Teorema de separación de Poincaré

En matemáticas , el teorema de separación de Poincaré , también conocido como teorema de entrelazado de Cauchy , ^[1] proporciona algunos límites superior e inferior de valores propios de una matriz simétrica real B'AB que puede considerarse como la proyección ortogonal de una matriz simétrica real más grande A. en un subespacio lineal atravesado por las columnas de  B . El teorema lleva el nombre de Henri Poincaré .

Más específicamente, sea A una matriz simétrica real de n  ×  n y B una matriz semiortogonal de n  ×  r tal que B'B = I _r . Denota por , i  = 1, 2, ...,  n y , i  = 1, 2, ...,  r los valores propios de A y B'AB , respectivamente (en orden descendente). Tenemos ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$

${\displaystyle \lambda _{i}\geq \mu _{i}\geq \lambda _{n-r+i},}$

Prueba

Se ha publicado una prueba algebraica, basada en la interpretación variacional de valores propios , en Magnus' Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics . ^[2] Desde el punto de vista geométrico, B'AB puede considerarse como la proyección ortogonal de A sobre el subespacio lineal abarcado por B , por lo que los resultados anteriores se siguen inmediatamente. ^[3]

Referencias

1. Min-max_theorem#Cauchy_interlacing_theorem
2. Magnus, enero R.; Neudecker, Heinz (1988). Cálculo Diferencial Matricial con Aplicaciones en Estadística y Econometría . John Wiley e hijos. pag. 209.ISBN​ 0-471-91516-5.
3. Richard Bellman (1 de diciembre de 1997). Introducción al análisis matricial: segunda edición. SIAM. págs.118–. ISBN 978-0-89871-399-2.