variación de allan

Medida de estabilidad de frecuencia en relojes y osciladores.

La forma más sencilla de probar un reloj es comparándolo con un reloj de referencia mucho más preciso . Durante un intervalo de tiempo τ , medido por el reloj de referencia, el reloj bajo prueba avanza τy , donde y es la frecuencia de reloj promedio (relativa) durante ese intervalo. Si medimos dos intervalos consecutivos como se muestra, podemos obtener un valor de ( y − y ′) ² ; un valor más pequeño indica un reloj más estable y preciso. Si repetimos este procedimiento muchas veces, el valor promedio de ( y − y ′) ² es igual al doble de la varianza de Allan (o desviación de Allan al cuadrado) para el tiempo de observación τ .

La varianza de Allan ( AVAR ), también conocida como varianza de dos muestras , es una medida de estabilidad de frecuencia en relojes , osciladores y amplificadores . Lleva el nombre de David W. Allan y se expresa matemáticamente como . La desviación de Allan ( ADEV ), también conocida como sigma-tau , es la raíz cuadrada de la varianza de Allan . ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )}$ ${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )}$

La varianza de M muestras es una medida de la estabilidad de la frecuencia utilizando M muestras, el tiempo T entre mediciones y el tiempo de observación . M -la varianza muestral se expresa como ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau ).}$

La varianza de Allan pretende estimar la estabilidad debida a procesos de ruido y no la de errores sistemáticos o imperfecciones como la deriva de frecuencia o los efectos de la temperatura. La varianza de Allan y la desviación de Allan describen la estabilidad de la frecuencia. Consulte también la sección Interpretación del valor a continuación.

También existen diferentes adaptaciones o alteraciones de la varianza de Allan, en particular la varianza de Allan modificada MAVAR o MVAR, la varianza total y la varianza de Hadamard. También existen variantes de estabilidad temporal como la desviación temporal (TDEV) o la variación temporal (TVAR). La varianza de Allan y sus variantes han demostrado ser útiles fuera del alcance del cronometraje y son un conjunto de herramientas estadísticas mejoradas para usar siempre que los procesos de ruido no sean incondicionalmente estables, por lo que existe una derivada.

La varianza general de la muestra M sigue siendo importante, ya que permite tiempos muertos en las mediciones y las funciones de sesgo permiten la conversión a valores de varianza de Allan. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones el caso especial de 2 muestras, o "variación de Allan", es de gran interés. ${\displaystyle T=\tau }$

Gráfico de ejemplo de la desviación de Allan de un reloj. En un tiempo de observación muy corto τ , la desviación de Allan es alta debido al ruido. A mayor τ , disminuye porque el ruido se promedia. Para τ aún más larga , la desviación de Allan comienza a aumentar nuevamente, lo que sugiere que la frecuencia del reloj está derivando gradualmente debido a cambios de temperatura, envejecimiento de los componentes u otros factores similares. Las barras de error aumentan con τ simplemente porque lleva mucho tiempo obtener muchos puntos de datos para τ grande .

Diagrama de varianza de Allan en función del tiempo promedio, que muestra los 5 regímenes típicos. ^[1] 1. Ruido de modulación de fase (PM) blanco/parpadeante: En la frecuencia más alta, domina el ruido de fase. Esto corresponde a . Sin embargo, White PM sí, pero Flicker PM sí . El gráfico de varianza de Allan no los distingue. Se requiere un gráfico de varianza de Allan modificado para distinguirlos. 2. Ruido blanco de modulación de frecuencia (FM): a una frecuencia más baja, domina el ruido blanco en frecuencia. Esto corresponde a 3. Flicker FM: . A esto también se le llama "ruido rosa". 4. Paseo aleatorio FM: . A esto también se le llama "ruido marrón" o "ruido browniano". En este régimen, la frecuencia del sistema ejecuta un paseo aleatorio. En otras palabras, se convierte en un ruido blanco. 5. Deriva de frecuencia: . En este régimen, la frecuencia del sistema ejecuta un recorrido de ruido rosa. En otras palabras, se convierte en un ruido rosa. ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{-1}}$ ${\displaystyle S[f]=f^{3}}$ ${\displaystyle S[f]=f^{2}}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{-1/2},S[f]=f^{0}}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{0},S[f]\propto f^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{+1/2},S[f]\propto f^{-2}}$ ${\displaystyle df/dt}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\propto \tau ^{+1},S[f]\propto f^{-3}}$ ${\displaystyle df/dt}$

