Semi-continuidad

Propiedad de las funciones que es más débil que la continuidad

En análisis matemático , la semicontinuidad (o semicontinuidad ) es una propiedad de las funciones reales extendidas que es más débil que la continuidad . Una función real extendida es semicontinua superior (respectivamente, inferior ) en un punto si, en términos generales, los valores de la función para los argumentos cercanos no son mucho más altos (respectivamente, más bajos) que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Una función es continua si y solo si es semicontinua superior e inferior. Si tomamos una función continua y aumentamos su valor en un punto determinado a para algún , entonces el resultado es semicontinua superior; si disminuimos su valor a entonces el resultado es semicontinua inferior. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

Una función semicontinua superior que no es semicontinua inferior. El punto azul sólido indica ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Una función semicontinua inferior que no es semicontinua superior. El punto azul sólido indica ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

La noción de función semicontinua superior e inferior fue introducida y estudiada por primera vez por René Baire en su tesis de 1899. ^[1]

Definiciones

Supongamos en todo momento que es un espacio topológico y es una función con valores en los números reales extendidos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

Semicontinuidad superior

Una función se llama semicontinua superior en un punto si para cada real existe un entorno de tal que para todo . ^[2] Equivalentemente, es semicontinua superior en si y solo si donde lim sup es el límite superior de la función en el punto ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)<y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Si es un espacio métrico con función de distancia y esto también se puede reformular utilizando una formulación - , similar a la definición de función continua . Es decir, para cada hay un tal que siempre que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$ ${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

Una función se denomina semicontinua superior si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^[2] ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) La función es semicontinua superior en cada punto de su dominio .

(2) Para cada , el conjunto es abierto en , donde . ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

(3) Para cada , el conjunto de supernivel - está cerrado en . ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$ ${\displaystyle X}$

(4) El hipografo está cerrado en . ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) La función es continua cuando se le da al codominio la topología de orden izquierdo . Esto es simplemente una reformulación de la condición (2) ya que la topología de orden izquierdo es generada por todos los intervalos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)}$

Semicontinuidad inferior

Una función se llama semicontinua inferior en un punto si para cada real existe un entorno de tal que para todo . Equivalentemente, es semicontinua inferior en si y solo si donde es el límite inferior de la función en el punto ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)>y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$ ${\displaystyle \liminf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Si es un espacio métrico con función de distancia y esto también se puede reformular de la siguiente manera: Para cada hay un tal que siempre que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$ ${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

Una función se denomina semicontinua inferior si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) La función es semicontinua inferior en cada punto de su dominio .

(2) Para cada , el conjunto es abierto en , donde . ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

(3) Para cada , el conjunto del subnivel - está cerrado en . ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$ ${\displaystyle X}$

(4) El epígrafe se cierra en . ^{[3] : 207} ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) La función es continua cuando se le asigna al codominio la topología de orden correcto . Esto es simplemente una reformulación de la condición (2) ya que la topología de orden correcto es generada por todos los intervalos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (y,\infty ]}$

Ejemplos

Considere la función definida por partes por: Esta función es semicontinua superior en pero no semicontinua inferior. ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x_{0}=0,}$

La función base , que devuelve el mayor entero menor o igual a un número real dado, es en todos los casos semicontinua superior. De manera similar, la función techo es semicontinua inferior. ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

La semicontinuidad superior e inferior no guardan relación con la continuidad desde la izquierda o desde la derecha para funciones de una variable real. La semicontinuidad se define en términos de un ordenamiento en el rango de las funciones, no en el dominio. ^[4] Por ejemplo, la función es semicontinua superior en mientras que los límites de la función desde la izquierda o la derecha en cero ni siquiera existen. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$

Si es un espacio euclidiano (o más generalmente, un espacio métrico) y es el espacio de curvas en (con la distancia suprema ), entonces la función de longitud que asigna a cada curva su longitud es semicontinua inferior. ^[5] Como ejemplo, considere la aproximación de la diagonal cuadrada unitaria por una escalera desde abajo. La escalera siempre tiene longitud 2, mientras que la línea diagonal solo tiene longitud . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Sea un espacio de medida y sea el conjunto de funciones medibles positivas dotadas de la topología de convergencia en medida con respecto a Entonces por el lema de Fatou la integral, vista como un operador de a es semicontinua inferior. ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

El teorema de Tonelli en el análisis funcional caracteriza la semicontinuidad inferior débil de los funcionales no lineales en espacios L p en términos de la convexidad de otra función.

