Segundo espacio contable

Espacio topológico cuya topología tiene una base contable

En topología , un espacio segundo-contable , también llamado espacio completamente separable , es un espacio topológico cuya topología tiene una base contable . Más explícitamente, un espacio topológico es segundo-contable si existe alguna colección contable de subconjuntos abiertos de tal que cualquier subconjunto abierto de puede escribirse como una unión de elementos de alguna subfamilia de . Se dice que un espacio segundo-contable satisface el segundo axioma de contabilidad . Al igual que otros axiomas de contabilidad , la propiedad de ser segundo-contable restringe el número de conjuntos abiertos que un espacio puede tener. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Muchos espacios " de buen comportamiento " en matemáticas son contables en segundo lugar. Por ejemplo, el espacio euclidiano ( R ⁿ ) con su topología habitual es contable en segundo lugar. Aunque la base habitual de bolas abiertas es incontable , se puede restringir a la colección de todas las bolas abiertas con radios racionales y cuyos centros tienen coordenadas racionales. Este conjunto restringido es contable y aún forma una base.

Propiedades

La segunda contabilización es una noción más fuerte que la primera contabilización . Un espacio es primero contable si cada punto tiene una base local contable . Dada una base para una topología y un punto x , el conjunto de todos los conjuntos de bases que contienen a x forma una base local en x . Por lo tanto, si uno tiene una base contable para una topología, entonces uno tiene una base local contable en cada punto y, por lo tanto, cada espacio segundo contable es también un espacio primer contable. Sin embargo, cualquier espacio discreto incontable es primero contable pero no segundo contable.

La segunda-contabilidad implica ciertas otras propiedades topológicas. Específicamente, cada espacio de segunda-contabilidad es separable (tiene un subconjunto denso contable) y Lindelöf (cada cobertura abierta tiene una subcobertura contable). Las implicaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, la topología del límite inferior en la línea real es de primera-contabilidad, separable y Lindelöf, pero no de segunda-contabilidad. Para los espacios métricos , sin embargo, las propiedades de ser de segunda-contabilidad, separable y Lindelöf son todas equivalentes. ^[1] Por lo tanto, la topología del límite inferior en la línea real no es metrizable.

En espacios contables de segundo orden (como en espacios métricos), la compacidad , la compacidad secuencial y la compacidad contable son todas propiedades equivalentes.

El teorema de metrización de Urysohn establece que todo espacio regular de Hausdorff , que sea segundo-contable, es metrizable . De ello se deduce que cada uno de esos espacios es completamente normal y paracompacto . Por lo tanto, la segundo-contable es una propiedad bastante restrictiva en un espacio topológico, que solo requiere un axioma de separación para implicar metrizabilidad.

Otras propiedades

• Una imagen continua y abierta de un espacio de segundo conteo es de segundo conteo.
• Todo subespacio de un espacio de segundo número es de segundo número.
• Los cocientes de espacios contables segundos no necesitan ser contables segundos; sin embargo, los cocientes abiertos siempre lo son.
• Cualquier producto contable de un espacio de segundo número es de segundo número, aunque los productos incontables no necesariamente lo son.
• La topología de un espacio T ₁ de segundo orden contable tiene cardinalidad menor o igual a c (la cardinalidad del continuo ).
• Cualquier base para un segundo espacio contable tiene una subfamilia contable que sigue siendo una base.
• Toda colección de conjuntos abiertos disjuntos en un espacio contable de segundo orden es contable.

Ejemplos

• Considere la unión contable disjunta . Defina una relación de equivalencia y una topología de cociente identificando los extremos izquierdos de los intervalos, es decir, identifique 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k y así sucesivamente. X es contable en segundo lugar, como una unión contable de espacios contables en segundo lugar. Sin embargo, X /~ no es contable en primer lugar en la clase lateral de los puntos identificados y, por lo tanto, tampoco es contable en segundo lugar. ${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$
• El espacio anterior no es homeomorfo al mismo conjunto de clases de equivalencia dotadas de la métrica obvia: es decir, la distancia euclidiana regular para dos puntos en el mismo intervalo, y la suma de las distancias al punto de la izquierda para los puntos que no están en el mismo intervalo, lo que produce una topología estrictamente más burda que el espacio anterior. Es un espacio métrico separable (consideremos el conjunto de puntos racionales) y, por lo tanto, es segundo-contable.
• La línea larga no es contable en segundo lugar, pero sí en primer lugar.

Notas

1. Willard, teorema 16.11, pág. 112

Referencias

• Stephen Willard, Topología general , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• John G. Hocking y Gail S. Young (1961). Topología. Reimpresión corregida, Dover, 1988. ISBN  0-486-65676-4