Fondo

Al investigar la estabilidad de los osciladores de cristal y los relojes atómicos , se descubrió que no tenían un ruido de fase compuesto sólo de ruido blanco , sino también de ruido de frecuencia de parpadeo . Estas formas de ruido se convierten en un desafío para las herramientas estadísticas tradicionales como la desviación estándar , ya que el estimador no convergerá. Por tanto, se dice que el ruido es divergente. Los primeros esfuerzos para analizar la estabilidad incluyeron tanto análisis teóricos como mediciones prácticas. ^{[2] [3]}

Una consecuencia secundaria importante de tener este tipo de ruido fue que, dado que los distintos métodos de medición no coincidían entre sí, no se podía lograr el aspecto clave de la repetibilidad de una medición. Esto limita la posibilidad de comparar fuentes y establecer especificaciones significativas que exigir a los proveedores. Básicamente, todas las formas de usos científicos y comerciales se limitaron entonces a mediciones específicas, que, con suerte, captarían la necesidad de esa aplicación.

Para abordar estos problemas, David Allan introdujo la varianza de M muestras y (indirectamente) la varianza de dos muestras. ^[4] Si bien la varianza de dos muestras no permitió distinguir completamente todos los tipos de ruido, proporcionó un medio para separar significativamente muchas formas de ruido para series temporales de mediciones de fase o frecuencia entre dos o más osciladores. Allan proporcionó un método para convertir entre cualquier varianza de M muestras a cualquier varianza de N muestras a través de la varianza común de 2 muestras, haciendo así comparables todas las varianzas de M muestras. El mecanismo de conversión también demostró que M -la varianza muestral no converge para M grandes , lo que los hace menos útiles. Posteriormente, el IEEE identificó la varianza de 2 muestras como la medida preferida. ^[5]

Una de las primeras preocupaciones estuvo relacionada con los instrumentos de medición de tiempo y frecuencia que tenían un tiempo muerto entre mediciones. Esta serie de mediciones no formaba una observación continua de la señal y, por lo tanto, introducía un sesgo sistemático en la medición. Se puso mucho cuidado en estimar estos sesgos. La introducción de contadores de tiempo muerto cero eliminó la necesidad, pero las herramientas de análisis de sesgos han demostrado ser útiles.

Otro aspecto inicial de preocupación estaba relacionado con cómo el ancho de banda del instrumento de medición influiría en la medición, por lo que era necesario anotarlo. Más tarde se descubrió que al cambiar algorítmicamente la observación , sólo los valores bajos se verían afectados, mientras que los valores más altos no se verían afectados. El cambio se realiza dejando que sea un múltiplo entero de la base de tiempo de medición : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle \tau =n\tau _{0}.}$

La física de los osciladores de cristal fue analizada por DB Leeson ^[3] y el resultado ahora se conoce como ecuación de Leeson . La retroalimentación en el oscilador hará que el ruido blanco y el ruido de parpadeo del amplificador de retroalimentación y el cristal se conviertan en ruidos de ley de potencia de ruido de frecuencia blanco y ruido de frecuencia de parpadeo, respectivamente. Estas formas de ruido tienen el efecto de que el estimador de varianza estándar no converge cuando se procesan muestras de error de tiempo. Esta mecánica de los osciladores de retroalimentación se desconocía cuando comenzó el trabajo sobre la estabilidad del oscilador, pero Leeson la presentó al mismo tiempo que David W. Allan puso a disposición el conjunto de herramientas estadísticas . Para obtener una presentación más completa sobre el efecto Leeson, consulte la literatura moderna sobre ruido de fase. ^[6] ${\displaystyle f^{-2}}$ ${\displaystyle f^{-3}}$

Interpretación del valor

La varianza de Allan se define como la mitad del promedio temporal de los cuadrados de las diferencias entre lecturas sucesivas de la desviación de frecuencia muestreadas durante el período de muestreo. La varianza de Allan depende del período de tiempo utilizado entre las muestras, por lo tanto, es una función del período de la muestra, comúnmente denotado como τ , al igual que la distribución que se mide, y se muestra como un gráfico en lugar de un solo número. Una varianza de Allan baja es una característica de un reloj con buena estabilidad durante el período medido.

