Postulados de la relatividad especial

Concepto en física

En física, Albert Einstein derivó la teoría de la relatividad especial en 1905 ^[1] a partir de principios que ahora se denominan postulados de la relatividad especial . Se dice que la formulación de Einstein sólo requiere dos postulados , aunque su derivación implica algunas suposiciones más.

La idea de que la relatividad especial dependía sólo de dos postulados, los cuales parecían derivarse de la teoría y el experimento de la época, fue uno de los argumentos más convincentes a favor de la exactitud de la teoría (Einstein 1912: " Esta teoría es correcta para la medida en que los dos principios en los que se basa son correctos Dado que éstos parecen ser correctos en gran medida,... ") ^[2]

Postulados de la relatividad especial

1. Primer postulado ( principio de relatividad )

Las leyes de la física toman la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales .

2. Segundo postulado (invariancia de c )

Medida en cualquier sistema de referencia inercial, la luz siempre se propaga en el espacio vacío con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor. O bien: la velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor c en todos los sistemas de referencia inerciales.

La base de dos postulados de la relatividad especial es la que utilizó históricamente Einstein y, en ocasiones, es el punto de partida en la actualidad. Como reconoció más tarde el propio Einstein, la derivación de la transformación de Lorentz hace uso tácito de algunos supuestos adicionales, entre ellos la homogeneidad espacial, la isotropía y la falta de memoria . ^[3] También Hermann Minkowski utilizó implícitamente ambos postulados cuando introdujo la formulación espacial de Minkowski , aunque demostró que c puede verse como una constante espacio-temporal, y la identificación con la velocidad de la luz se deriva de la óptica. ^[4]

Derivaciones alternativas de la relatividad especial

Históricamente, Hendrik Lorentz y Henri Poincaré (1892-1905) derivaron la transformación de Lorentz a partir de las ecuaciones de Maxwell , que sirvieron para explicar el resultado negativo de todas las mediciones de deriva del éter. De este modo, el éter luminífero se vuelve indetectable de acuerdo con lo que Poincaré llamó el principio de relatividad (ver Historia de las transformaciones de Lorentz y Teoría del éter de Lorentz ). Richard Feynman dio un ejemplo más moderno de derivación de la transformación de Lorentz a partir de la electrodinámica (sin utilizar en absoluto el concepto histórico de éter) . ^[5]

George Francis FitzGerald ya planteó un argumento similar al de Einstein en 1889, en respuesta al experimento de Michelson-Morley que parecía demostrar que ambos postulados eran ciertos. Escribió que una contracción de longitud es "casi la única hipótesis que puede conciliar" las aparentes contradicciones. Lorentz llegó de forma independiente a conclusiones similares y más tarde escribió "la principal diferencia es que Einstein simplemente postula lo que hemos deducido".

A partir de estas derivaciones, se han propuesto muchas derivaciones alternativas, basadas en varios conjuntos de supuestos. A menudo se ha argumentado (como Vladimir Ignatowski en 1910, ^{[6] [7] [8]} o Philipp Frank y Hermann Rothe en 1911, ^{[9] [10]} y muchos otros en años posteriores ^[11] ) que una La fórmula equivalente a la transformación de Lorentz, hasta un parámetro libre no negativo, se sigue simplemente del postulado de la relatividad en sí, sin postular primero la velocidad universal de la luz. ^[12] Estas formulaciones se basan en los diversos supuestos antes mencionados, como la isotropía. El valor numérico del parámetro en estas transformaciones se puede determinar mediante experimentos, del mismo modo que los valores numéricos del par de parámetros c y la permitividad del vacío se dejan determinar mediante experimentos incluso cuando se utilizan los postulados originales de Einstein. El experimento descarta la validez de las transformaciones galileanas. Cuando se han encontrado los valores numéricos tanto en el enfoque de Einstein como en otros, estos diferentes enfoques dan como resultado la misma teoría. ^{[ cita necesaria ]}

Insuficiencia de los dos postulados estándar.

