Serie de Eisenstein analítica real

En matemáticas , la serie de Eisenstein analítica real más simple es una función especial de dos variables. Se utiliza en la teoría de representación de SL(2, R ) y en la teoría analítica de números . Está estrechamente relacionada con la función zeta de Epstein.

Hay muchas generalizaciones asociadas a grupos más complicados.

Definición

La serie de Eisenstein E ( z , s ) para z = x + iy en el semiplano superior está definida por

${\displaystyle E(z,s)={1 \over 2}\sum _{(m,n)=1}{y^{s} \over |mz+n|^{2s}}}$

para Re( s ) > 1, y por continuación analítica para otros valores del número complejo s . La suma se obtiene sobre todos los pares de números enteros coprimos.

Advertencia : existen otras definiciones ligeramente diferentes. Algunos autores omiten el factor de ⁠1/2⁠ , y alguna suma sobre todos los pares de números enteros que no sean ambos cero; lo que cambia la función por un factor de ζ(2 s ).

Propiedades

Como una función enel

Considerada como una función de z , E ( z , s ) es una función propia analítica real del operador de Laplace sobre H con el valor propio s ( s -1). En otras palabras, satisface la ecuación diferencial parcial elíptica

${\displaystyle -y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)E(z,s)=s(1-s)E(z,s),}$

dónde ${\displaystyle z=x+yi.}$

La función E ( z , s ) es invariante bajo la acción de SL(2, Z ) sobre z en el semiplano superior por transformaciones lineales fraccionarias . Junto con la propiedad anterior, esto significa que la serie de Eisenstein es una forma de Maass , un análogo analítico real de una función modular elíptica clásica .

Advertencia : E ( z , s ) no es una función integrable al cuadrado de z con respecto a la métrica riemanniana invariante en H .

Como una función ens

La serie de Eisenstein converge para Re( s )>1, pero puede continuarse analíticamente hasta una función meromórfica de s en todo el plano complejo, con en el semiplano Re( s ) 1/2 un único polo de residuo 3/π en s = 1 (para todo z en H ) e infinitos polos en la franja 0 < Re( s ) < 1/2 en donde corresponde a un cero no trivial de la función zeta de Riemann. El término constante del polo en s = 1 se describe mediante la fórmula del límite de Kronecker . ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \rho /2}$ ${\displaystyle \rho }$

La función modificada

${\displaystyle E^{*}(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)E(z,s)\ }$

satisface la ecuación funcional

${\displaystyle E^{*}(z,s)=E^{*}(z,1-s)\ }$

análoga a la ecuación funcional para la función zeta de Riemann ζ( s ).

El producto escalar de dos series de Eisenstein diferentes E ( z , s ) y E ( z , t ) viene dado por las relaciones de Maass-Selberg .

Expansión de Fourier

Las propiedades anteriores de la serie analítica real de Eisenstein, es decir, la ecuación funcional para E(z,s) y E ^* (z,s) usando Laplaciano en H , se muestran a partir del hecho de que E(z,s) tiene una expansión de Fourier: ${\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {{\hat {\zeta }}(2s-1)}{{\hat {\zeta }}(2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{{\hat {\zeta }}(2s)}}\sum _{m=1}^{\infty }m^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(m){\sqrt {y}}K_{s-1/2}(2\pi my)\cos(2\pi mx)\ ,}$

dónde

${\displaystyle {\hat {\zeta }}(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s)\ ,}$

${\displaystyle \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s}\ ,}$

y funciones de Bessel modificadas

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp {\biggl (}-{\frac {z}{2}}(u+{\frac {1}{u}}){\biggr )}\cdot u^{s-1}du\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}}$

Función zeta de Epstein

La función zeta de Epstein ζ _Q ( s ) (Epstein 1903) para una forma cuadrática integral definida positiva Q ( m , n ) = cm ² + bmn + an ² se define por

${\displaystyle \zeta _{Q}(s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over Q(m,n)^{s}}.\ }$

Se trata esencialmente de un caso especial de la serie analítica real de Eisenstein para un valor especial de z , ya que

${\displaystyle Q(m,n)=a|mz-n|^{2}\ }$

para

${\displaystyle z=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.}$

Esta función zeta debe su nombre a Paul Epstein .

Generalizaciones

La verdadera serie analítica de Eisenstein E ( z , s ) es en realidad la serie de Eisenstein asociada al subgrupo discreto SL(2, Z ) de SL(2, R ) . Selberg describió generalizaciones a otros subgrupos discretos Γ de SL(2, R ), y las utilizó para estudiar la representación de SL(2, R ) en L ² (SL(2, R )/Γ). Langlands extendió el trabajo de Selberg a grupos de dimensiones superiores; sus demostraciones notoriamente difíciles fueron simplificadas posteriormente por Joseph Bernstein .

Véase también

• Serie de Eisenstein
• Fórmula límite de Kronecker
• Forma de masa

Referencias

• J. Bernstein, Continuación meromórfica de la serie de Eisenstein
• Epstein, P. (1903), "Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen I" (PDF) , Matemáticas. Ana. , 56 (4): 614–644, doi :10.1007/BF01444309.
• A. Krieg (2001) [1994], "Función zeta de Epstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kubota, T. (1973), Teoría elemental de la serie de Eisenstein , Tokio: Kodansha, ISBN 0-470-50920-1.
• Langlands, Robert P. (1976), Sobre las ecuaciones funcionales satisfechas por las series de Eisenstein, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07872-X.
• A. Selberg, Grupos discontinuos y análisis armónico , Proc. Int. Congr. Math., 1962.
• D. Zagier , Serie de Eisenstein y función zeta de Riemann .