La desviación de Allan se usa ampliamente para gráficos (convencionalmente en formato log-log ) y presentación de números. Se prefiere porque proporciona estabilidad de amplitud relativa, lo que permite una fácil comparación con otras fuentes de errores.

Una desviación de Allan de 1,3 × 10 ⁻⁹ en el tiempo de observación de 1 s (es decir, τ = 1 s) debe interpretarse como una inestabilidad en la frecuencia entre dos observaciones separadas por 1 segundo con un valor cuadrático medio relativo (RMS) de 1,3 × 10-9 .^​ Para un reloj de 10 MHz, esto equivaldría a un movimiento de 13 MHz RMS. Si se necesita la estabilidad de fase de un oscilador, entonces se deben consultar y utilizar las variantes de desviación de tiempo .

Se puede convertir la varianza de Allan y otras variaciones en el dominio del tiempo en medidas del tiempo (fase) y la estabilidad de la frecuencia en el dominio de la frecuencia. ^[7]

Formulaciones

M -varianza muestral

Dada una serie de tiempo , para cualquier número real positivo , defina la secuencia de números reales ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T,\tau }$

$${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\quad i=0,1,2,...}$$

^[4]corregida por Bessel ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\bar {y}}_{0},...,{\bar {y}}_{M-1}}$

$${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {M}{M-1}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right),}$$

• ${\displaystyle t}$es la lectura en un reloj de referencia (en unidades arbitrarias).
• ${\displaystyle x(t)}$es la lectura de un reloj que estamos probando (en unidades arbitrarias), en función de la lectura del reloj de referencia. También se puede interpretar como la serie temporal de frecuencia fraccionaria promedio.
• ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$es el enésimo promedio de frecuencia fraccional durante el tiempo de observación . ${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle M}$es el número de intervalos de lectura de reloj utilizados para calcular la varianza de la muestra, ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle T}$es el tiempo entre cada muestra de frecuencia,
• ${\displaystyle \tau }$es la duración de cada estimación de frecuencia, o el período de observación.

El tiempo muerto se puede contabilizar dejando que el tiempo sea diferente del de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau }$

variación de allan

La varianza de Allan se define como

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle }$

donde denota el operador de expectativa. ${\displaystyle \langle \dotsm \rangle }$

La condición significa que las muestras se toman sin tiempo muerto entre ellas. ${\textstyle T=\tau }$

desviación de allan

Al igual que con la desviación estándar y la varianza , la desviación de Allan se define como la raíz cuadrada de la varianza de Allan:

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.}$

Definiciones de apoyo

Modelo de oscilador

Se supone que el oscilador analizado sigue el modelo básico de

${\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).}$

Se supone que el oscilador tiene una frecuencia nominal de , dada en ciclos por segundo (unidad SI: hercios ). La frecuencia angular nominal (en radianes por segundo) viene dada por ${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.}$

La fase total se puede separar en una componente perfectamente cíclica , junto con una componente fluctuante : ${\displaystyle \omega _{\text{n}}t}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).}$

error de tiempo

La función de error de tiempo x ( t ) es la diferencia entre el tiempo nominal esperado y el tiempo normal real:

${\displaystyle x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.}$

Para los valores medidos se define una serie de errores de tiempo TE( t ) a partir de la función de tiempo de referencia T _ref ( t ) como

${\displaystyle TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).}$

Función de frecuencia

La función de frecuencia es la frecuencia en el tiempo, definida como ${\displaystyle \nu (t)}$

${\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.}$

Frecuencia fraccionaria

La frecuencia fraccionaria y ( t ) es la diferencia normalizada entre la frecuencia y la frecuencia nominal : ${\displaystyle \nu (t)}$ ${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

Frecuencia fraccionaria promedio

La frecuencia fraccionaria promedio se define como

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

donde el promedio se toma durante el tiempo de observación τ , y ( t ) es el error de frecuencia fraccionaria en el momento t , y τ es el tiempo de observación.

