Espacio semirreflexivo

En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional , un espacio semirreflexivo es un espacio vectorial topológico (TVS) localmente convexo X tal que la función de evaluación canónica de X en su bidual (que es el dual fuerte de X ) es biyectiva. Si esta función también es un isomorfismo de TVS, entonces se denomina reflexiva .

Los espacios semirreflexivos desempeñan un papel importante en la teoría general de los sistemas de transición televisiva localmente convexos . Dado que un sistema de transición televisiva normable es semirreflexivo si y solo si es reflexivo, el concepto de semirreflexividad se utiliza principalmente con sistemas de transición televisiva que no son normables.

Definición y notación

Breve definición

Supóngase que X es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el cuerpo (que son los números reales o complejos) cuyo espacio dual continuo , , separa puntos en X (es decir, para cualquier existe alguno tal que ). Sea y ambos denotan el dual fuerte de X , que es el espacio vectorial de funcionales lineales continuos en X dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de X ; esta topología también se llama topología dual fuerte y es la topología "predeterminada" colocada en un espacio dual continuo (a menos que se especifique otra topología). Si X es un espacio normado, entonces el dual fuerte de X es el espacio dual continuo con su topología de norma habitual. El bidual de X , denotado por , es el dual fuerte de ; es decir, es el espacio . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Para cualquier let definido por , donde se denomina mapa de evaluación en x ; dado que es necesariamente continua, se sigue que . Dado que separa puntos en X , el mapa definido por es inyectivo donde este mapa se denomina mapa de evaluación o mapa canónico . Este mapa fue introducido por Hans Hahn en 1927. ^[2] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$

Llamamos a X semireflexivo si es biyectivo (o equivalentemente, sobreyectivo ) y llamamos a X reflexivo si además es un isomorfismo de TVS. ^[1] Si X es un espacio normado entonces J es una incrustación de TVS así como una isometría sobre su rango; además, por el teorema de Goldstine (probado en 1938), el rango de J es un subconjunto denso del bidual . ^[2] Un espacio normable es reflexivo si y solo si es semireflexivo. Un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su bola unitaria cerrada es -compacta. ^[2] ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$

Definición detallada

Sea X un espacio vectorial topológico sobre un cuerpo numérico (de números reales o complejos ). Considérese su espacio dual fuerte , que consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte , es decir, la topología de convergencia uniforme sobre subconjuntos acotados en X. El espacio es un espacio vectorial topológico (para ser más precisos, un espacio localmente convexo), por lo que se puede considerar su espacio dual fuerte , que se denomina espacio bidual fuerte para X. Consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte . Cada vector genera una función mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$$

Se trata de una función lineal continua en , es decir, . Se obtiene un mapa llamado mapa de evaluación o inyección canónica : ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

que es una función lineal. Si X es localmente convexa, del teorema de Hahn-Banach se deduce que J es inyectiva y abierta (es decir, para cada entorno de cero en X hay un entorno de cero V en tal que ). Pero puede ser no sobreyectiva y/o discontinua. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

Un espacio localmente convexo se denomina semirreflexivo si la función de evaluación es sobreyectiva (por lo tanto, biyectiva); se denomina reflexivo si la función de evaluación es sobreyectiva y continua, en cuyo caso J será un isomorfismo de TVS ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Caracterizaciones de espacios semirreflexivos

Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces los siguientes son equivalentes:

1. X es semireflexiva;
2. La topología débil en X tenía la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil , cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). ^[1] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. Si la forma lineal es continua cuando tiene la topología dual fuerte, entonces es continua cuando tiene la topología débil; ^[3] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$es barreled , donde indica la topología de Mackey en ; ^[3] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
5. X débil la topología débil es cuasi-completa . ^[3] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

Teorema ^[4]  —  Un espacio de Hausdorff localmente convexo es semirreflexivo si y solo si la topología tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, los subconjuntos débilmente cerrados y acotados de son débilmente compactos). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

Todo espacio semi-Montel es semi-reflexivo y todo espacio Montel es reflexivo.

Propiedades

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces la inyección canónica de en su bidual es una incrustación topológica si y solo si es infrabarrelizado. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El dual fuerte de un espacio semirreflexivo es barrelled . Todo espacio semirreflexivo es cuasicompleto . ^[3] Todo espacio normado semirreflexivo es un espacio de Banach reflexivo. ^[6] El dual fuerte de un espacio semirreflexivo es barrelled. ^[7]

Espacios reflexivos

Si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces los siguientes son equivalentes:

1. X es reflexivo ;
2. X es semireflexiva y con forma de cañón ;
3. X tiene forma de barril y la topología débil en X tenía la propiedad de Heine-Borel (lo que significa que para la topología débil , cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). ^[1] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
4. X es semirreflexiva y cuasibarrilada . ^[8]

Si X es un espacio normado entonces los siguientes son equivalentes:

1. X es reflexivo;
2. La bola unitaria cerrada es compacta cuando X tiene la topología débil . ^[9] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$
3. X es un espacio de Banach y es reflexivo. ^[10] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Ejemplos

Todo espacio de Banach de dimensión infinita no reflexivo es un espacio distinguido que no es semirreflexivo. ^[11] Si es un subespacio vectorial propio denso de un espacio de Banach reflexivo, entonces es un espacio normado que no es semirreflexivo, pero su espacio dual fuerte es un espacio de Banach reflexivo. ^{[11] Existe un} espacio contablemente abarrilado semirreflexivo que no es abarrilado . ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Espacio de Grothendieck : una generalización que tiene algunas de las propiedades de los espacios reflexivos e incluye muchos espacios de importancia práctica.
• Álgebra de operadores reflexivos
• Espacio reflexivo

Citas

1. Trèves 2006, págs. 372–374.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225–273.
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 144.
4. Edwards 1965, 8.4.2.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 488–491.
6. Schaefer y Wolff 1999, pág. 145.
7. Edwards 1965, 8.4.3.
8. Khaleelulla 1982, págs. 32–63.
9. Trèves 2006, pág. 376.
10. Trèves 2006, pág. 377.
11. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.

Bibliografía

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• John B. Conway , Un curso de análisis funcional , Springer, 1985.
• James, Robert C. (1972), Algunas propiedades autoduales de espacios lineales normalizados. Simposio sobre topología de dimensión infinita (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1967) , Ann. of Math. Studies, vol. 69, Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, págs. 159–175.
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