La función signum es diferenciable con derivada 0 en todas partes excepto en 0. No es diferenciable en 0 en el sentido ordinario, pero bajo la noción generalizada de diferenciación en la teoría de la distribución , la derivada de la función signum es dos veces la función delta de Dirac , que se puede demostrar usando la identidad [2]
Por razones de simetría, y para mantener una generalización adecuada de la función signum en los reales, también en el dominio complejo que uno suele definir, por :
Otra generalización de la función de signo para expresiones reales y complejas es , [5] que se define como:
Entonces tenemos (para ):
Función signum generalizada
En valores reales de , es posible definir una función generalizada –versión de la función signum, tal que en todas partes, incluido el punto , a diferencia de , para el cual . Este signum generalizado permite la construcción del álgebra de funciones generalizadas , pero el precio de tal generalización es la pérdida de conmutatividad . En particular, el signum generalizado anticonmuta con la función delta de Dirac [6]
Generalización a matrices
Gracias al teorema de descomposición polar , una matriz ( y ) se puede descomponer como un producto donde es una matriz unitaria y es una matriz definida positiva autoadjunta, o hermitiana, ambas en . Si es invertible, entonces dicha descomposición es única y desempeña el papel de signum. Una construcción dual viene dada por la descomposición donde es unitaria, pero generalmente diferente a . Esto lleva a que cada matriz invertible tenga un signo izquierdo y un signo derecho únicos .
En el caso especial donde y la matriz (invertible) , que se identifica con el número complejo (distinto de cero) , entonces las matrices signum satisfacen y se identifican con el signum complejo de ,. En este sentido, la descomposición polar generaliza a matrices la descomposición signo-módulo de números complejos.
^ Madrigueras, BL; Colwell, DJ (1990). "La transformada de Fourier de la función escalón unitario". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 21 (4): 629–635. doi :10.1080/0020739900210418.
^ Documentación de Arce V. 21 de mayo de 1998
^ Yu.M.Shirokov (1979). "Álgebra de funciones generalizadas unidimensionales". Física Teórica y Matemática . 39 (3): 471–477. doi :10.1007/BF01017992. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2012.