un escalado Σ a lo largo de los ejes de coordenadas rotados y una segunda rotación U . Σ es una matriz diagonal (cuadrada, en este ejemplo) que contiene en su diagonal los valores singulares de M , que representan las longitudes σ ₁ y σ ₂ de los semiejes de la elipse.

Si T actúa sobre el espacio euclidiano , existe una interpretación geométrica simple para los valores singulares: considere la imagen de la esfera unitaria ; ésta es un elipsoide , y las longitudes de sus semiejes son los valores singulares de (la figura proporciona un ejemplo en ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Los valores singulares son los valores absolutos de los valores propios de una matriz normal A , porque el teorema espectral se puede aplicar para obtener la diagonalización unitaria de como . Por lo tanto, . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}$ ${\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}$

La mayoría de las normas sobre operadores del espacio de Hilbert estudiadas se definen utilizando valores singulares. Por ejemplo, la norma Fan - k de Ky es la suma de los primeros k valores singulares, la norma de traza es la suma de todos los valores singulares y la norma de Schatten es la raíz p de la suma de las potencias p de los valores singulares. Nótese que cada norma se define solo sobre una clase especial de operadores, por lo tanto, los valores singulares pueden ser útiles para clasificar diferentes operadores.

En el caso de dimensión finita, una matriz siempre se puede descomponer en la forma , donde y son matrices unitarias y es una matriz diagonal rectangular con los valores singulares en la diagonal. Esta es la descomposición en valores singulares . ${\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V^{*}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

Propiedades básicas

Para , y . ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}$

Teorema de mínimo-máximo para valores singulares . Aquí hay un subespacio de dimensión . ${\displaystyle U:\dim(U)=i}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}}$

La transposición y conjugación de matrices no alteran los valores singulares.

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).}$

Para cualquier unitario ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.}$

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}$

Relación con los valores propios:

${\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).}$

Relación con el rastro :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A}$.

Si es de rango completo, el producto de valores singulares es . ${\displaystyle A^{\top }A}$ ${\displaystyle {\sqrt {\det A^{\top }A}}}$

Si es de rango completo, el producto de valores singulares es . ${\displaystyle AA^{\top }}$ ${\displaystyle {\sqrt {\det AA^{\top }}}}$

Si es de rango completo, el producto de valores singulares es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\det A|}$

El valor singular más pequeño

El valor singular más pequeño de una matriz A es σ _n ( A ). Tiene las siguientes propiedades para una matriz A no singular:

• La norma 2 de la matriz inversa (A ^-1 ) es igual a la inversa σ _n ^-1 ( A ). ^{[1] : Teoría 3.3}
• Los valores absolutos de todos los elementos de la matriz inversa (A ^-1 ) son como máximo la inversa de σ _n ^-1 ( A ). ^{[1] : Teoría 3.3}

Intuitivamente, si σ _n ( A ) es pequeño, entonces las filas de A son "casi" linealmente dependientes. Si es σ _n ( A ) = 0, entonces las filas de A son linealmente dependientes y A no es invertible.

Desigualdades sobre valores singulares

Véase también. ^[2]

Valores singulares de submatrices

Para ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.}$

1. Sea denotado con una de sus filas o columnas eliminadas. Entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$$
2. Sea denotado con una de sus filas y columnas eliminadas. Entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$$
3. Sea una submatriz de . Entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (m-k)\times (n-\ell )}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sigma _{i+k+\ell }(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$$

Valores singulares deA+B

Para ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$

1. $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}}$$
2. $${\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}$$

Valores singulares deDe

Para ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

1. $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}$$
2. $${\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.}$$

Para ^[3] ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ $${\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$$

Valores singulares y valores propios

Para . ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

1. Ver ^[4] $${\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$$
2. Supongamos . Entonces para : ${\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$
   1. Teorema de Weyl $${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}$$
   2. Para . ${\displaystyle p>0}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}$$

Historia

Este concepto fue introducido por Erhard Schmidt en 1907. Schmidt llamó a los valores singulares "valores propios" en ese momento. El nombre "valor singular" fue citado por primera vez por Smithies en 1937. En 1957, Allahverdiev demostró la siguiente caracterización del n -ésimo número singular: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}$

Esta formulación permitió extender la noción de valores singulares a los operadores del espacio de Banach . Nótese que existe un concepto más general de números s , que también incluye el ancho de Gelfand y de Kolmogorov.

Véase también

• Número de condición
• Teorema de entrelazamiento de Cauchy o teorema de separación de Poincaré
• Teorema de Schur-Horn
• Descomposición en valores singulares

Referencias

1. Demmel, James W. (enero de 1997). Álgebra lineal numérica aplicada. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. doi :10.1137/1.9781611971446. ISBN 978-0-89871-389-3.
2. RA Horn y CR Johnson . Temas de análisis matricial. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Cap. 3
3. X. Zhan. Desigualdades matriciales. Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, 2002. p.28
4. R. Bhatia. Análisis de matrices. Springer-Verlag, Nueva York, 1997. Prop. III.5.1
5. IC Gohberg y MG Krein . Introducción a la teoría de operadores lineales no autoadjuntos. American Mathematical Society, Providence, RI, 1969. Traducido del ruso por A. Feinstein. Traducciones de monografías matemáticas, vol. 18.