Relación McCumber

La relación de McCumber (o teoría de McCumber) es una relación entre las secciones transversales efectivas de absorción y emisión de luz en la física de los láseres de estado sólido . ^{[1] [2]} Lleva el nombre de Dean McCumber, quien propuso la relación en 1964.

Definición

Sea la sección eficaz de absorción y las secciones eficaces de emisión a la frecuencia , y sea la temperatura efectiva del medio. La relación de McCumber es ${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}(\omega )}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle ~T~}$

(1) ${\displaystyle {\frac {\sigma _{\rm {e}}(\omega )}{\sigma _{\rm {a}}(\omega )}}\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)=\left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)}$

donde es la relación de poblaciones en estado estacionario térmico; la frecuencia se denomina frecuencia de "línea cero"; ^{[3] [4]} es la constante de Planck y es la constante de Boltzmann . Nótese que el lado derecho de la ecuación (1) no depende de . ${\displaystyle \left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {z}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle ~\omega ~}$

Ganar

Es típico que las propiedades láser de un medio estén determinadas por la temperatura y la población en el nivel del láser excitado, y no sean sensibles al método de excitación utilizado para lograrlo. En este caso, la sección transversal de absorción y la sección transversal de emisión en frecuencia se pueden relacionar con la ganancia del láser de tal manera que la ganancia en esta frecuencia se puede determinar de la siguiente manera: ${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}(\omega )}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}(\omega )}$ ${\displaystyle ~\omega ~}$

(2) ${\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~G(\omega )=N_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )-N_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )}$

DEMcCumber había postulado estas propiedades y encontró que las secciones transversales de emisión y absorción no son independientes; ^{[1] [2]} están relacionadas con la ecuación (1).

Átomos idealizados

En el caso de un átomo idealizado de dos niveles, el balance detallado de la emisión y la absorción que preserva la fórmula de Planck para la radiación del cuerpo negro conduce a la igualdad de la sección transversal de absorción y emisión. En los láseres de estado sólido, la división de cada uno de los niveles láser conduce a un ensanchamiento que excede en gran medida el ancho de línea espectral natural. En el caso de un átomo ideal de dos niveles, el producto del ancho de línea y la vida útil es del orden de la unidad, lo que obedece al principio de incertidumbre de Heisenberg . En los materiales láser de estado sólido, el ancho de línea es varios órdenes de magnitud mayor, por lo que los espectros de emisión y absorción están determinados por la distribución de la excitación entre los subniveles en lugar de por la forma de la línea espectral de cada transición individual entre subniveles. Esta distribución está determinada por la temperatura efectiva dentro de cada uno de los niveles láser. La hipótesis de McCumber es que la distribución de la excitación entre los subniveles es térmica. La temperatura efectiva determina los espectros de emisión y absorción ( los científicos denominan temperatura efectiva a una temperatura incluso si el medio excitado en su conjunto está bastante alejado del estado térmico).

Deducción de la relación McCumber

Fig. 1. Esquema de subniveles

Consideremos el conjunto de centros activos (fig.1). Supongamos una transición rápida entre subniveles dentro de cada nivel y una transición lenta entre niveles. Según la hipótesis de McCumber, las secciones eficaces y no dependen de las poblaciones y . Por lo tanto, podemos deducir la relación, suponiendo el estado térmico. ${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$

Sea la velocidad de grupo de la luz en el medio, el producto es la tasa espectral de emisión estimulada y es la de absorción; es la tasa espectral de emisión espontánea . (Tenga en cuenta que en esta aproximación no existe tal cosa como una absorción espontánea) El balance de fotones da: ${\displaystyle ~v(\omega )~}$ ${\displaystyle ~n_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}$ ${\displaystyle ~n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}$ ${\displaystyle a(\omega )n_{2}}$

(3) ${\displaystyle ~~~n_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )+n_{2}a(\omega )=n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(balance)}}}$

Que puede reescribirse como

(4) ${\displaystyle ~~~D(\omega )={\frac {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )}}{{\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}-1}}~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(D1)}}}$

La distribución térmica de la densidad de fotones se deriva de la radiación del cuerpo negro ^[5]

(5) ${\displaystyle ~~~D(\omega )~=~{\frac {{\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}}{\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}~~~~~{\rm {(D2)}}}$

