Elemento cuasirregular

Este artículo aborda la noción de cuasirregularidad en el contexto de la teoría de anillos , una rama del álgebra moderna . Para conocer otras nociones de cuasirregularidad en matemáticas , consulte la página de desambiguación cuasirregular .

En matemáticas , específicamente en teoría de anillos , la noción de cuasirregularidad proporciona una manera computacionalmente conveniente de trabajar con el radical de Jacobson de un anillo . ^[1] En este artículo, nos ocupamos principalmente de la noción de cuasirregularidad para anillos unitarios . Sin embargo, una sección está dedicada a la teoría de cuasirregularidad en anillos no unitarios, que constituye un aspecto importante de la teoría de anillos no conmutativos .

Definición

Sea R un anillo (con unidad ) y sea r un elemento de R. Entonces se dice que r es cuasirregular si 1 −  r es una unidad en R ; es decir, invertible bajo multiplicación. ^[1] Las nociones de cuasirregularidad derecha o izquierda corresponden a las situaciones donde 1 −  r tiene una inversa derecha o izquierda, respectivamente. ^[1]

Un elemento x de un anillo no unital R se dice que es cuasirregular derecho si existe y en R tal que . ^[2] La noción de un elemento cuasirregular izquierdo se define de manera análoga. El elemento y se denomina a veces cuasiriregular derecho de x . ^[3] Si el anillo es unital, esta definición de cuasirregularidad coincide con la dada anteriormente. ^[4] Si se escribe , entonces esta operación binaria es asociativa . ^[5] De hecho, en el caso unital, la función (donde × denota la multiplicación del anillo R ) es un isomorfismo monoide . ^[4] Por lo tanto, si un elemento posee tanto un cuasiriregular izquierdo como un cuasiriregular derecho, son iguales. ^[6] ${\displaystyle x+y-xy=0}$ ${\displaystyle x\cdot y=x+y-xy}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x}$

Nótese que algunos autores utilizan definiciones diferentes. Llaman a un elemento x cuasirregular recto si existe y tal que , ^[7] lo que equivale a decir que 1 +  x tiene un inverso recto cuando el anillo es unital. Si escribimos , entonces , por lo que podemos pasar fácilmente de una configuración a la otra cambiando los signos. ^[8] Por ejemplo, x es cuasirregular recto en una configuración si y solo si − x es cuasirregular recto en la otra configuración. ^[8] ${\displaystyle x+y+xy=0}$ ${\displaystyle x\circ y=x+y+xy}$ ${\displaystyle (-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)}$

Ejemplos

• Si R es un anillo, entonces la identidad aditiva de R es siempre cuasirregular.
• Si es cuasirregular hacia la derecha (resp. hacia la izquierda), entonces es cuasirregular hacia la derecha (resp. hacia la izquierda). ^[9] ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$
• Si R es un generador de números aleatorios, cada elemento nilpotente de R es cuasirregular. ^[10] Este hecho está respaldado por un cálculo elemental:

Si , entonces ${\displaystyle x^{n+1}=0}$

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\dotsb +x^{n})=1}$(o si seguimos la segunda convención). ${\displaystyle (1+x)(1-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n})=1}$

De esto vemos fácilmente que la cuasi-inversa de x es (o ). ${\displaystyle -x-x^{2}-\dotsb -x^{n}}$ ${\displaystyle -x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}}$

• En la segunda convención, una matriz es cuasirregular en un anillo de matrices si no posee −1 como valor propio . De manera más general, un operador acotado es cuasirregular si −1 no está en su espectro .
• En un álgebra de Banach unitaria , si , entonces la serie geométrica converge . En consecuencia, cada x es cuasirregular. ${\displaystyle \|x\|<1}$ ${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }x^{n}}$
• Si R es un anillo y S = R [[ X ₁ , ..., X _n ]] denota el anillo de series de potencias formales en n indeterminantes sobre R , un elemento de S es cuasirregular si y solo su término constante es cuasirregular como elemento de R .

Propiedades

• Cada elemento del radical de Jacobson de un anillo (no necesariamente conmutativo ) es cuasirregular. ^[11] De hecho, el radical de Jacobson de un anillo puede ser caracterizado como el único ideal recto del anillo, máximo con respecto a la propiedad de que cada elemento es cuasirregular recto. ^{[12] [13]} Sin embargo, un elemento cuasirregular recto no necesariamente tiene que ser un miembro del radical de Jacobson. ^[14] Esto justifica la observación al principio del artículo: los "elementos malos" son cuasirregulares, aunque los elementos cuasirregulares no son necesariamente "malos". Los elementos del radical de Jacobson de un anillo a menudo se consideran "malos".
• Si un elemento de un anillo es nilpotente y central , entonces es un miembro del radical de Jacobson del anillo. ^[15] Esto se debe a que el ideal derecho principal generado por ese elemento consiste únicamente en elementos cuasirregulares (de hecho, nilpotentes).
• Si un elemento, r , de un anillo es idempotente , no puede ser miembro del radical de Jacobson del anillo. ^[16] Esto se debe a que los elementos idempotentes no pueden ser cuasirregulares. Esta propiedad, así como la anterior, justifican la observación dada al principio del artículo de que la noción de cuasirregularidad es computacionalmente conveniente cuando se trabaja con el radical de Jacobson. ^[1]

