Restricción (matemáticas)

Función con un dominio más pequeño

La función con dominio no tiene función inversa . Si nos limitamos a los números reales no negativos , entonces sí tiene función inversa, conocida como raíz cuadrada de ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x.}$

En matemáticas , la restricción de una función es una nueva función, denotada u obtenida al elegir un dominio más pequeño para la función original. Se dice entonces que la función extiende ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}}$ ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}.}$

Definición formal

Sea una función de un conjunto a un conjunto. Si un conjunto es un subconjunto de entonces la restricción de a es la función ^[1] dada por para De manera informal, la restricción de a es la misma función que pero solo está definida en . ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$ ${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in A.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A}$

Si se piensa en la función como una relación sobre el producto cartesiano , entonces la restricción de a se puede representar mediante su gráfica , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle E\times F,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

donde los pares representan pares ordenados en el gráfico ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle G.}$

Extensiones

Se dice que una función es una ${\displaystyle F}$extensión de otra funciónsi siempre queestá en el dominio deentoncestambién está en el dominio dey Es decir, siy ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)=F(x).}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

Aextensión lineal (respectivamente,extensión continua , etc.) de una funciónes una extensión deque también es unafunción lineal(respectivamente, unafunción continua, etc.). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

1. La restricción de la función no inyectiva al dominio es la inyección ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}$
2. La función factorial es la restricción de la función gamma a los números enteros positivos, con el argumento desplazado en uno: ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

Propiedades de las restricciones

• Restringir una función a todo su dominio devuelve la función original, es decir, ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f|_{X}=f.}$
• Restringir una función dos veces es lo mismo que restringirla una vez, es decir, si entonces ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}$ ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}$
• La restricción de la función identidad de un conjunto a un subconjunto de es simplemente la función de inclusión de en ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• La restricción de una función continua es continua. ^{[3] [4]}

Aplicaciones

Funciones inversas

Para que una función tenga una inversa, debe ser biunívoca . Si una función no es biunívoca, puede ser posible definir una inversa parcial de restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función definida en la totalidad de no es biunívoca ya que para cualquier Sin embargo, la función se vuelve biunívoca si restringimos el dominio, en cuyo caso ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$ $${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(Si en cambio restringimos al dominio , entonces la inversa es el negativo de la raíz cuadrada de ) Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si permitimos que la inversa sea una función multivalor . ${\displaystyle (-\infty ,0],}$ ${\displaystyle y.}$

Operadores de selección

En álgebra relacional , una selección (a veces llamada restricción para evitar confusiones con el uso de SELECT en SQL ) es una operación unaria escrita como o donde: ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$

• ${\displaystyle a}$y son nombres de atributos, ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \theta }$es una operación binaria en el conjunto ${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$es un valor constante,
• ${\displaystyle R}$es una relación

La selección selecciona todas aquellas tuplas en las que se cumple entre el y el atributo. ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

La selección selecciona todas aquellas tuplas en las que se cumple entre el atributo y el valor. ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v.}$

De esta forma, el operador de selección se restringe a un subconjunto de toda la base de datos.

El lema del pegado

El lema de pegado es un resultado en topología que relaciona la continuidad de una función con la continuidad de sus restricciones a subconjuntos.

Sean dos subconjuntos cerrados (o dos subconjuntos abiertos) de un espacio topológico tales que y sea también un espacio topológico. Si es continuo cuando se restringe a ambos y entonces es continuo. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=X\cup Y,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$

Este resultado permite tomar dos funciones continuas definidas en subconjuntos cerrados (o abiertos) de un espacio topológico y crear una nueva.

Gavillas

Las haces proporcionan una forma de generalizar restricciones a objetos además de funciones.

En la teoría de haces , se asigna un objeto de una categoría a cada conjunto abierto de un espacio topológico y se exige que los objetos satisfagan ciertas condiciones. La condición más importante es que existan morfismos de restricción entre cada par de objetos asociados a conjuntos abiertos anidados; es decir, si existe un morfismo que satisfaga las siguientes propiedades, que están diseñadas para imitar la restricción de una función: ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$

• Para cada conjunto abierto el morfismo de restricción es el morfismo identidad en ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$ ${\displaystyle F(U).}$
• Si tenemos tres conjuntos abiertos entonces el compuesto ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• (Localidad) Si es una cubierta abierta de un conjunto abierto y si son tales que para cada conjunto de la cubierta, entonces ; y ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle s,t\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s=t}$
• (Pegado) Si es una cubierta abierta de un conjunto abierto y si para cada uno se da una sección tal que para cada par de conjuntos de cubierta las restricciones de y coinciden en las superposiciones: entonces hay una sección tal que para cada ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U_{i},U_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i.}$

La colección de todos estos objetos se denomina haz . Si solo se cumplen las dos primeras propiedades, se trata de un prehaz .

Restricción izquierda y derecha

En términos más generales, la restricción (o restricción de dominio o restricción por la izquierda ) de una relación binaria entre y puede definirse como una relación que tiene codominio de dominio y grafo. De manera similar, se puede definir una restricción por la derecha o restricción de rango. De hecho, se podría definir una restricción a las relaciones -arias , así como a los subconjuntos entendidos como relaciones, como los del producto cartesiano para relaciones binarias. Estos casos no encajan en el esquema de haces . ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle A\triangleleft R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}$ ${\displaystyle R\triangleright B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\times F}$

Anti-restricción

La anti-restricción de dominio (o sustracción de dominio ) de una función o relación binaria (con dominio y codominio ) por un conjunto se puede definir como ; elimina todos los elementos de del dominio A veces se denota  ⩤  ^[5] De manera similar, la anti-restricción de rango (o sustracción de rango ) de una función o relación binaria por un conjunto se define como ; elimina todos los elementos de del codominio A veces se denota  ⩥  ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B.}$

Véase también

• Restricción  : Condición de un problema de optimización que la solución debe satisfacer.
• Retracción de deformación  : mapeo continuo que preserva la posición desde un espacio topológico a un subespacioPages displaying short descriptions of redirect targets
• Propiedad local  : propiedad que se encuentra en vecindarios suficientemente pequeños o arbitrariamente pequeños de puntos.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Función (matemáticas) § Restricción y extensión
• Relación binaria § Restricción
• Álgebra relacional § Selección (σ)

Referencias

1. Stoll, Robert (1974). Conjuntos, lógica y teorías axiomáticas (2.ª ed.). San Francisco: WH Freeman and Company. pp. [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
2. Halmos, Paul (1960). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand.Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
3. Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
4. Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introducción a la topología: pura y aplicada . Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.
5. Dunne, S. y Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, Reino Unido, 5-7 de febrero de 2006, versión revisada seleccionada... Ciencias de la computación y cuestiones generales) . Springer (2006)