La derivación de Einstein de 1905 no está completa. Se produce una ruptura en la lógica de Einstein cuando, después de haber establecido " la ley de la constancia de la velocidad de la luz " para el espacio vacío, invoca la ley en situaciones en las que el espacio ya no está vacío. ^[1] Para que la derivación se aplique a objetos físicos se requiere un postulado adicional o "hipótesis puente", de que la geometría derivada para el espacio vacío también se aplica cuando un espacio está poblado. Esto equivaldría a afirmar que sabemos que la introducción de materia en una región y su movimiento relativo no tienen ningún efecto sobre la geometría del haz de luz.

Semejante afirmación sería problemática, ya que Einstein rechazó la noción de que un proceso como la propagación de la luz pudiera ser inmune a otros factores (1914: " No puede haber duda de que este principio tiene una importancia de gran alcance; y, sin embargo, no puedo Creo en su validez exacta. Me parece increíble que el curso de cualquier proceso (por ejemplo, el de la propagación de la luz en el vacío) pueda concebirse como independiente de todos los demás acontecimientos del mundo ") ^{[13] .}

Incluir este "puente" como un tercer postulado explícito también podría haber dañado la credibilidad de la teoría, ya que el índice de refracción y el efecto Fizeau habrían sugerido que la presencia y el comportamiento de la materia parecen influir en la propagación de la luz, en contra de la teoría. Si esta hipótesis puente se hubiera planteado como un tercer postulado, se podría haber afirmado que el tercer postulado (y por tanto la teoría) fueron refutados por la evidencia experimental.

El sistema de 1905 como "teoría nula"

Sin una "hipótesis puente" como tercer postulado, la derivación de 1905 está abierta a la crítica de que sus relaciones derivadas sólo pueden aplicarse in vacuo , es decir, en ausencia de materia.

La controvertida sugerencia de que la teoría de 1905, derivada de la suposición del espacio vacío, podría aplicarse sólo al espacio vacío, aparece en el libro de Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler " Física del espacio-tiempo " (Cuadro 3-1: " El principio de la relatividad descansa "). sobre el Vacío "). ^[14]

Una sugerencia similar de que la reducción de la geometría GR al espacio-tiempo plano de SR sobre regiones pequeñas puede ser "no física" (porque las regiones planas puntiformes no pueden contener materia capaz de actuar como observadores físicos) fue reconocida pero rechazada por Einstein en 1914 (" Las ecuaciones de la La nueva teoría de la relatividad se reduce a las de la teoría original en el caso especial en el que g _μν puede considerarse constante... la única objeción que se puede plantear a la teoría es que las ecuaciones que hemos establecido podrían, tal vez, ser nulas. de cualquier contenido físico. Pero es probable que nadie piense seriamente que esta objeción esté justificada en el presente caso "). ^[13]

Einstein revisó el problema en 1919 (" De ninguna manera está establecido a priori que una transición limitante de este tipo tenga algún significado posible. Porque si los campos gravitacionales juegan un papel esencial en la estructura de las partículas de materia, la transición a la El caso límite de g _μν constante perdería, para ellos, su justificación, porque de hecho, con g _μν constante no podría haber partículas de materia ") ^{[15] .}

Se puede extraer un argumento adicional a favor de la falta de fisicalidad de la solución de Einstein al "problema de los agujeros" bajo la relatividad general, en la que Einstein rechaza la fisicalidad de las relaciones del sistema de coordenadas en un espacio verdaderamente vacío. ^[dieciséis]

Modelos relativistas alternativos

La teoría especial de Einstein no es la única teoría que combina una forma de constancia de la velocidad de la luz con el principio de la relatividad. Una teoría similar a la propuesta por Heinrich Hertz (en 1890) ^[17] permite que todos los objetos arrastren completamente la luz, lo que proporciona una constancia c local para todos los observadores físicos . La posibilidad lógica de una teoría hertziana muestra que los dos postulados estándar de Einstein ( sin la hipótesis puente) no son suficientes para permitirnos llegar de forma única a la solución de la relatividad especial (aunque la relatividad especial podría considerarse la solución más minimalista ).