Propiedades

A menos que se especifique lo contrario, todas las funciones siguientes son de un espacio topológico a los números reales extendidos . Varios de los resultados son válidos para la semicontinuidad en un punto específico, pero para abreviar solo se establecen para la semicontinuidad en todo el dominio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• Una función es continua si y sólo si es semicontinua superior e inferior. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$
• La función característica o función indicadora de un conjunto (definida por si y si ) es semicontinua superior si y solo si es un conjunto cerrado . Es semicontinua inferior si y solo si es un conjunto abierto . ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\notin A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• En el campo del análisis convexo , la función característica de un conjunto se define de forma diferente, como si y si . Con esa definición, la función característica de cualquier conjunto cerrado es semicontinua inferior, y la función característica de cualquier conjunto abierto es semicontinua superior. ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$ ${\displaystyle x\notin A}$

Operaciones binarias sobre funciones semicontinuas

Dejar . ${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• Si y son semicontinuas inferiores, entonces la suma es semicontinua inferior ^[6] (siempre que la suma esté bien definida, es decir, no sea la forma indeterminada ). Lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas superiores. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$
• Si y son semicontinuas inferiores y no negativas, entonces la función producto es semicontinua inferior. El resultado correspondiente es válido para funciones semicontinuas superiores. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$
• La función es semicontinua inferior si y sólo si es semicontinua superior. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -f}$
• Si y son semicontinuos superiores y no es decreciente , entonces la composición es semicontinua superior. Por otro lado, si no es decreciente, entonces puede no ser semicontinua superior. ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$
• Si y son semicontinuas inferiores, su máximo y mínimo (puntuales) (definidos por y ) también son semicontinuas inferiores. En consecuencia, el conjunto de todas las funciones semicontinuas inferiores desde hasta (o hasta ) forma una red . Las afirmaciones correspondientes también son válidas para las funciones semicontinuas superiores. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$ ${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Optimización de funciones semicontinuas

• El supremo (puntual) de una familia arbitraria de funciones semicontinuas inferiores (definidas por ) es semicontinua inferior. ^[8] ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

En particular, el límite de una secuencia monótona creciente de funciones continuas es semicontinua inferior. (El teorema de Baire que se muestra a continuación proporciona una recíproca parcial). La función límite solo será semicontinua inferior en general, no continua. Un ejemplo lo dan las funciones definidas para ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$ ${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

De la misma manera, el ínfimo de una familia arbitraria de funciones semicontinuas superiores es semicontinua superior. Y el límite de una secuencia monótona decreciente de funciones continuas es semicontinua superior.

• Si es un espacio compacto (por ejemplo, un intervalo cerrado acotado ) y es semicontinuo superior, entonces alcanza un máximo en Si es semicontinuo inferior en alcanza un mínimo en ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C.}$

( Prueba para el caso semicontinuo superior : Por la condición (5) en la definición, es continuo cuando se da la topología de orden izquierdo. Por lo tanto, su imagen es compacta en esa topología. Y los conjuntos compactos en esa topología son exactamente los conjuntos con un máximo. Para una prueba alternativa, consulte el artículo sobre el teorema del valor extremo ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(C)}$

Otras propiedades

• ( Teorema de Baire ) ^{[nota 1]} Sea un espacio métrico . Toda función semicontinua inferior es el límite de una secuencia creciente puntual de funciones continuas de valor real extendidas en En particular, existe una secuencia de funciones continuas tales que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$y

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

Si no toma el valor , las funciones continuas pueden tomarse como de valor real. ^{[9] [10]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$

Además, cada función semicontinua superior es el límite de una secuencia decreciente monótona de funciones continuas de valor real extendidas en la que si no toma el valor, las funciones continuas pueden tomarse como de valor real. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty ,}$

• Cualquier función semicontinua superior en un espacio topológico arbitrario es localmente constante en algún subconjunto abierto denso de ${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

• Si el espacio topológico es secuencial , entonces es semicontinua superior si y solo si es secuencialmente semicontinua superior, es decir, si para cualquier y cualquier secuencia que converge hacia , se cumple . De manera equivalente, en un espacio secuencial, es semicontinua superior si y solo si sus conjuntos de supernivel son secuencialmente cerrados para todos los . En general, las funciones semicontinuas superiores son secuencialmente semicontinuas superiores, pero la inversa puede ser falsa. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

Semicontinuidad de funciones con valores conjuntos

Para las funciones con valores de conjunto , se han definido varios conceptos de semicontinuidad, a saber, semicontinuidad superior , inferior , externa e interna , así como hemicontinuidad superior e inferior . Una función con valores de conjunto de un conjunto a un conjunto se escribe Para cada la función define un conjunto La preimagen de un conjunto bajo se define como Es decir, es el conjunto que contiene cada punto en tal que no es disjunto de . ^[11] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F:A\rightrightarrows B.}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(x)\subset B.}$ ${\displaystyle S\subset B}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F^{-1}(S):=\{x\in A:F(x)\cap S\neq \varnothing \}.}$$ ${\displaystyle F^{-1}(S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle S}$

