En matemáticas , un conjunto semialgebraico básico es un conjunto definido por igualdades polinómicas y desigualdades polinómicas, y un conjunto semialgebraico es una unión finita de conjuntos semialgebraicos básicos. Una función semialgebraica es una función con un gráfico semialgebraico . Dichos conjuntos y funciones se estudian principalmente en geometría algebraica real , que es el marco adecuado para la geometría algebraica sobre los números reales.
Sea un cuerpo real cerrado (por ejemplo podría ser el cuerpo de los números reales ). Un subconjunto de es un conjunto semialgebraico si es una unión finita de conjuntos definidos por igualdades polinómicas de la forma y de conjuntos definidos por desigualdades polinómicas de la forma
De manera similar a las subvariedades algebraicas , las uniones e intersecciones finitas de conjuntos semialgebraicos siguen siendo conjuntos semialgebraicos. Además, a diferencia de las subvariedades, el complemento de un conjunto semialgebraico es nuevamente semialgebraico. Finalmente, y lo más importante, el teorema de Tarski-Seidenberg dice que también son cerrados bajo la operación de proyección: en otras palabras, un conjunto semialgebraico proyectado sobre un subespacio lineal produce otro conjunto semialgebraico (como es el caso de la eliminación de cuantificadores ). Estas propiedades juntas significan que los conjuntos semialgebraicos forman una estructura o -minimal en R.
Se dice que un conjunto (o función) semialgebraico está definido sobre un subanillo A de R si hay alguna descripción, como en la definición, donde los polinomios pueden elegirse para tener coeficientes en A.
En un subconjunto denso y abierto del conjunto semialgebraico S , es (localmente) una subvariedad . Se puede definir la dimensión de S como la dimensión más grande en los puntos en los que es una subvariedad. No es difícil ver que un conjunto semialgebraico se encuentra dentro de una subvariedad algebraica de la misma dimensión.
