Aplicaciones de cuaterniones duales a la geometría 2D.

Álgebra de cuatro dimensiones sobre los números reales.

En este artículo, analizamos ciertas aplicaciones del álgebra dual de cuaterniones a la geometría 2D. En este momento, el artículo se centra en una subálgebra tetradimensional de los cuaterniones duales que llamaremos cuaterniones planos .

Los cuaterniones planos conforman un álgebra de cuatro dimensiones sobre los números reales . ^{[1] [2]} Su aplicación principal es la representación de movimientos de cuerpos rígidos en un espacio 2D.

A diferencia de la multiplicación de números duales o de números complejos , la de cuaterniones planos no es conmutativa .

Definición

En este artículo se denota el conjunto de cuaterniones planos . Un elemento general de tiene la forma donde , y son números reales ; es un número dual que eleva al cuadrado cero; y , y son los elementos básicos estándar de los cuaterniones . ${\displaystyle \mathbb {DC} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {DC} }$ ${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$

La multiplicación se hace de la misma manera que con los cuaterniones, pero con la regla adicional de que es nilpotente de índice , es decir,, lo que en algunas circunstancias lo hace comparable a un número infinitesimal . De ello se deduce que los inversos multiplicativos de los cuaterniones planos están dados por ${\textstyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 2}$ ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\textstyle \varepsilon }$

$${\displaystyle (A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon j-D\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}}$$

El conjunto forma la base del espacio vectorial de cuaterniones planos, donde los escalares son números reales. ${\displaystyle \{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}}$

La magnitud de un cuaternión plano se define como ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$$

Para aplicaciones de gráficos por computadora, el número se representa comúnmente como la tupla de 4 . ${\displaystyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle (A,B,C,D)}$

Representación matricial

Un cuaternión plano tiene la siguiente representación como una matriz compleja de 2x2: ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.}$$

También se puede representar como una matriz de números duales de 2×2:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+C\varepsilon &-B+D\varepsilon \\B+D\varepsilon &A-C\varepsilon \end{pmatrix}}.}$$

transformaciones de Möbiuslas transformaciones de Laguerre

Terminología

El álgebra analizada en este artículo a veces se denomina números complejos duales . Este puede ser un nombre engañoso porque sugiere que el álgebra debería tomar la forma de:

1. Los números duales, pero con entradas de números complejos.
2. Los números complejos, pero con entradas de números duales.

Existe un álgebra que cumple con cualquiera de las descripciones. Y ambas descripciones son equivalentes. (Esto se debe a que el producto tensorial de las álgebras es conmutativo hasta el isomorfismo ). Esta álgebra se puede denotar como el uso de cociente en anillo . El álgebra resultante tiene un producto conmutativo y no se analiza más. ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

Representar movimientos de cuerpos rígidos.

Dejar

$${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$$

$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.}$$

El plano euclidiano se puede representar mediante el conjunto . ${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$

Un elemento en representa el punto en el plano euclidiano con coordenadas cartesianas . ${\displaystyle v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle q}$se puede hacer que actúe mediante ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle qvq^{-1},}$$

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Pi }$

Tenemos las siguientes (múltiples) formas polares para : ${\displaystyle q}$

1. Cuando , el elemento se puede escribir como ${\displaystyle B\neq 0}$ ${\displaystyle q}$
   $${\displaystyle \cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),}$$
   que denota una rotación de ángulo alrededor del punto . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x,y)}$
2. Cuando , el elemento se puede escribir como ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle q}$
   $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+i(x\varepsilon j+y\varepsilon k)\\={}&1-y\varepsilon j+x\varepsilon k,\end{aligned}}}$$
   que denota una traslación por vector ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

construcción geométrica

Se puede encontrar una construcción de principios de los cuaterniones planos notando primero que son un subconjunto de los cuaterniones duales .

Hay dos interpretaciones geométricas de los cuaterniones duales , las cuales pueden usarse para derivar la acción de los cuaterniones planos en el plano:

• Como una forma de representar movimientos de cuerpos rígidos en el espacio 3D . Entonces se puede ver que los cuaterniones planos representan un subconjunto de esos movimientos de cuerpo rígido. Esto requiere cierta familiaridad con la forma en que actúan los cuaterniones duales en el espacio euclidiano. No describiremos este enfoque aquí, ya que se hace adecuadamente en otros lugares .
• Los cuaterniones duales pueden entenderse como un "engrosamiento infinitesimal" de los cuaterniones. ^{[3] [4] [5]} Recuerde que los cuaterniones se pueden usar para representar rotaciones espaciales 3D , mientras que los números duales se pueden usar para representar " infinitésimos ". La combinación de esas características permite que las rotaciones varíen infinitamente. Denotemos un plano infinitesimal que se encuentra en la esfera unitaria, igual a . Observa que es un subconjunto de la esfera, a pesar de ser plana (esto es gracias al comportamiento de los números duales infinitesimales). ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \Pi }$
  Observe entonces que, como subconjunto de los cuaterniones duales, los cuaterniones planos giran el plano nuevamente sobre sí mismo. El efecto que esto tiene depende del valor de in : ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle v\in \Pi }$ ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ ${\displaystyle qvq^{-1}}$
  1. Cuando , el eje de rotación apunta hacia algún punto , de modo que los puntos experimentan una rotación alrededor . ${\displaystyle B\neq 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle p}$
  2. Cuando , el eje de rotación apunta en dirección opuesta al plano, siendo el ángulo de rotación infinitesimal. En este caso, los puntos sobre la experiencia son una traducción. ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle \Pi }$

Ver también

• Estudio Eduardo
• Cuaternio
• numero dual
• Cuaternión dual
• Álgebra de Clifford
• Isometría del plano euclidiano
• Transformacion afin
• Plano proyectivo
• Coordenadas homogéneas
• SLERP
• Álgebra geométrica conforme

Referencias

1. Matsuda, Genki; Kaji, Shizuo; Ochiai, Hiroyuki (2014), Anjyo, Ken (ed.), "Números complejos duales anticonmutativos y transformación rígida 2D", Progreso matemático en la síntesis de imágenes expresivas I: resultados ampliados y seleccionados del simposio MEIS2013 , Matemáticas para la industria, Springer Japón, págs. 131–138, arXiv : 1601.01754 , doi : 10.1007/978-4-431-55007-5_17, ISBN 9784431550075, S2CID  2173557
2. Gunn C. (2011) Sobre el modelo homogéneo de la geometría euclidiana. En: Dorst L., Lasenby J. (eds) Guía de álgebra geométrica en la práctica. Springer, Londres
3. "Líneas del grupo euclidiano SE (2)". Qué hay de nuevo . 2011-03-06 . Consultado el 28 de mayo de 2019 .
4. Estudio, E. (diciembre de 1891). "Von den Bewegungen und Umlegungen". Annalen Matemáticas . 39 (4): 441–565. doi :10.1007/bf01199824. ISSN  0025-5831. S2CID  115457030.
5. Sauer, R. (1939). "Dr. Wilhelm Blaschke, Prof. ad Universität Hamburg, Ebene Kinematik, eine Vorlesung (Hamburger Math. Einzelschriften, 25. Heft, 1938). 56 S. m. 19 Abb. Leipzig-Berlin 1938, Verlag BG Teubner. Preis br. 4M." ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 19 (2): 127. Código bibliográfico : 1939ZaMM...19R.127S. doi :10.1002/zamm.19390190222. ISSN  0044-2267.