Función de elección

Función matemática

Una función de elección ( selector , selección ) es una función matemática f que se define en una colección X de conjuntos no vacíos y asigna algún elemento de cada conjunto S en esa colección a S mediante f ( S ); f ( S ) asigna S a algún elemento de S . En otras palabras, f es una función de elección para X si y solo si pertenece al producto directo de X .

Un ejemplo

Sea X  = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Entonces la función f definida por f({1, 4, 7}) = 7, f({9}) = 9 y f({2, 7}) = 2 es una función de elección en X .

Historia e importancia

Ernst Zermelo (1904) introdujo las funciones de elección, así como el axioma de elección (AC), y demostró el teorema de buen ordenamiento ^[1] , que establece que todo conjunto puede estar bien ordenado . AC establece que todo conjunto de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Una forma más débil de AC, el axioma de elección contable (AC _ω ) establece que todo conjunto contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, en ausencia de AC o AC _ω , todavía se puede demostrar que algunos conjuntos tienen una función de elección.

• Si es un conjunto finito de conjuntos no vacíos, entonces se puede construir una función de elección para eligiendo un elemento de cada miembro de Esto requiere solo un número finito de opciones, por lo que no se necesitan ni AC ni AC _{ω .} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Si cada miembro de es un conjunto no vacío y la unión está bien ordenada, entonces se puede elegir el elemento menor de cada miembro de . En este caso, fue posible ordenar simultáneamente bien cada miembro de haciendo una sola elección de un buen orden de la unión, por lo que no se necesitaban ni AC ni AC _ω . (Este ejemplo muestra que el teorema de buen orden implica AC. El recíproco también es cierto, pero menos trivial). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Función de elección de un mapa multivalor

Dados dos conjuntos X e Y , sea F una función multivaluada de X a Y (equivalentemente, es una función de X al conjunto potencia de Y ). ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

Se dice que una función es una selección de F , si: ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

$${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$$

La existencia de funciones de elección más regulares, es decir, selecciones continuas o mensurables, es importante en la teoría de inclusiones diferenciales , el control óptimo y la economía matemática . ^[2] Véase Teorema de selección .

Función tau de Bourbaki

Nicolas Bourbaki utilizó el cálculo épsilon para sus fundamentos, que tenían un símbolo que podía interpretarse como la elección de un objeto (si existía uno) que satisface una proposición dada. Por lo tanto, si es un predicado, entonces es un objeto particular que satisface (si existe uno, de lo contrario devuelve un objeto arbitrario). Por lo tanto, podemos obtener cuantificadores de la función de elección, por ejemplo, era equivalente a . ^[3] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \tau _{x}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(\tau _{x}(P))}$ ${\displaystyle (\exists x)(P(x))}$

Sin embargo, el operador de elección de Bourbaki es más fuerte de lo habitual: es un operador de elección global . Es decir, implica el axioma de elección global . ^[4] Hilbert se dio cuenta de esto cuando introdujo el cálculo épsilon. ^[5]

Véase también

• Axioma de elección contable
• Axioma de elección dependiente
• Paradoja de Hausdorff
• Hemicontinuidad

Notas

1. Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann". Annalen Matemáticas . 59 (4): 514–16. doi :10.1007/BF01445300.
2. Border, Kim C. (1989). Teoremas del punto fijo con aplicaciones a la economía y la teoría de juegos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.
3. Bourbaki, Nicolas. Elementos de matemáticas: teoría de conjuntos . ISBN 0-201-00634-0.
4. John Harrison, "La visión de Bourbaki", edición electrónica.
5. "Aquí, además, nos topamos con una circunstancia muy notable, a saber, que todos estos axiomas transfinitos son derivables de un único axioma, uno que también contiene el núcleo de uno de los axiomas más atacados en la literatura de las matemáticas, a saber, el axioma de elección: , donde es la función de elección lógica transfinita". Hilbert (1925), “Sobre el infinito”, extractado en Jean van Heijenoort, De Frege a Gödel , p. 382. De nCatLab. ${\displaystyle A(a)\to A(\varepsilon (A))}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Referencias

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