En matemáticas , el semiespacio superior de Siegel de grado g (o género g ) (también llamado semiplano superior de Siegel ) es el conjunto de matrices simétricas g × g sobre los números complejos cuya parte imaginaria es definida positiva . Fue introducido por Siegel (1939). Es el espacio simétrico asociado al grupo simpléctico Sp(2 g , R ) .
El semiespacio superior de Siegel tiene propiedades como variedad compleja que generalizan las propiedades del semiplano superior , que es el semiespacio superior de Siegel en el caso especial g = 1. El grupo de automorfismos que preserva la estructura compleja de la variedad es isomorfo al grupo simpléctico Sp(2 g , R ) . Así como la métrica hiperbólica bidimensional es la única métrica (hasta escalar) en el semiplano superior cuyo grupo de isometría es el grupo de automorfismos complejos SL(2, R ) = Sp(2, R ) , el semiespacio superior de Siegel tiene solo una métrica hasta escalar cuyo grupo de isometría es Sp(2 g , R ) . Escribiendo una matriz genérica Z en el semiespacio superior de Siegel en términos de sus partes reales e imaginarias como Z = X + iY , todas las métricas con grupo de isometría Sp(2 g , R ) son proporcionales a
El semiplano superior de Siegel se puede identificar con el conjunto de estructuras casi complejas compatibles con una estructura simpléctica , en el espacio vectorial real dimensional subyacente , es decir, el conjunto de tales que y para todos los vectores . [1]
