En geometría , un semiespacio es cualquiera de las dos partes en las que un plano divide el espacio euclidiano tridimensional . Si el espacio es bidimensional , entonces un semiespacio se denomina semiplano ( abierto o cerrado). Un semiespacio en un espacio unidimensional se denomina semirrecta o semirrecta .
En términos más generales, un semiespacio es cualquiera de las dos partes en las que un hiperplano divide un espacio afín . Es decir, los puntos que no son incidentes al hiperplano se dividen en dos conjuntos convexos (es decir, semiespacios), de modo que cualquier subespacio que conecte un punto de un conjunto con un punto del otro debe intersecar el hiperplano.
Un semiespacio puede ser abierto o cerrado . Un semiespacio abierto es cualquiera de los dos conjuntos abiertos producidos por la sustracción de un hiperplano del espacio afín. Un semiespacio cerrado es la unión de un semiespacio abierto y el hiperplano que lo define.
El semiespacio superior abierto (cerrado) es el semiespacio de todos ( x 1 , x 2 , ..., x n ) tales que x n > 0 (≥ 0). El semiespacio inferior abierto (cerrado) se define de manera similar, al requerir que x n sea negativo (no positivo).
Un semiespacio puede especificarse mediante una desigualdad lineal, derivada de la ecuación lineal que especifica el hiperplano que lo define. Una desigualdad lineal estricta especifica un semiespacio abierto:
Una no estricta especifica un semiespacio cerrado:
Aquí, se supone que no todos los números reales a 1 , a 2 , ..., a n son cero.
Un semiespacio es un conjunto convexo .
