Triángulo de Bernoulli

Matriz de sumas parciales de los coeficientes binomiales

Derivación del triángulo de Bernoulli (texto en negrita azul) a partir del triángulo de Pascal (cursiva rosa)

El triángulo de Bernoulli es una matriz de sumas parciales de los coeficientes binomiales . Para cualquier entero no negativo n y para cualquier entero k incluido entre 0 y n , el componente en la fila n y la columna k viene dado por:

${\displaystyle \sum _{p=0}^{k}{n \choose p},}$

Como los números de composiciones de n +1 en k +1  particiones ordenadas el triángulo de Pascal, los números de composiciones de n +1 en k +1 o  menos particiones ordenadas forman el triángulo de Bernoulli.

es decir, la suma de los primeros k n coeficientes binomiales de orden. ^[1] Las primeras filas del triángulo de Bernoulli son:

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccc}&k&0&1&2&3&4&5\\n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&2\\2&&1&3&4\\3&&1&4&7&8\\4&&1&5&11&15&16\\5&&1&6&16&26&31&32\end{array}}}$

De manera similar al triángulo de Pascal , cada componente del triángulo de Bernoulli es la suma de dos componentes de la fila anterior, excepto el último número de cada fila, que es el doble del último número de la fila anterior. Por ejemplo, si denota el componente de la fila n y la columna k , entonces: ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle B_{n,k}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\B_{n-1,k}+B_{n-1,k-1}&{\mbox{if }}k<n\\2B_{n-1,k-1}=2^{n}&{\mbox{if }}k=n\end{cases}}}$

Sucesiones derivadas del triángulo de Bernoulli

Sucesiones de la Enciclopedia en línea de sucesiones enteras en el triángulo de Bernoulli

Al igual que en el triángulo de Pascal y otros triángulos construidos de manera similar, ^[2] las sumas de componentes a lo largo de trayectorias diagonales en el triángulo de Bernoulli dan como resultado los números de Fibonacci . ^[3]

Como la tercera columna del triángulo de Bernoulli ( k = 2) es un número triangular más uno, forma la secuencia del catering perezoso para n cortes, donde n ≥ 2. ^[4] La cuarta columna ( k = 3) es el análogo tridimensional, conocido como los números de pastel , para n cortes, donde n ≥ 3. ^[5]

La quinta columna ( k = 4) da el número máximo de regiones en el problema de dividir un círculo en áreas para n + 1 puntos, donde n ≥ 4. ^[6]

En general, la columna ( k + 1) da el número máximo de regiones en el espacio k -dimensional formadas por hiperplanos n − 1 ( k − 1)-dimensionales , para n ≥ k . ^[7] También da el número de composiciones (particiones ordenadas) de n + 1 en k + 1 o menos partes. ^[8]

Referencias

1. Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
2. Hoggatt, Jr, VE, Un nuevo ángulo en el triángulo de Pascal, Fibonacci Quarterly 6 (4) (1968) 221–234; Hoggatt, Jr, VE, Triángulos de convolución para números de Fibonacci generalizados, Fibonacci Quarterly 8 (2) (1970) 158–171
3. Neiter, D. y Proag, A., Vínculos entre sumas sobre caminos en los triángulos de Bernoulli y los números de Fibonacci, Journal of Integer Sequences , 19 (2016) 16.8.3.
4. "A000124 - Oís".
5. "A000125 - Oís".
6. "A000127 - Oís".
7. "A006261 - Oís".
8. "A008861 - Oís".

Enlaces externos

• La secuencia de números formada por el triángulo de Bernoulli en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros : https://oeis.org/A008949.