Einstein estuvo de acuerdo en que la teoría de Hertz era lógicamente consistente (" Es sobre la base de esta hipótesis que Hertz desarrolló una electrodinámica de los cuerpos en movimiento que está libre de contradicciones. "), ^[18] pero la descartó basándose en un pobre acuerdo con el resultado de Fizeau , dejando la relatividad especial como la única opción restante. Dado que SR tampoco pudo reproducir el resultado de Fizeau sin introducir reglas auxiliares adicionales (para abordar el diferente comportamiento de la luz en un medio particulado), esta quizás no fue una comparación justa.

Formulación matemática de los postulados.

En la rigurosa formulación matemática de la relatividad especial , suponemos que el universo existe en un espaciotiempo de cuatro dimensiones M. Los puntos individuales en el espacio-tiempo se conocen como eventos ; Los objetos físicos en el espacio-tiempo se describen mediante líneas de mundo (si el objeto es una partícula puntual) o hojas de mundo (si el objeto es más grande que un punto). La línea del mundo o la hoja del mundo solo describe el movimiento del objeto; El objeto también puede tener otras características físicas como energía-momento , masa , carga , etc.

Además de los eventos y los objetos físicos, existe una clase de marcos de referencia inerciales . Cada sistema de referencia inercial proporciona un sistema de coordenadas para eventos en el espacio- tiempo M. Además, este marco de referencia también proporciona coordenadas a todas las demás características físicas de los objetos en el espacio-tiempo; por ejemplo, proporcionará coordenadas para el impulso y la energía de un objeto, coordenadas para un campo electromagnético , etc. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E)}$ ${\displaystyle (E_{1},E_{2},E_{3},B_{1},B_{2},B_{3})}$

Suponemos que dados dos sistemas de referencia inerciales, existe una transformación de coordenadas que convierte las coordenadas de un sistema de referencia a las coordenadas de otro sistema de referencia. Esta transformación no solo proporciona una conversión de coordenadas espacio-temporales , sino que también proporcionará una conversión de todas las demás coordenadas físicas, como una ley de conversión de impulso y energía , etc. (En la práctica, estas leyes de conversión se pueden manejar eficientemente usando las matemáticas de tensores .) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},E)}$

También asumimos que el universo obedece a una serie de leyes físicas. Matemáticamente, cada ley física puede expresarse con respecto a las coordenadas dadas por un sistema de referencia inercial mediante una ecuación matemática (por ejemplo, una ecuación diferencial ) que relaciona las distintas coordenadas de los distintos objetos en el espacio-tiempo. Un ejemplo típico son las ecuaciones de Maxwell . Otra es la primera ley de Newton .

1. Primer Postulado ( Principio de relatividad )

En las transiciones entre sistemas de referencia inerciales, las ecuaciones de todas las leyes fundamentales de la física permanecen invariantes en su forma, mientras que todas las constantes numéricas que entran en estas ecuaciones conservan sus valores. Por lo tanto, si una ley física fundamental se expresa con una ecuación matemática en un sistema inercial, debe expresarse mediante una ecuación idéntica en cualquier otro sistema inercial, siempre que ambos sistemas estén parametrizados con gráficos del mismo tipo. (La advertencia sobre los gráficos se suaviza si empleamos conexiones para escribir la ley en forma covariante).

2. Segundo Postulado (Invariancia de c )

Existe una constante absoluta con la siguiente propiedad. Si A , B son dos eventos que tienen coordenadas y en un sistema inercial , y tienen coordenadas y en otro sistema inercial , entonces ${\displaystyle 0<c<\infty }$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$ ${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')}$ ${\displaystyle F'}$

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}=c(s-t)\quad }$ si y solo si . ${\displaystyle \quad {\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}=c(s'-t')}$

Informalmente, el Segundo Postulado afirma que los objetos que viajan a velocidad c en un sistema de referencia necesariamente viajarán a velocidad c en todos los sistemas de referencia. Este postulado es un subconjunto de los postulados que subyacen a las ecuaciones de Maxwell en la interpretación que se les da en el contexto de la relatividad especial. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell se basan en varios otros postulados, algunos de los cuales ahora se sabe que son falsos (por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell no pueden explicar los atributos cuánticos de la radiación electromagnética).

