Grupo hiperoctaédrico

Grupo de simetrías de un hipercubo n-dimensional

En matemáticas , un grupo hiperoctaédrico es un tipo importante de grupo que puede representarse como el grupo de simetrías de un hipercubo o de un politopo cruzado . Fue nombrado por Alfred Young en 1930. Los grupos de este tipo se identifican por un parámetro n , la dimensión del hipercubo.

Como grupo de Coxeter es de tipo B _n = C _n , y como grupo de Weyl está asociado a los grupos simplécticos y a los grupos ortogonales en dimensiones impares. Como producto corona es donde S _n es el grupo simétrico de grado n . Como grupo de permutaciones , el grupo es el grupo simétrico con signo de permutaciones  π ya sea del conjunto ⁠ ⁠ o del conjunto ⁠ ⁠ tales que ⁠ ⁠ para todo  i . Como grupo de matrices , puede describirse como el grupo de matrices ortogonales n × n cuyas entradas son todas números enteros . Equivalentemente, este es el conjunto de matrices n × n con entradas solo 0, 1 o –1, que son invertibles y que tienen exactamente una entrada distinta de cero en cada fila o columna. La teoría de representación del grupo hiperoctaédrico fue descrita por (Young 1930) según (Kerber 1971, p. 2). ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$ ${\displaystyle \{-n,-n+1,\cdots ,-1,1,2,\cdots ,n\}}$ ${\displaystyle \{-n,-n+1,\cdots ,n\}}$ ${\displaystyle \pi (i)=-\pi (-i)}$

En tres dimensiones, el grupo hiperoctaédrico se conoce como O × S ₂ donde O ≅ S ₄ es el grupo octaédrico , y S ₂ es un grupo simétrico (aquí un grupo cíclico ) de orden 2. Se dice que las figuras geométricas en tres dimensiones con este grupo de simetría tienen simetría octaédrica , llamada así por el octaedro regular , o 3- ortoplex . En 4 dimensiones se llama simetría hexadecacórica , por la celda regular de 16 , o 4 - ortoplex . En dos dimensiones, la estructura del grupo hiperoctaédrico es el grupo diedro abstracto de orden ocho , que describe la simetría de un cuadrado , o 2-ortoplex.

Por dimensión

Las 8 permutaciones del cuadrado, formando D ₄

8 de las 48 permutaciones de un cubo, formando O _h

Los grupos hiperoctaédricos pueden denominarse como B n , una notación entre corchetes, o como un gráfico de grupo de Coxeter:

Subgrupos

Hay un notable subgrupo de índice dos, correspondiente al grupo de Coxeter D _n y las simetrías del semihipercubo . Visto como un producto de corona, hay dos mapas naturales del grupo hiperoctaédrico al grupo cíclico de orden 2: un mapa que proviene de "multiplicar los signos de todos los elementos" (en las n copias de ), y un mapa que proviene de la paridad de la permutación. Multiplicando estos juntos produce un tercer mapa . El núcleo del primer mapa es el grupo de Coxeter En términos de permutaciones con signo , pensadas como matrices, este tercer mapa es simplemente el determinante, mientras que los dos primeros corresponden a "multiplicar las entradas distintas de cero" y "paridad de la permutación subyacente (sin signo)", que generalmente no son significativas para matrices, pero en el caso se deben a la coincidencia con un producto de corona. ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle C_{n}\to \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle D_{n}.}$

Los núcleos de estos tres mapas son los tres subgrupos de índice dos del grupo hiperoctaédrico, como se analiza en H1: Abelianización a continuación, y su intersección es el subgrupo derivado , de índice 4 (cociente del grupo 4 de Klein), que corresponde a las simetrías rotacionales del semihipercubo.

En la otra dirección, el centro es el subgrupo de matrices escalares, {±1}; geométricamente, cociente por esto corresponde a pasar al grupo ortogonal proyectivo .

En dimensión 2 estos grupos describen completamente el grupo hiperoctaédrico, que es el grupo diedro Dih ₄ de orden 8 , y es una extensión 2.V (del 4-grupo por un grupo cíclico de orden 2). En general, pasando al subcociente (subgrupo derivado, centro mod) se encuentra el grupo de simetría del semihipercubo proyectivo.

Simetría tetraédrica en tres dimensiones, orden 24

El subgrupo hiperoctaédrico , D _n por dimensión:

Simetría piritoédrica en tres dimensiones, orden 24

Simetría octaédrica en tres dimensiones, orden 24

La simetría hiperoctaédrica quiral , es el subgrupo directo, índice 2 de la simetría hiperoctaédrica.

