Fórmula del límite de Kronecker

En matemáticas, la fórmula clásica del límite de Kronecker describe el término constante en s = 1 de una serie analítica real de Eisenstein (o función zeta de Epstein ) en términos de la función eta de Dedekind . Hay muchas generalizaciones a series más complicadas de Eisenstein. Lleva el nombre de Leopold Kronecker .

Primera fórmula del límite de Kronecker

La (primera) fórmula del límite de Kronecker establece que

${\displaystyle E(\tau ,s)={\pi \over s-1}+2\pi (\gamma -\log(2)-\log({\sqrt {y}}|\eta (\tau )|^{2}))+O(s-1),}$

dónde

• E (τ, s ) es la serie analítica real de Eisenstein, dada por

${\displaystyle E(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

para Re( s ) > 1, y por continuación analítica para otros valores del número complejo s .

• γ es la constante de Euler-Mascheroni
• τ = x + iy con y > 0.
• ${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})}$, con q = e ^{2π i τ} es la función eta de Dedekind .

Entonces, la serie de Eisenstein tiene un polo en s = 1 del residuo π, y la (primera) fórmula del límite de Kronecker da el término constante de la serie de Laurent en este polo.

Esta fórmula tiene una interpretación en términos de la geometría espectral de la curva elíptica asociada a la red : dice que el determinante zeta-regularizado del operador de Laplace asociado a la métrica plana está dado por . Esta fórmula se ha utilizado en teoría de cuerdas para el cálculo de un bucle en el enfoque perturbativo de Polyakov . ${\displaystyle E_{\tau }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\frac {1}{y}}|dz|^{2}}$ ${\displaystyle E_{\tau }}$ ${\displaystyle 4y|\eta (\tau )|^{4}}$

Segunda fórmula del límite de Kronecker

La segunda fórmula del límite de Kronecker establece que

${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,1)=-2\pi \log |f(u-v\tau ;\tau )q^{v^{2}/2}|,}$

dónde

• u y v son reales y no ambos números enteros.
• q = e ^{2π i τ} y q ^a = e ^{2π i a τ}
• p = e ^{2π i z} y p ^a = e ^{2π i az}
• ${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}e^{2\pi i(mu+nv)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

para Re( s ) > 1, y se define mediante continuación analítica para otros valores del número complejo s .

• ${\displaystyle f(z,\tau )=q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})\prod _{n\geq 1}(1-q^{n}p)(1-q^{n}/p).}$

Ver también

• Función de Herglotz-Zagier

Referencias

• Serge Lang , Funciones elípticas , ISBN  0-387-96508-4
• CL Siegel , Conferencias sobre teoría analítica avanzada de números, Instituto Tata 1961.

enlaces externos

• Capítulo0.pdf