El segundo postulado puede usarse para implicar una versión más fuerte de sí mismo, a saber, que el intervalo espacio-temporal es invariante ante cambios del sistema de referencia inercial. En la notación anterior, esto significa que

${\displaystyle c^{2}(s-t)^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}}$

${\displaystyle =c^{2}(s'-t')^{2}-(x'_{1}-y'_{1})^{2}-(x'_{2}-y'_{2})^{2}-(x'_{3}-y'_{3})^{2}}$

para dos eventos cualesquiera A , B . Esto, a su vez, puede utilizarse para deducir las leyes de transformación entre sistemas de referencia; ver transformación de Lorentz .

Los postulados de la relatividad especial se pueden expresar de manera muy sucinta utilizando el lenguaje matemático de las variedades pseudoriemannianas . El segundo postulado es entonces una afirmación de que el espaciotiempo de cuatro dimensiones M es una variedad pseudo-riemanniana equipada con una métrica g de firma (1,3), que viene dada por la métrica de Minkowski cuando se mide en cada sistema de referencia inercial. Esta métrica se considera una de las cantidades físicas de la teoría; por tanto, se transforma de cierta manera cuando se cambia el marco de referencia, y puede usarse legítimamente para describir las leyes de la física. El primer postulado es una afirmación de que las leyes de la física son invariantes cuando se representan en cualquier marco de referencia para el cual g esté dado por la métrica de Minkowski. Una ventaja de esta formulación es que ahora es fácil comparar la relatividad especial con la relatividad general , en la que se cumplen los mismos dos postulados pero se descarta el supuesto de que se requiere que la métrica sea Minkowski.

La teoría de la relatividad galileana es el caso límite de la relatividad especial en el límite (que a veces se denomina límite no relativista). En esta teoría, el primer postulado permanece sin cambios, pero el segundo postulado se modifica para: ${\displaystyle c\to \infty }$

Si A , B son dos eventos que tienen coordenadas y en un sistema inercial , y tienen coordenadas y en otro sistema inercial , entonces . Además, si , entonces ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$ ${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle s-t=s'-t'}$ ${\displaystyle s-t=s'-t'=0}$

${\displaystyle \quad {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}}$.

La teoría física dada por la mecánica clásica y la gravedad newtoniana es coherente con la relatividad galileana, pero no con la relatividad especial. Por el contrario, las ecuaciones de Maxwell no son consistentes con la relatividad galileana a menos que se postule la existencia de un éter físico. En un sorprendente número de casos, las leyes de la física de la relatividad especial (como la famosa ecuación ) pueden deducirse combinando los postulados de la relatividad especial con la hipótesis de que las leyes de la relatividad especial se aproximan a las leyes de la mecánica clásica en el plano no-relativo. límite relativista. ${\displaystyle E=mc^{2}}$

Notas

1. Einstein, Albert (1905). "Zur elektrodynamik bewegter körper" [Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento]. Annalen der Physik . 17 (10): 891–921. Código bibliográfico : 1905AnP...322..891E. doi : 10.1002/andp.19053221004 .
2. Einstein, A. (1912). "Relativität und Gravitation. Erwiderung auf eine Bemerkung von M. Abraham" [Relatividad y Gravitación: Respuesta a un comentario de M. Abraham]. Annalen der Physik . 343 (10): 1059-1064. Código bibliográfico : 1912AnP...343.1059E. doi : 10.1002/andp.19123431014. ISSN  0003-3804. S2CID  120162895.
3. Albert Einstein, documento de Morgan, 1921
4. Minkowski, Hermann (1909), "Raum und Zeit"  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88
   • Varias traducciones al inglés en Wikisource: Espacio y Tiempo.
5. Feynman, RP (1970), "21–6. Los potenciales de una carga que se mueve con velocidad constante; la fórmula de Lorentz", The Feynman Lectures on Physics , vol. 2, Lectura: Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-02115-3
6. Ignatowsky, Wv (1910). "Einige allgemeine Bemerkungen über das Relativitätsprinzip"  . Physikalische Zeitschrift . 11 : 972–976.