Tanto (4) como (5) se cumplen para todas las frecuencias . Para el caso de centros activos idealizados de dos niveles, , y , lo que conduce a la relación entre la tasa espectral de emisión espontánea y la sección transversal de emisión . ^[5] (Mantenemos el término probabilidad de emisión para la cantidad , que es la probabilidad de emisión de un fotón dentro de un pequeño intervalo espectral durante un corto intervalo de tiempo , asumiendo que en el momento el átomo está excitado). La relación (D2) es una propiedad fundamental de la emisión espontánea y estimulada, y quizás la única forma de prohibir una ruptura espontánea del equilibrio térmico en el estado térmico de excitaciones y fotones. ${\displaystyle ~\omega ~}$ ${\displaystyle ~\sigma _{\rm {a}}(\omega )=\sigma _{\rm {e}}(\omega )~}$ ${\displaystyle ~n_{1}/n_{2}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)}$ ${\displaystyle a(\omega )}$ ${\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}(\omega )~}$ ${\displaystyle ~a(\omega ){\rm {d}}\omega {\rm {d}}t~}$ ${\displaystyle ~(\omega ,\omega +{\rm {d}}\omega )~}$ ${\displaystyle ~(t,t+{\rm {d}}t)~}$ ${\displaystyle ~t~}$

Para cada número de sitio , para cada número de subnivel , la probabilidad de emisión espectral parcial se puede expresar a partir de la consideración de átomos idealizados de dos niveles: ^[5] ${\displaystyle ~s~}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle ~a_{s,j}(\omega )~}$

(6) ${\displaystyle ~~~a_{s,j}(\omega )=\sigma _{s,j}(\omega ){\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~.~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {comparison1}}~~{\rm {partial}}}$

Si se descuidan los efectos coherentes cooperativos, la emisión es aditiva: para cualquier concentración de sitios y para cualquier población parcial de subniveles, se cumple la misma proporcionalidad entre y para las secciones transversales efectivas: ${\displaystyle ~q_{s}~}$ ${\displaystyle ~n_{s,j}~}$ ${\displaystyle ~a~}$ ${\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}~}$

(7) ${\displaystyle {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}={\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~({\rm {comparison)(av)}}}$

Entonces, la comparación de (D1) y (D2) da la relación

(8) ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)~~.~~~~~~~~{\rm {(n1n2)(mc1)}}}$

Esta relación es equivalente a la relación de McCumber (mc), si definimos la frecuencia de la línea cero como solución de la ecuación ${\displaystyle \omega _{Z}}$

(9) ${\displaystyle ~\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{\!T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {Z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)~~~~,~~~}$

El subíndice indica que la proporción de poblaciones se evalúa en el estado térmico. La frecuencia de la línea cero se puede expresar como ${\displaystyle ~T~}$

(10) ${\displaystyle \omega _{\rm {Z}}={\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar }}\ln \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{T}~~~~~~~~~~~~~~~~.~~{({\rm {oz)}}}}$

Entonces (n1n2) se convierte en equivalente de la relación de McCumber (mc).

No se requiere ninguna propiedad específica de los subniveles del medio activo para mantener la relación de McCumber. Se deduce de la suposición sobre la transferencia rápida de energía entre los niveles láser excitados y entre los niveles láser inferiores. La relación de McCumber (mc) tiene el mismo rango de validez que el concepto de la sección transversal de emisión en sí.

Confirmación de la relación con McCumber

La relación de McCumber se confirma para varios medios. ^{[6] [7]} En particular, la relación (1) permite aproximar dos funciones de frecuencia, secciones eficaces de emisión y absorción, con un solo ajuste. ^[8]

Violación de la relación McCumber y movimiento perpetuo

Fig.2. Secciones transversales para Yb:Gd ₂ SiO ₅ versus ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi c}{\omega }}}$

En 2006 se observó una fuerte violación de la relación de McCumber para Yb:Gd2SiO5 _{y se} informó en 3 revistas independientes. ^[9] [ 10 ^{] [11]} El comportamiento típico de las secciones transversales informadas se muestra en la Fig.2 con curvas gruesas. La sección transversal de emisión es prácticamente cero a una longitud de onda de 975 nm; esta propiedad hace que Yb:Gd2SiO5 sea _{un material} excelente para láseres de estado sólido eficientes .