Semicontinuidad superior e inferior

Una función con valores de conjunto es semicontinua superior en si para cada conjunto abierto tal que , existe un entorno de tal que ^{[11] : Def. 2.1} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F(x)\subset U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(V)\subset U.}$

Una función con valores de conjunto es semicontinua inferior en si para cada conjunto abierto tal que existe un entorno de tal que ^{[11] : Def. 2.2} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$

La semicontinuidad de valores de conjunto superior e inferior también se define de manera más general para mapas de valores de conjunto entre espacios topológicos reemplazando y en las definiciones anteriores con espacios topológicos arbitrarios. ^[11] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Obsérvese que no existe una correspondencia directa entre la semicontinuidad inferior y superior de un solo valor y la semicontinuidad inferior y superior de un conjunto de valores. Una función de un solo valor semicontinua superior no es necesariamente semicontinua superior cuando se la considera como una función de un conjunto de valores. ^{[11] : 18} Por ejemplo, la función definida por es semicontinua superior en el sentido de un solo valor, pero la función de un conjunto de valores no es semicontinua superior en el sentido de un conjunto de valores. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$

Semicontinuidad interna y externa

Una función con valores de conjunto se denomina semicontinua interna en si para cada secuencia convergente en tal que , existe una secuencia en tal que y para todos los suficientemente grandes ^{[12] [nota 2]} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in F(x)}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{i}\to x}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}\to y}$ ${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

Una función con valores conjuntos se denomina semicontinua externa en si para cada secuencia de convergencia en tal que y cada secuencia convergente en tal que para cada una la secuencia converge a un punto en (es decir, ). ^[12] ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{i}\to x}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$

Véase también

• Continuidad direccional  : función matemática sin cambios bruscosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de inserción de Katětov-Tong  : sobre la existencia de una función continua entre límites superior e inferior semicontinuos
• Hemicontinuidad  – Semicontinuidad para funciones con valores fijos
• Càdlàg  – Función continua derecha con límites izquierdos

Notas

1. El resultado fue demostrado por René Baire en 1904 para funciones de valor real definidas en . Fue extendido a espacios métricos por Hans Hahn en 1917, y Hing Tong demostró en 1952 que la clase más general de espacios donde se cumple el teorema es la clase de espacios perfectamente normales . (Véase Engelking, Ejercicio 1.7.15(c), p. 62 para más detalles y referencias específicas.) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
2. En particular, existe tal que para cada número natural . La necesidad de considerar solo la cola de proviene del hecho de que para valores pequeños del conjunto puede estar vacío. ${\displaystyle i_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$ ${\displaystyle i\geq i_{0},}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle F(x_{i})}$

Referencias

1. Muy bien, Matthieu. "Historia de las matemáticas - René Baire".
2. Stromberg, p. 132, Ejercicio 4
3. Kurdila, AJ, Zabarankin, M. (2005). "Análisis funcional convexo". Funcionales semicontinuos inferiores. Sistemas y control: fundamentos y aplicaciones (1.ª ed.). Birkhäuser-Verlag. págs. 205–219. doi :10.1007/3-7643-7357-1_7. ISBN 978-3-7643-2198-7.
4. Willard, pág. 49, problema 7K
5. Giaquinta, Mariano (2007). Análisis matemático: estructuras lineales y métricas y continuidad. Giuseppe Modica (1.ª ed.). Boston: Birkhäuser. Teorema 11.3, p.396. ISBN 978-0-8176-4514-4.OCLC 213079540  .
6. Puterman, Martin L. (2005). Procesos de decisión de Markov Programación dinámica estocástica discreta . Wiley-Interscience. pp. 602. ISBN 978-0-471-72782-8.
7. Moore, James C. (1999). Métodos matemáticos para la teoría económica . Berlín: Springer. p. 143. ISBN 9783540662358.
8. "Mostrar que el supremo de cualquier colección de funciones semicontinuas inferiores es semicontinua inferior".
9. Stromberg, pág. 132, Ejercicio 4(g)
10. "Muestra que la función semicontinua inferior es el supremo de una secuencia creciente de funciones continuas".
11. Freeman, RA, Kokotović, P. (1996). Diseño de control no lineal robusto. Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-0-8176-4759-9. ISBN 978-0-8176-4758-2..
12. Goebel, RK (enero de 2024). "Análisis con valores de conjunto, convexo y no suave en dinámica y control: una introducción". Capítulo 2: Convergencia de conjuntos y mapeos con valores de conjunto. Otros títulos en Matemáticas Aplicadas. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. págs. 21–36. doi :10.1137/1.9781611977981.ch2. ISBN 978-1-61197-797-4.

Bibliografía

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