Dado que y ( t ) es la derivada de x ( t ), podemos reescribirlo sin pérdida de generalidad como

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.}$

Estimadores

Esta definición se basa en el valor esperado estadístico , integrándose en un tiempo infinito. La situación del mundo real no permite este tipo de series temporales, en cuyo caso es necesario utilizar un estimador estadístico en su lugar. Se presentarán y discutirán varios estimadores diferentes.

Convenciones

• El número de muestras de frecuencia en una serie de frecuencia fraccionaria se denota por M.
• El número de muestras de error de tiempo en una serie de errores de tiempo se denota por N.

  La relación entre el número de muestras de frecuencia fraccionaria y las series de errores de tiempo se fija en la relación

  ${\displaystyle N=M+1.}$

• Para series de muestras de error de tiempo, x _i denota la i -ésima muestra de la función de tiempo continua x ( t ) dada por

  ${\displaystyle x_{i}=x(iT),}$

  donde T es el tiempo entre mediciones. Para la varianza de Allan, el tiempo que se utiliza tiene T establecido en el tiempo de observación τ .

  La serie de muestras con error de tiempo permite que N denote el número de muestras ( x ₀ ... x _{N −1} ) en la serie. La convención tradicional utiliza el índice 1 a N.
• Para series de muestras de frecuencia fraccionaria promedio, denota la i- ésima muestra de la función de frecuencia fraccionaria continua promedio y ( t ) dada por ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}}$

  ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\bar {y}}(Ti,\tau ),}$

  lo que da

  ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(iT+t_{v})\,dt_{v}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}.}$

  Para el supuesto de varianza de Allan de que T es τ, se convierte en

  ${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x_{i+1}-x_{i}}{\tau }}.}$

  La serie de muestras de frecuencia fraccionaria promedio permite que M denote el número de muestras ( ) en la serie. La convención tradicional utiliza el índice 1 a M. Como abreviatura, la frecuencia fraccionaria promedio a menudo se escribe sin la barra promedio encima. Sin embargo, esto es formalmente incorrecto, ya que la frecuencia fraccionaria y la frecuencia fraccionaria promedio son dos funciones diferentes. Un instrumento de medición capaz de producir estimaciones de frecuencia sin tiempo muerto en realidad entregará una serie temporal de frecuencia promedio, que solo necesita convertirse en frecuencia fraccionaria promedio y luego puede usarse directamente. ${\displaystyle {\bar {y}}_{0}\ldots {\bar {y}}_{M-1}}$
• El tiempo entre mediciones se denota por T , que es la suma del tiempo de observación τ y el tiempo muerto.

Estimadores de τ fijos

Un primer estimador simple sería traducir directamente la definición a

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,M)=\operatorname {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

o para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,N)=\operatorname {AVAR} (\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

Estas fórmulas, sin embargo, sólo proporcionan el cálculo para el caso τ = τ ₀ . Para calcular un valor diferente de τ , es necesario proporcionar una nueva serie temporal.

Estimadores τ de variables no superpuestas

Tomando la serie de tiempo y saltándose n  − 1 muestras, ocurriría una nueva serie de tiempo (más corta) con τ ₀ como el tiempo entre las muestras adyacentes, para lo cual la varianza de Allan podría calcularse con estimadores simples. Estos podrían modificarse para introducir la nueva variable n de modo que no sea necesario generar nuevas series de tiempo, sino que la serie de tiempo original podría reutilizarse para varios valores de n . Los estimadores se vuelven

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}}$

con , ${\displaystyle n\leq M-1}$

y para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}}$

con . ${\displaystyle n\leq {\frac {N-1}{2}}}$

Estos estimadores tienen un inconveniente importante: descartarán una cantidad significativa de datos de muestra, ya que solo se utiliza 1/ n de las muestras disponibles.