Sin embargo, la propiedad descrita (curvas gruesas) no es compatible con la segunda ley de la termodinámica . Con un material de este tipo, el dispositivo de movimiento perpetuo sería posible. Sería suficiente llenar una caja con paredes reflectantes con Yb:Gd ₂ SiO ₅ y permitir que intercambiara radiación con un cuerpo negro a través de una ventana espectralmente selectiva que sea transparente en las proximidades de 975 nm y reflectante en otras longitudes de onda. Debido a la falta de emisividad a 975 nm, el medio debería calentarse, rompiendo el equilibrio térmico.

En base a la segunda ley de la termodinámica, los resultados experimentales ^{[9] [10] [11]} fueron refutados en 2007. Con la teoría de McCumber, se sugirió la corrección para la sección eficaz de emisión (curva delgada negra). ^[3] Luego esta corrección fue confirmada experimentalmente. ^[12]

Referencias

1. DEMcCumber. Relaciones de Einstein que conectan los espectros de emisión y absorción de banda ancha. PRB 136 (4A), 954–957 (1964)
2. PCBecker, NAOlson, JRSimpson. Amplificadores de fibra dopada con erbio: fundamentos y teoría (Academic, 1999).
3. D. Kouznetsov (2007). "Comentario sobre láser de Yb:Gd2SiO5 bombeado por diodos eficiente (Appl.Phys.Lett.88,221117(2006))". Applied Physics Letters . 90 (6): 066101. Código Bibliográfico :2007ApPhL..90f6101K. doi :10.1063/1.2435309.
4. D. Kouznetsov (2007). «Materiales láser de banda ancha y la relación de McCumber». Chinese Optics Letters . 5 : S240–S242. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2007.
5. e2
6. RSQuimby (2002). "Rango de validez de la teoría de McCumber al relacionar las secciones eficaces de absorción y emisión". Journal of Applied Physics . 92 (1): 180–187. Bibcode :2002JAP....92..180Q. doi :10.1063/1.1485112.
7. RMMartin; RSQuimby (2006). "Evidencia experimental de la validez de la teoría de McCumber que relaciona la emisión y la absorción para vidrios de tierras raras". Journal of the Optical Society of America B . 23 (9): 1770–1775. Bibcode :2006JOSAB..23.1770M. doi :10.1364/JOSAB.23.001770.
8. D.Kouznetsov; J.-F.Bisson; K.Takaichi; K.Ueda (2005). "Láser de estado sólido monomodo con cavidad inestable corta y ancha". Revista de la Sociedad Óptica de América B . 22 (8): 1605–1619. Código Bibliográfico :2005JOSAB..22.1605K. doi :10.1364/JOSAB.22.001605.
9. W. Li; H. Pan; L. Ding; H. Zeng; et al. (2006). "Láser de Yb:Gd2SiO5 bombeado por diodo eficiente". Applied Physics Letters . 88 (22): 221117. Código Bibliográfico :2006ApPhL..88v1117L. doi :10.1063/1.2206150.
10. W.Li; H.Pan; L.Ding; H.Zeng; et al. (2006). "Láser de Yb:Gd2SiO5 de onda continua bombeado por diodo y bloqueado en modo pasivo". Optics Express . 14 (2): 686–695. Bibcode :2006OExpr..14..686L. doi : 10.1364/OPEX.14.000686 . PMID  19503386.
11. _J.Xu ; et al. (2006). "Un nuevo cristal láser de oxiortosilicato dopado con Yb: Yb:Gd2SiO5 _" . Comunicaciones de estado sólido . 137 (8): 451–455. Código Bibliográfico :2006SSCom.137..451Y. doi :10.1016/j.ssc.2005.12.023.^{[ enlace muerto ]}
12. G. Zhao; L. Su; J. Xua; H. Zeng (2007). "Respuesta al comentario sobre láser de Yb:Gd2SiO5 bombeado por diodos eficiente (Appl. Phys. Lett. 90, 066101 2007)". Applied Physics Letters . 90 (6): 066103. Código Bibliográfico :2007ApPhL..90f6103Z. doi : 10.1063/1.2435314 .