Grupo con operadores

Concepto en matemáticas sobre conjuntos que operan sobre grupos

En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un grupo con operadores o grupo Ω es una estructura algebraica que puede verse como un grupo junto con un conjunto Ω que opera sobre los elementos del grupo de una manera especial.

Los grupos con operadores fueron estudiados ampliamente por Emmy Noether y su escuela en la década de 1920. Ella empleó el concepto en su formulación original de los tres teoremas de isomorfismo de Noether .

Definición

Un grupo con operadores se puede definir ^[1] como un grupo junto con una acción de un conjunto en : ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle G=(G,\cdot )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

que es distributiva respecto a la ley de grupo:

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.}$

Para cada , la aplicación es entonces un endomorfismo de G . De esto, resulta que un grupo Ω también puede verse como un grupo G con una familia indexada de endomorfismos de G . ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle g\mapsto g^{\omega }}$ ${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$

${\displaystyle \Omega }$se llama dominio del operador . Los endomorfismos asociados ^[2] se denominan homotecias de G .

Dados dos grupos G , H con el mismo dominio de operadores , un homomorfismo de grupos con operadores de a es un homomorfismo de grupo que satisface ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle (H,\Omega )}$ ${\displaystyle \phi :G\to H}$

${\displaystyle \phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }}$Para todos y ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle g\in G.}$

Un subgrupo S de G se denomina subgrupo estable , -subgrupo o -subgrupo invariante si respeta las homotecias, es decir ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$Para todos y ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

Observaciones sobre la teoría de categorías

En teoría de categorías , un grupo con operadores puede definirse ^[3] como un objeto de una categoría de funtores Grp ^M donde M es un monoide (es decir, una categoría con un objeto) y Grp denota la categoría de grupos . Esta definición es equivalente a la anterior, siempre que sea un monoide (si no, podemos ampliarla para incluir la identidad y todas las composiciones ). ${\displaystyle \Omega }$

Un morfismo de esta categoría es una transformación natural entre dos funtores (es decir, dos grupos con operadores que comparten el mismo dominio de operadores M  ). Nuevamente recuperamos la definición anterior de un homomorfismo de grupos con operadores (siendo f el componente de la transformación natural).

Un grupo con operadores también es un mapeo

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

donde es el conjunto de endomorfismos de grupo de G . ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$

Ejemplos

• Dado cualquier grupo G , ( G , ∅) es trivialmente un grupo con operadores
• Dado un módulo M sobre un anillo R , R actúa por multiplicación escalar sobre el grupo abeliano subyacente de M , por lo que ( M , R ) es un grupo con operadores.
• Como caso especial de lo anterior, cada espacio vectorial sobre un cuerpo K es un grupo con operadores ( V , K ).

Aplicaciones

El teorema de Jordan-Hölder también se cumple en el contexto de grupos con operadores. El requisito de que un grupo tenga una serie de composición es análogo al de compacidad en topología , y a veces puede ser un requisito demasiado estricto. Es natural hablar de "compacidad relativa a un conjunto", es decir, hablar de series de composición donde cada subgrupo ( normal ) es un subgrupo de operadores relativo al conjunto de operadores X , del grupo en cuestión.

Véase también

• Acción grupal

Notas

1. Bourbaki 1974, pág. 31.
2. Bourbaki 1974, págs. 30-31.
3. Mac Lane 1998, pág. 41.

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1974). Elementos de matemáticas: Álgebra I, capítulos 1 a 3. Hermann. ISBN 2-7056-5675-8.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de matemáticas: Álgebra I, capítulos 1 a 3. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.