Estimadores τ de variables superpuestas

Una técnica presentada por JJ Snyder ^[8] proporcionó una herramienta mejorada, ya que las mediciones se superpusieron en n series superpuestas de la serie original. Howe, Allan y Barnes introdujeron el estimador de varianza de Allan superpuesto. ^[9] Se puede demostrar que esto es equivalente a promediar el tiempo o las muestras de frecuencia normalizada en bloques de n muestras antes del procesamiento. El predictor resultante se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{aligned}}}$

o para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.}$

Los estimadores superpuestos tienen un rendimiento muy superior a los estimadores no superpuestos, ya que n aumenta y la serie de tiempo es de longitud moderada. Los estimadores superpuestos han sido aceptados como los estimadores de varianza de Allan preferidos en los estándares IEEE, ^[5] ITU-T ^[10] y ETSI ^[11] para mediciones comparables, como las necesarias para la calificación de telecomunicaciones.

Variación de Allan modificada

Para abordar la incapacidad de separar la modulación de fase blanca de la modulación de fase de parpadeo utilizando estimadores de varianza tradicionales de Allan, un filtrado algorítmico reduce el ancho de banda en n . Este filtrado proporciona una modificación a la definición y a los estimadores y ahora se identifica como una clase separada de varianza llamada varianza de Allan modificada . La medida de la varianza de Allan modificada es una medida de estabilidad de frecuencia, al igual que la varianza de Allan.

Estimadores de estabilidad temporal

Una medida estadística de estabilidad temporal (σ _x ), que a menudo se denomina desviación temporal (TDEV), se puede calcular a partir de la desviación de Allan modificada (MDEV). El TDEV se basa en el MDEV en lugar de en la desviación de Allan original, porque el MDEV puede discriminar entre modulación de fase (PM) blanca y parpadeante. La siguiente es la estimación de la varianza temporal basada en la varianza de Allan modificada:

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),}$

y de manera similar para la desviación de Allan modificada a la desviación de tiempo :

${\displaystyle \sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).}$

El TDEV se normaliza para que sea igual a la desviación clásica de PM blanca para la constante de tiempo τ =  τ ₀ . Para comprender el factor de escala de normalización entre las medidas estadísticas, la siguiente es la regla estadística relevante: Para las variables aleatorias independientes X e Y , la varianza (σ _z ² ) de una suma o diferencia ( z = x − y ) es la suma cuadrada de sus varianzas (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ² ). La varianza de la suma o diferencia ( y = x _{2 τ} − x _τ ) de dos muestras independientes de una variable aleatoria es el doble de la varianza de la variable aleatoria (σ _y ² = 2σ _x ² ). El MDEV es la segunda diferencia de mediciones de fase independientes ( x ) que tienen una varianza (σ _x ² ). Dado que el cálculo es la doble diferencia, que requiere tres mediciones de fase independientes ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x ), la varianza de Allan modificada (MVAR) es tres veces las varianzas de las mediciones de fase.

Otros estimadores

Desarrollos posteriores han producido métodos de estimación mejorados para la misma medida de estabilidad, la varianza/desviación de frecuencia, pero se conocen con nombres separados como varianza de Hadamard, varianza de Hadamard modificada, varianza total, varianza total modificada y varianza de Theo. Estos se distinguen por un mejor uso de las estadísticas para mejorar los límites de confianza o la capacidad de manejar la deriva de frecuencia lineal.

Intervalos de confianza y grados de libertad equivalentes

Los estimadores estadísticos calcularán un valor estimado sobre la serie de muestras utilizada. Las estimaciones pueden desviarse del valor real y el rango de valores que, con cierta probabilidad, contendrá el valor real se denomina intervalo de confianza . El intervalo de confianza depende del número de observaciones en la serie de muestras, el tipo de ruido dominante y el estimador que se utiliza. El ancho también depende de la certeza estadística de que los valores del intervalo de confianza forman un rango acotado, por lo tanto, la certeza estadística de que el valor verdadero está dentro de ese rango de valores. Para estimadores de variable τ , el múltiplo τ ₀ n también es una variable.

