Trivialidad cuántica

Posible resultado de la renormalización en física

En una teoría cuántica de campos , el filtrado de carga puede restringir el valor de la carga "renormalizada" observable de una teoría clásica. Si el único valor resultante de la carga renormalizada es cero, se dice que la teoría es "trivial" o no interactuante. Por lo tanto, sorprendentemente, una teoría clásica que parece describir partículas interactuantes puede, cuando se realiza como una teoría cuántica de campos, convertirse en una teoría "trivial" de partículas libres no interactuantes. Este fenómeno se conoce como trivialidad cuántica . Una evidencia sólida apoya la idea de que una teoría de campos que involucra solo un bosón de Higgs escalar es trivial en cuatro dimensiones del espacio-tiempo, ^{[1] [2]} pero la situación para modelos realistas que incluyen otras partículas además del bosón de Higgs no se conoce en general. Sin embargo, debido a que el bosón de Higgs juega un papel central en el Modelo Estándar de física de partículas , la cuestión de la trivialidad en los modelos de Higgs es de gran importancia.

Esta trivialidad del bosón de Higgs es similar al problema del polo de Landau en la electrodinámica cuántica , donde esta teoría cuántica puede ser inconsistente en escalas de momento muy altas a menos que la carga renormalizada se establezca en cero, es decir, a menos que la teoría de campo no tenga interacciones. La cuestión del polo de Landau generalmente se considera de menor interés académico para la electrodinámica cuántica debido a la escala de momento inaccesiblemente grande en la que aparece la inconsistencia. Sin embargo, este no es el caso en las teorías que involucran al bosón de Higgs escalar elemental, ya que la escala de momento en la que una teoría "trivial" exhibe inconsistencias puede ser accesible para los esfuerzos experimentales actuales, como en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) en el CERN . En estas teorías de Higgs, se postula que las interacciones de la partícula de Higgs consigo misma generan las masas de los bosones W y Z , así como las masas de los leptones como las del electrón y el muón . Si los modelos realistas de física de partículas, como el Modelo Estándar, adolecen de problemas de trivialidad, la idea de una partícula escalar elemental de Higgs quizá deba modificarse o abandonarse.

Sin embargo, la situación se vuelve más compleja en las teorías que involucran otras partículas. De hecho, la adición de otras partículas puede convertir una teoría trivial en una no trivial, a costa de introducir restricciones. Dependiendo de los detalles de la teoría, la masa del Higgs puede estar acotada o incluso ser calculable. ^[2] Estas restricciones de trivialidad cuántica contrastan marcadamente con la imagen que se deriva en el nivel clásico, donde la masa del Higgs es un parámetro libre. La trivialidad cuántica también puede conducir a una masa del Higgs calculable en escenarios de seguridad asintótica . ^[2]

La trivialidad y el grupo de renormalización

Las consideraciones modernas de trivialidad se formulan generalmente en términos del grupo de renormalización del espacio real , desarrollado en gran medida por Kenneth Wilson y otros. Las investigaciones de trivialidad se realizan generalmente en el contexto de la teoría de calibre de red . Una comprensión más profunda del significado físico y la generalización del proceso de renormalización, que va más allá del grupo de dilatación de las teorías renormalizables convencionales , provino de la física de la materia condensada. El artículo de Leo P. Kadanoff en 1966 propuso el grupo de renormalización de "bloqueo-espín". ^[3] La idea de bloqueo es una forma de definir los componentes de la teoría a grandes distancias como agregados de componentes a distancias más cortas.

Este enfoque cubrió el punto conceptual y recibió plena sustancia computacional ^[4] en las extensas e importantes contribuciones de Wilson. El poder de las ideas de Wilson quedó demostrado por una solución iterativa de renormalización constructiva de un problema de larga data, el problema de Kondo , en 1974, así como por los desarrollos seminales previos de su nuevo método en la teoría de transiciones de fase de segundo orden y fenómenos críticos en 1971 ^{[ cita requerida ]} . Se le otorgó el premio Nobel por estas contribuciones decisivas en 1982.

En términos más técnicos, supongamos que tenemos una teoría descrita por una determinada función de las variables de estado y un determinado conjunto de constantes de acoplamiento . Esta función puede ser una función de partición , una función de acción , un hamiltoniano , etc. Debe contener la descripción completa de la física del sistema. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle \{J_{k}\}}$

Ahora consideramos una cierta transformación de bloqueo de las variables de estado , el número de debe ser menor que el número de . Ahora intentemos reescribir la función solo en términos de . Si esto se puede lograr mediante un cierto cambio en los parámetros, , entonces se dice que la teoría es renormalizable . La información más importante en el flujo RG son sus puntos fijos . Los posibles estados macroscópicos del sistema, a gran escala, están dados por este conjunto de puntos fijos. Si estos puntos fijos corresponden a una teoría de campo libre, se dice que la teoría es trivial . Numerosos puntos fijos aparecen en el estudio de las teorías de Higgs en red , pero la naturaleza de las teorías cuánticas de campos asociadas con estos sigue siendo una pregunta abierta. ^[2] ${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$ ${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$

Antecedentes históricos

La primera evidencia de la posible trivialidad de las teorías cuánticas de campos fue obtenida por Landau, Abrikosov y Khalatnikov ^{[5] [6] [7]} al encontrar la siguiente relación de la carga observable g _obs con la carga "desnuda" g ₀ ,

donde m es la masa de la partícula y Λ es el límite de momento. Si g ₀ es finito, entonces g _obs tiende a cero en el límite del límite infinito Λ .