Otro subgrupo de índice 2 notable puede llamarse simetría hiperpiritoédrica , por dimensión: ^[5] Estos grupos tienen n espejos ortogonales en n dimensiones.

Homología

La homología de grupo del grupo hiperoctaédrico es similar a la del grupo simétrico y exhibe estabilización, en el sentido de la teoría de homotopía estable .

yo1: abelianización

El primer grupo de homología, que concuerda con la abelianización , se estabiliza en el cuatro-grupo de Klein y está dado por:

${\displaystyle H_{1}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0\\\mathbf {Z} /2&n=1\\\mathbf {Z} /2\times \mathbf {Z} /2&n\geq 2\end{cases}}.}$

Esto se ve fácilmente de manera directa: los elementos son de orden 2 (que no está vacío para ), y todos conjugados, al igual que las transposiciones en (que no está vacío para ), y estas son dos clases separadas. Estos elementos generan el grupo, por lo que las únicas abelianizaciones no triviales son a 2-grupos, y cualquiera de estas clases se puede enviar independientemente a ya que son dos clases separadas. Las funciones se dan explícitamente como "el producto de los signos de todos los elementos" (en las n copias de ), y el signo de la permutación. Multiplicarlas juntas produce una tercera función no trivial (el determinante de la matriz, que envía ambas clases a ), y junto con la función trivial forman el 4-grupo. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle -1\in \{\pm 1\},}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle -1}$

yo2:Multiplicadores de Schur

Los segundos grupos de homología, conocidos clásicamente como multiplicadores de Schur , se calcularon en (Ihara y Yokonuma 1965).

Ellos son:

${\displaystyle H_{2}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4\end{cases}}.}$

Notas

1. Conway y Smith 2003
2. du Val 1964, n.° 47
3. du Val 1964, n.° 42
4. du Val 1964, n.° 27
5. Coxeter 1999, p. 121, Ensayo 5 Poliedros oblicuos regulares
6. du Val 1964, n.° 41

Referencias

• Miller, GA (1918). "Grupos formados por matrices especiales". Bull. Am. Math. Soc . 24 (4): 203–6. doi : 10.1090/S0002-9904-1918-03043-7 .
• Du Val, P. (1964). Homografías, cuaterniones y rotaciones. Monografías matemáticas de Oxford. Clarendon Press. OCLC  904102141.
• Ihara, Shin-ichiro; Yokonuma, Takeo (1965), "Sobre los grupos de segunda cohomología (multiplicadores de Schur) de grupos de reflexión finitos", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 11 : 155–171, ISSN  0040-8980, MR  0190232
• Kerber, Adalbert (1971), Representaciones de grupos de permutación. I , Lecture Notes in Mathematics, vol. 240, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067943, ISBN 978-3-540-05693-5, Sr.  0325752
• Kerber, Adalbert (1975), Representaciones de grupos de permutación. II , Lecture Notes in Mathematics, vol. 495, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0085740, ISBN 978-3-540-07535-6, Sr.  0409624
• Young, Alfred (1930), "Sobre el análisis sustitucional cuantitativo 5", Actas de la London Mathematical Society , Serie 2, 31 : 273–288, doi :10.1112/plms/s2-31.1.273, ISSN  0024-6115, JFM  56.0135.02
• Coxeter, HSM; Moser, WOJ (2013) [1980]. Generadores y relaciones para grupos discretos (4.ª ed.). Springer. pág. 92 §7.4 Grupos fraccionarios lineales, pág. 122 §9.3 Grupos finitos. ISBN 978-3-662-21943-0.
• Baake, M. (1984). "Estructura y representaciones del grupo hiperoctaédrico". J. Math. Phys . 25 (11): 3171. Bibcode :1984JMP....25.3171B. doi :10.1063/1.526087.
• Stembridge, John R. (1992). "Las representaciones proyectivas del grupo hiperoctaédrico". J. Algebra . 145 (2): 396–453. doi :10.1016/0021-8693(92)90110-8. hdl : 2027.42/30235 .
• Coxeter, HSM (1999). La belleza de la geometría: doce ensayos . Dover. ISBN 0-486-40919-8. Número de serie LCCN  99035678.
• Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones. CRC Press. ISBN 978-1-000-68777-4.