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza se puede establecer mediante la distribución chi-cuadrado utilizando la distribución de la varianza muestral : ^{[5] [9]}

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},}$

donde s ² es la varianza muestral de nuestra estimación, σ ² es el valor real de la varianza, df son los grados de libertad del estimador y χ ² son los grados de libertad para una determinada probabilidad. Para una probabilidad del 90%, que cubre el rango del 5% al ​​95% en la curva de probabilidad, los límites superior e inferior se pueden encontrar usando la desigualdad

${\displaystyle \chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),}$

que después del reordenamiento para la varianza verdadera se convierte en

${\displaystyle {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.}$

Grados de libertad efectivos

Los grados de libertad representan el número de variables libres capaces de contribuir a la estimación. Dependiendo del estimador y del tipo de ruido, los grados de libertad efectivos varían. Se han encontrado empíricamente fórmulas de estimación que dependen de N y n : ^[9]

Ruido de ley de potencia

La variación de Allan tratará varios tipos de ruido de ley potencial de manera diferente, lo que permitirá identificarlos y estimar su intensidad. Como convención, el ancho del sistema de medición (frecuencia de esquina alta) se denota por f _H .

Como se encuentra en ^{[12] [13]} y en formas modernas. ^{[14] [15]}

La variación de Allan no puede distinguir entre WPM y FPM, pero puede resolver los otros tipos de ruido de ley potencial. Para distinguir WPM y FPM, es necesario emplear la varianza de Allan modificada .

Las fórmulas anteriores suponen que

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$

y por tanto que el ancho de banda del tiempo de observación es mucho menor que el ancho de banda de los instrumentos. Cuando no se cumple esta condición, todas las formas de ruido dependen del ancho de banda del instrumento.

mapeo α – μ

El mapeo detallado de una modulación de fase de la forma.

${\displaystyle S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },}$

dónde

${\displaystyle \beta \equiv \alpha -2,}$

o modulación de frecuencia de la forma

${\displaystyle S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }}$

en la varianza de Allan de la forma

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }}$

se puede simplificar significativamente proporcionando un mapeo entre α y μ . También se presenta un mapeo entre α y K _α ^{por conveniencia: [5]}

Conversión general del ruido de fase.

Una señal con ruido de fase espectral con unidades de rad ² /Hz se puede convertir a varianza de Allan mediante ^[15] ${\displaystyle S_{\varphi }}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.}$

Respuesta lineal

Si bien la varianza de Allan está destinada a distinguir formas de ruido, dependerá de algunas, pero no de todas, las respuestas lineales al tiempo. Se dan en la tabla:

Por lo tanto, la deriva lineal contribuirá al resultado de salida. Al medir un sistema real, es posible que sea necesario estimar y eliminar de la serie temporal la deriva lineal u otro mecanismo de deriva antes de calcular la varianza de Allan. ^[14]

Propiedades de filtro de tiempo y frecuencia

Al analizar las propiedades de la varianza de Allan y sus amigos, ha resultado útil considerar las propiedades del filtro en la frecuencia de normalización. Comenzando con la definición de varianza de Allan para

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i}\right)^{2}\right\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(i\tau +t)\,dt.}$

Reemplazando la serie temporal de con la variante transformada de Fourier, la varianza de Allan se puede expresar en el dominio de la frecuencia como ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle S_{y}(f)}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\int _{0}^{\infty }S_{y}(f){\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}\,df.}$

Por tanto, la función de transferencia para la varianza de Allan es

${\displaystyle \left\vert H_{A}(f)\right\vert ^{2}={\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}.}$

Funciones de polarización

La varianza de la muestra M y la varianza de Allan del caso especial definido experimentarán un sesgo sistemático dependiendo del número diferente de muestras M y la relación diferente entre T y τ . Para abordar estos sesgos, se han definido las funciones de sesgo B ₁ y B ₂ ^[16] y permiten la conversión entre diferentes valores de M y T.

Estas funciones de sesgo no son suficientes para manejar el sesgo resultante de concatenar M muestras al tiempo de observación Mτ ₀ sobre el MT ₀ con el tiempo muerto distribuido entre los M bloques de medición en lugar de al final de la medición. Esto generó la necesidad del sesgo B ₃ . ^[17]

Las funciones de polarización se evalúan para un valor µ particular, por lo que el mapeo α – µ debe realizarse para la forma de ruido dominante encontrada mediante la identificación de ruido. Alternativamente, ^{[4] [16]} el valor µ de la forma de ruido dominante puede inferirse a partir de las mediciones utilizando las funciones de polarización.