De hecho, la interpretación adecuada de la ecuación 1 consiste en su inversión, de modo que g ₀ (relacionado con la escala de longitud 1/Λ ) se elige para dar un valor correcto de g _obs ,

El crecimiento de g ₀ con Λ invalida las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) en la región g ₀ ≈ 1 (ya que se obtuvieron para g ₀ ≪ 1 ) y la existencia del "polo de Landau" en la ecuación 2 no tiene significado físico.

El comportamiento real de la carga g ( μ ) en función de la escala de momento μ está determinado por la ecuación completa de Gell-Mann-Low

lo que da las ecuaciones ( 1 ), ( 2 ) si se integra bajo las condiciones g ( μ ) = g _obs para μ = m y g ( μ ) = g ₀ para μ = Λ , cuando solo se retiene el término con en el lado derecho. ${\displaystyle \beta _{2}}$

El comportamiento general de depende de la aparición de la función β ( g ) . Según la clasificación de Bogoliubov y Shirkov, ^[8] existen tres situaciones cualitativamente diferentes: ${\displaystyle g(\mu )}$

1. si tiene un cero en el valor finito g ^* , entonces el crecimiento de g está saturado, es decir para ; ${\displaystyle \beta (g)}$ ${\displaystyle g(\mu )\to g^{*}}$ ${\displaystyle \mu \to \infty }$
2. si no es alternante y se comporta como con para grande , entonces el crecimiento de continúa hasta el infinito; ${\displaystyle \beta (g)}$ ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\mu )}$
3. si con para grande , entonces es divergente en valor finito y surge el polo de Landau real: la teoría es internamente inconsistente debido a la indeterminación de para . ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\mu )}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle g(\mu )}$ ${\displaystyle \mu >\mu _{0}}$

El último caso corresponde a la trivialidad cuántica en la teoría completa (más allá de su contexto de perturbación), como se puede ver por reducción al absurdo . De hecho, si g _obs es finito, la teoría es internamente inconsistente. La única forma de evitarlo es tender al infinito, lo cual es posible solo para g _obs → 0 . ${\displaystyle \mu _{0}}$

Conclusiones

Como resultado, la cuestión de si el modelo estándar de la física de partículas es no trivial sigue siendo una cuestión seria sin resolver. Existen pruebas teóricas de la trivialidad de la teoría de campos escalares pura, pero se desconoce la situación para el modelo estándar completo. Se han discutido las restricciones implícitas en el modelo estándar. ^{[9] [10] [11] [12] [13] [14]}

Véase también

• Problema de jerarquía

Referencias

1. R. Fernández; J. Froehlich ; AD Sokal (1992). Paseos aleatorios, fenómenos críticos y trivialidad en la teoría cuántica de campos . Springer . ISBN 0-387-54358-9.
2. DJE Callaway (1988). "Búsqueda de trivialidades: ¿pueden existir partículas escalares elementales?". Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode :1988PhR...167..241C. doi :10.1016/0370-1573(88)90008-7.
3. LP Kadanoff (1966): "Leyes de escala para modelos de Ising cerca de ", Física (Long Island City, NY) 2 , 263. ${\displaystyle T_{c}}$
4. KG Wilson (1975): El grupo de renormalización: fenómenos críticos y el problema de Kondo, Rev. Mod. Phys. 47 , 4, 773.
5. LD Landau ; AA Abrikosov ; IM Khalatnikov (1954). "Sobre la eliminación de los infinitos en la electrodinámica cuántica". Doklady Akademii Nauk SSSR . 95 : 497.
6. LD Landau; AA Abrikosov e IM Khalatnikov (1954). "Expresión asintótica para la función verde del electrón en electrodinámica cuántica". Doklady Akademii Nauk SSSR . 95 : 773.
7. LD Landau; AA Abrikosov e IM Khalatnikov (1954). "Expresión asintótica para la función verde del fotón en electrodinámica cuántica". Doklady Akademii Nauk SSSR . 95 : 1177.
8. NN Bogoliubov; DV Shirkov (1980). Introducción a la teoría de campos cuantizados (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-04223-5.
9. Callaway, D.; Petronzio, R. (1987). "¿Es predecible la masa del bosón de Higgs del modelo estándar?". Física nuclear B. 292 : 497–526. Código Bibliográfico : 1987NuPhB.292..497C. doi : 10.1016/0550-3213(87)90657-2.
10. IM Suslov (2010). "Comportamiento asintótico de la función β en la teoría φ ^{4 : un esquema sin parámetros complejos".} Revista de física experimental y teórica . 111 (3): 450–465. arXiv : 1010.4317 . Código Bibliográfico :2010JETP..111..450S. doi :10.1134/S1063776110090153. S2CID  118545858.
11. Frasca, Marco (2011). Teorema de mapeo y funciones de Green en la teoría de Yang-Mills (PDF) . Las múltiples caras de la QCD. Trieste : Proceedings of Science. p. 039. arXiv : 1011.3643 . Bibcode :2010mfq..confE..39F . Consultado el 27 de agosto de 2011 .
12. Callaway, DJE (1984). "No trivialidad de las teorías de calibración con escalares elementales y límites superiores en las masas del bosón de Higgs". Física nuclear B . 233 (2): 189–203. Código Bibliográfico :1984NuPhB.233..189C. doi :10.1016/0550-3213(84)90410-3.
13. Lindner, M. (1986). "Implicaciones de la trivialidad para el modelo estándar". Zeitschrift für Physik C . 31 (2): 295–300. Código Bib : 1986ZPhyC..31..295L. doi :10.1007/BF01479540. S2CID  123166350.
14. Urs Heller, Markus Klomfass, Herbert Neuberger y Pavlos Vranas (1993). "Análisis numérico del límite de trivialidad de la masa del Higgs", Nucl. Phys. , B405 : 555-573.