Generalización a semianillos

La noción de elemento cuasirregular se generaliza fácilmente a los semianillos . Si a es un elemento de un semianillo S , entonces una función afín de S consigo mismo es . Se dice que un elemento a de S es cuasirregular derecho si tiene un punto fijo , que no necesita ser único. Cada uno de esos puntos fijos se denomina cuasirregular izquierdo de a . Si b es cuasirregular izquierdo de a y además b = ab + 1, entonces b se denomina cuasirregular de a ; cualquier elemento del semianillo que tenga cuasirregular se dice que es cuasirregular . Es posible que algunos, pero no todos, los elementos de un semianillo sean cuasirregulares; por ejemplo, en el semianillo de reales no negativos con la usual adición y multiplicación de reales, tiene el punto fijo para todo a < 1, pero no tiene punto fijo para a ≥ 1. ^[17] Si cada elemento de un semianillo es cuasirregular entonces el semianillo se llama semianillo cuasirregular , semianillo cerrado , ^[18] u ocasionalmente semianillo de Lehmann ^[17] (este último en honor al artículo de Daniel J. Lehmann. ^[19] ) ${\displaystyle \mu _{a}(r)=ra+1}$ ${\displaystyle \mu _{a}}$ ${\displaystyle \mu _{a}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-a}}}$

Ejemplos de semianillos cuasirregulares son proporcionados por las álgebras de Kleene (entre ellas, de manera destacada, el álgebra de expresiones regulares ), en las que el cuasirregular se eleva al papel de una operación unaria (denotada por un *) definida como la solución de punto fijo mínimo. Las álgebras de Kleene son idempotentes aditivas, pero no todos los semianillos cuasirregulares lo son. Podemos extender el ejemplo de los reales no negativos para incluir el infinito y se convierte en un semianillo cuasirregular con el cuasirregular inverso de cualquier elemento a ≥ 1 siendo el infinito. Sin embargo, este semianillo cuasirregular no es idempotente aditivamente, por lo que no es un álgebra de Kleene. ^[18] Sin embargo, es un semianillo completo . ^[20] De manera más general, todos los semianillos completos son cuasirregulares. ^[21] El término semianillo cerrado es usado por algunos autores para significar semianillo completo en lugar de solo cuasirregular. ^{[22] [23]}

Los semianillos de Conway también son cuasirregulares; los dos axiomas de Conway son en realidad independientes, es decir, hay semianillos que satisfacen únicamente el axioma de producto-estrella [Conway], ( ab )* = 1+ a ( ba )* b , pero no el axioma de suma-estrella, ( a + b )* = ( a * b )* a * y viceversa; es el axioma de producto-estrella [Conway] el que implica que un semianillo es cuasirregular. Además, un semianillo conmutativo es cuasirregular si y solo si satisface el axioma de producto-estrella de Conway. ^[17]

Los semianillos cuasirregulares aparecen en problemas de trayectorias algebraicas , una generalización del problema de la trayectoria más corta . ^[18]

Véase también

• elemento inverso

Notas

1. Isaacs, pág. 180
2. Lam, Ejemplo 4.2, pág. 50
3. Polcino y Sehgal (2002), pág. 298.
4. Lam, Ejemplo 4.2(3), pág. 50
5. Lam, Ejemplo 4.1, pág. 50
6. Dado que 0 es la identidad multiplicativa, si , entonces . La cuasirregularidad no requiere que el anillo tenga una identidad multiplicativa. ${\displaystyle x\cdot y=0=y'\cdot x}$ ${\displaystyle y=(y'\cdot x)\cdot y=y'\cdot (x\cdot y)=y'}$
7. Kaplansky, pág. 85
8. Lam, pág. 51
9. Kaplansky, pág. 108
10. Lam, Ex. 4.2(2), pág. 50
11. Isaacs, Teorema 13.4(a), pág. 180
12. Isaacs, Teorema 13.4(b), pág. 180
13. Isaacs, Corolario 13.7, pág. 181
14. Isaacs, pág. 181
15. Isaacs, Corolario 13.5, pág. 181
16. Isaacs, Corolario 13.6, pág. 181
17. Jonathan S. Golan (30 de junio de 2003). Semirings and Affine Equations over Them [Semirrings y ecuaciones afines sobre ellos]. Springer Science & Business Media. págs. 157-159 y 164-165. ISBN 978-1-4020-1358-4.
18. Marc Pouly; Jürg Kohlas (2011). Inferencia genérica: una teoría unificadora para el razonamiento automatizado . John Wiley & Sons. págs. 232 y 248–249. ISBN 978-1-118-01086-0.
19. Lehmann, DJ (1977). "Estructuras algebraicas para clausura transitiva" (PDF) . Theoretical Computer Science . 4 : 59–76. doi :10.1016/0304-3975(77)90056-1.
20. Droste, M. y Kuich, W. (2009). Semirings and Formal Power Series. Handbook of Weighted Automata , 3–28. doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1, págs. 7-10
21. U. Zimmermann (1981). Optimización lineal y combinatoria en estructuras algebraicas ordenadas. Elsevier. p. 141. ISBN 978-0-08-086773-1.
22. Dexter Kozen (1992). El diseño y análisis de algoritmos. Springer Science & Business Media. pág. 31. ISBN 978-0-387-97687-7.
23. JA Storer (2001). Introducción a las estructuras de datos y algoritmos. Springer Science & Business Media. pág. 336. ISBN 978-0-8176-4253-2.

Referencias

• I. Martin Isaacs (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1.ª ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
• Irving Kaplansky (1969). Campos y anillos . The University of Chicago Press.
• Lam, Tsit-Yuen (2003). Ejercicios de teoría clásica de anillos . Libros de problemas de matemáticas (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 978-0387005003.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Introducción a los anillos de grupo . Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0.