   • Traducción al inglés de Wikisource: Algunas observaciones generales sobre el principio de la relatividad

7. Ignatowsky, Wv (1911). "Das Relativitätsprinzip"  . Archiv der Mathematik und Physik . 18 : 17–40.
8. Ignatowsky, Wv (1911). "Eine Bemerkung zu meiner Arbeit:" Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip""  . Physikalische Zeitschrift . 12 : 779.
9. Frank, Philipp & Rothe, Hermann (1910), "Über die Transformation der Raum-Zeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme", Annalen der Physik , 339 (5): 825–855, Bibcode :1911AnP...339..825F , doi :10.1002/andp.19113390502

   • Traducción al inglés: Sobre la transformación de las coordenadas espacio-temporales de sistemas estacionarios a sistemas en movimiento

10. Frank, Philipp y Rothe, Hermann (1912). "Zur Herleitung der Lorentztransformación". Physikalische Zeitschrift . 13 : 750–753.
11. Baccetti, Valentina; Tate, Kyle; Visser, Matt (2012), "Marcos inerciales sin el principio de relatividad", Journal of High Energy Physics , 2012 (5): 119, arXiv : 1112.1466 , Bibcode :2012JHEP...05..119B, doi :10.1007/JHEP05( 2012)119, S2CID  118695037; Véanse las referencias 5 a 25 del mismo.
12. Morín, David (2008). Introducción a la mecánica clásica: con problemas y soluciones. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 549.ISBN​ 978-1-139-46837-4.Capítulo "Relatividad sin c" página 549
13. Einstein, Albert (1914). "Prinzipielles zur verallgemeinerten Relativitätstheorie und Gravitationstheorie" [Sobre los fundamentos de la teoría de la relatividad generalizada y la teoría de la gravitación]. Physikalische Zeitschrift (en alemán). 15 : 176–180. Código bibliográfico : 1914PhyZ...15..176E.
14. Taylor, Edwin F. (1992). Física del espacio-tiempo: Introducción a la relatividad especial. John Archibald Wheeler (Segunda ed.). Nueva York, Nueva York: Freeman. págs. 56–57. ISBN 0-7167-2327-1. OCLC  25165077.
15. Einstein, Alberto (1916). "¿Spielen Gravitationsfelder im Aufber der Materiellen Elementarteilchen eine Wesentliche Rolle?" [¿Los campos gravitacionales juegan un papel esencial en la estructura de las partículas elementales de la materia?]. Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften, Berlín (en alemán). - : 349–356.
16. Norton, JD (1993). "Covarianza general y los fundamentos de la relatividad general: ocho décadas de disputa". Informes sobre los avances en física . 56 (7): 791–858. Código bibliográfico : 1993RPPh...56..791N. doi :10.1088/0034-4885/56/7/001. S2CID  250902085.
17. Hercios, H. (1890). "Ueber die Grundgleichungen der Electrodynamik für bewegte Körper" [Sobre las ecuaciones básicas de electrodinámica para cuerpos en movimiento]. Annalen der Physik und Chemie (en alemán). 277 (11): 369–399. Código bibliográfico : 1890AnP...277..369H. doi : 10.1002/andp.18902771102.
18. Einstein, Alberto (1910). "El principio de la relatividad y sus consecuencias en la física moderna". Archives des sciences physiques et naturallles (en alemán). 29 : 5–28, 125–1.