La secuencia del proveedor perezoso, más formalmente conocida como los números poligonales centrales , describe el número máximo de piezas de un disco (un panqueque o una pizza se usa generalmente para describir la situación) que se pueden hacer con un número dado de cortes rectos. Por ejemplo, tres cortes a lo largo de un panqueque producirán seis piezas si todos los cortes se encuentran en un punto común dentro del círculo, pero hasta siete si no es así. Este problema se puede formalizar matemáticamente como uno de contar las celdas en una disposición de líneas ; para generalizaciones a dimensiones superiores, véase disposición de hiperplanos .
El análogo de esta secuencia en tres dimensiones son los números del pastel .
El número máximo p de piezas que se pueden crear con un número dado de cortes n (donde n ≥ 0 ) viene dado por la fórmula
Usando coeficientes binomiales , la fórmula se puede expresar como
En pocas palabras, cada número equivale a un número triangular más 1. Estos son los primeros números en cada fila del triángulo de Floyd .
Como la tercera columna del triángulo de Bernoulli ( k = 2) es un número triangular más uno, forma la secuencia del catering perezoso para n cortes, donde n ≥ 2.
La secuencia se puede derivar alternativamente de la suma de hasta los primeros 3 términos de cada fila del triángulo de Pascal : [1]
Esta secuencia (secuencia A000124 en la OEIS ), que comienza con n = 0 , da como resultado
Su análogo tridimensional se conoce como números de torta . La diferencia entre números de torta sucesivos da la secuencia del proveedor perezoso. [2]
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Cuando un círculo se corta n veces para producir el número máximo de piezas, representado como p = f ( n ) , se debe considerar el n º corte; el número de piezas antes del último corte es f ( n − 1) , mientras que el número de piezas agregadas por el último corte es n .
Para obtener el número máximo de piezas, la n ésima línea de corte debe cruzar todas las otras líneas de corte anteriores dentro del círculo, pero no cruzar ninguna intersección de líneas de corte anteriores. Por lo tanto, la n ésima línea en sí se corta en n − 1 lugares y en n segmentos de línea. Cada segmento divide una pieza del panqueque cortado en ( n − 1) en 2 partes, agregando exactamente n al número de piezas. La nueva línea no puede tener más segmentos ya que solo puede cruzar cada línea anterior una vez. Una línea de corte siempre puede cruzar todas las líneas de corte anteriores, ya que girar el cuchillo en un ángulo pequeño alrededor de un punto que no es una intersección existente, si el ángulo es lo suficientemente pequeño, intersectará todas las líneas anteriores, incluida la última agregada.
Por lo tanto, el número total de piezas después de n cortes es
Esta relación de recurrencia se puede resolver. Si f ( n − 1) se expande un término, la relación se convierte en
La expansión del término f ( n − 2) puede continuar hasta que el último término se reduzca a f (0) , por lo tanto,
Dado que f (0) = 1 , debido a que hay una pieza antes de que se realicen los cortes, esto se puede reescribir como
Esto se puede simplificar utilizando la fórmula para la suma de una progresión aritmética :
