Desigualdad de Weyl

Desigualdades en la teoría de números y la teoría de matrices

En álgebra lineal , la desigualdad de Weyl es un teorema sobre los cambios en los valores propios de una matriz hermítica perturbada. Se puede utilizar para estimar los valores propios de una matriz hermítica perturbada.

Desigualdad de Weyl sobre la perturbación

Sea hermítico en el espacio de producto interno con dimensión , con espectro ordenado en orden descendente . Nótese que estos valores propios pueden ordenarse, porque son reales (como valores propios de matrices hermíticas). ^[1] ${\textstyle A}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}$

Desigualdad de Weyl  —  $${\displaystyle \lambda _{i+j-1}(A+B)\leq \lambda _{i}(A)+\lambda _{j}(B)\leq \lambda _{i+j-n}(A+B)}$$

Prueba

Por el teorema mínimo-máximo , basta demostrar que para cualquier vector unitario con dimensión , existe un vector unitario tal que . ${\textstyle W\subset V}$ ${\textstyle i+j-1}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle \langle w,(A+B)w\rangle \leq \lambda _{i}(A)+\lambda _{j}(B)}$

Por el principio min-max, existe un vector con codimensión , tal que De manera similar, existe un vector con codimensión . Ahora tiene codimensión , por lo que tiene una intersección no trivial con . Sea , y tenemos el vector deseado. ${\textstyle W_{A}}$ ${\textstyle (i-1)}$ $${\displaystyle \lambda _{i}(A)=\max _{x\in W_{A};\|x\|=1}\langle x,Ax\rangle }$$ ${\textstyle W_{B}}$ ${\textstyle j-1}$ ${\textstyle W_{A}\cap W_{B}}$ ${\textstyle \leq i+j-2}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle w\in W\cap W_{A}\cap W_{B}}$

El segundo es un corolario del primero, al tomar la negación.

La desigualdad de Weyl establece que el espectro de matrices hermíticas es estable bajo perturbación. En concreto, tenemos: ^[1]

Corolario (Estabilidad espectral)  :  donde es la norma del operador. $${\displaystyle \lambda _{k}(A+B)-\lambda _{k}(A)\in [\lambda _{n}(B),\lambda _{1}(B)]}$$ $${\displaystyle |\lambda _{k}(A+B)-\lambda _{k}(A)|\leq \|B\|_{op}}$$
$${\displaystyle \|B\|_{op}=\max(|\lambda _{1}(B)|,|\lambda _{n}(B)|)}$$

En la jerga, se dice que es Lipschitz-continua en el espacio de matrices hermíticas con norma del operador. ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Desigualdad de Weyl entre valores propios y valores singulares

Sean valores singulares y valores propios ordenados de tal manera que . Entonces ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(A)\geq \cdots \geq \sigma _{n}(A)\geq 0}$ ${\displaystyle |\lambda _{1}(A)|\geq \cdots \geq |\lambda _{n}(A)|}$

${\displaystyle |\lambda _{1}(A)\cdots \lambda _{k}(A)|\leq \sigma _{1}(A)\cdots \sigma _{k}(A)}$

Para , con igualdad para . ^[2] ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle k=n}$

Aplicaciones

Estimación de perturbaciones del espectro

Supongamos que es pequeño en el sentido de que su norma espectral satisface para algún pequeño . Entonces se deduce que todos los valores propios de están acotados en valor absoluto por . Aplicando la desigualdad de Weyl, se deduce que los espectros de las matrices hermíticas M y N son cercanos en el sentido de que ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \|R\|_{2}\leq \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle |\mu _{i}-\nu _{i}|\leq \epsilon \qquad \forall i=1,\ldots ,n.}$

Sin embargo, tenga en cuenta que este límite de perturbación del valor propio es generalmente falso para matrices no hermíticas (o más exactamente, para matrices no normales). Para un contraejemplo, sea arbitrariamente pequeño y considere ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&0\\1/t^{2}&0\end{bmatrix}},\qquad N=M+R={\begin{bmatrix}0&1\\1/t^{2}&0\end{bmatrix}},\qquad R={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

cuyos valores propios y no satisfacen . ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$ ${\displaystyle \nu _{1}=+1/t,\nu _{2}=-1/t}$ ${\displaystyle |\mu _{i}-\nu _{i}|\leq \|R\|_{2}=1}$

Desigualdad de Weyl para valores singulares

Sea una matriz con . Sus valores singulares son los valores propios positivos de la matriz aumentada hermítica ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\times n}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq n}$ ${\displaystyle \sigma _{k}(M)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p+n)\times (p+n)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&M\\M^{*}&0\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, la desigualdad de perturbación de valores propios de Weyl para matrices hermíticas se extiende naturalmente a la perturbación de valores singulares. ^[1] Este resultado proporciona el límite para la perturbación en los valores singulares de una matriz debido a una perturbación aditiva : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle |\sigma _{k}(M+\Delta )-\sigma _{k}(M)|\leq \sigma _{1}(\Delta )}$

donde observamos que el mayor valor singular coincide con la norma espectral . ${\displaystyle \sigma _{1}(\Delta )}$ ${\displaystyle \|\Delta \|_{2}}$

Notas

1. Tao, Terence (13 de enero de 2010). "254A, Notas 3a: Valores propios y sumas de matrices hermitianas". Blog de Terence Tao . Consultado el 25 de mayo de 2015 .
2. Roger A. Horn y Charles R. Johnson Temas de análisis matricial. Cambridge, 1.ª edición, 1991. pág. 171
3. Weyl, Hermann. "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer parteller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung)". Mathematische Annalen 71, núm. 4 (1912): 441-479.

Referencias

• Teoría de matrices , Joel N. Franklin, (Dover Publications, 1993) ISBN 0-486-41179-6 
• "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer parteller Differentialgleichungen", H. Weyl, Math. Ann., 71 (1912), 441–479