Función de polarización B 1

La función de sesgo B ₁ relaciona la varianza de M -muestra con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan), manteniendo constante el tiempo entre mediciones T y el tiempo para cada medición τ . Se define ^[16] como

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

La función de sesgo se vuelve después del análisis.

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.}$

Función de polarización B 2

La función de sesgo B ₂ relaciona la varianza de 2 muestras para el tiempo de muestra T con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan), manteniendo constante el número de muestras N = 2 y el tiempo de observación τ . Se define ^[16] como

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

La función de sesgo se vuelve después del análisis.

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.}$

Función de polarización B 3

La función de sesgo B ₃ relaciona la varianza de 2 muestras para el tiempo de muestra MT ₀ y el tiempo de observación Mτ ₀ con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan) y se define ^[17] como

${\displaystyle B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle T=MT_{0},}$

${\displaystyle \tau =M\tau _{0}.}$

La función de sesgo B _{3 es útil para ajustar los valores del estimador} τ de variables no superpuestas y superpuestas basándose en mediciones de tiempo muerto del tiempo de observación τ ₀ y el tiempo entre observaciones T ₀ a estimaciones de tiempo muerto normales.

La función de sesgo se vuelve después del análisis (para el caso N  = 2)

${\displaystyle B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},}$

dónde

${\displaystyle F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.}$

función de polarización τ

Si bien no está formulado formalmente, se ha inferido indirectamente como consecuencia del mapeo α – µ . Al comparar dos medidas de varianza de Allan para diferentes τ , suponiendo el mismo ruido dominante en forma del mismo coeficiente µ, se puede definir un sesgo como

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.}$

La función de sesgo se vuelve después del análisis.

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.}$

Conversión entre valores

Para convertir de un conjunto de medidas a otro, se pueden ensamblar las _funciones de polarización _B1 , B2 y τ. Primero, la función B ₁ convierte el valor  ( N _​​1 ,  T ₁ ,  τ _{1 ) en (2,} T ₁ ,  τ ₁ ), a partir del cual la función B ₂ convierte en un valor (2,  τ ₁ ,  τ ₁ ), por lo tanto la varianza de Allan en τ ₁ . La medida de la varianza de Allan se puede convertir usando la función de sesgo τ de τ ₁ a τ ₂ , de donde luego (2,  T ₂ ,  τ ₂ ) usando B ₂ y finalmente usando B ₁ en ( N ₂ ,  T ₂ ,  τ ₂ ) varianza. La conversión completa se convierte en

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.}$

De manera similar, para mediciones concatenadas que utilizan M secciones, la extensión lógica se convierte en

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

Problemas de medición

Al realizar mediciones para calcular la varianza de Allan o la desviación de Allan, una serie de problemas pueden hacer que las mediciones degeneren. Aquí se tratan los efectos específicos de la varianza de Allan, donde los resultados estarían sesgados.

Límites del ancho de banda de medición

Se espera que un sistema de medición tenga un ancho de banda igual o inferior al de la tasa de Nyquist , como se describe en el teorema de Shannon-Hartley . Como se puede ver en las fórmulas del ruido de la ley potencial, las modulaciones del ruido blanco y del parpadeo dependen de la frecuencia de la esquina superior (se supone que estos sistemas tienen filtrado de paso bajo únicamente). Teniendo en cuenta la propiedad del filtro de frecuencia, se puede ver claramente que el ruido de baja frecuencia tiene un mayor impacto en el resultado. Para tipos de ruido de modulación de fase relativamente plana (por ejemplo, WPM y FPM), el filtrado tiene relevancia, mientras que para tipos de ruido con mayor pendiente el límite de frecuencia superior pierde importancia, asumiendo que el ancho de banda del sistema de medición es amplio en relación con el dado por ${\displaystyle f_{H}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}}.}$

Cuando no se cumple esta suposición, es necesario anotar el ancho de banda efectivo junto con la medición. Los interesados ​​deberán consultar a la NBS TN394. ^[12] ${\displaystyle f_{H}}$

Sin embargo, si se ajusta el ancho de banda del estimador utilizando múltiplos enteros del tiempo de muestra , entonces el impacto del ancho de banda del sistema se puede reducir a niveles insignificantes. Para las necesidades de telecomunicaciones, estos métodos han sido necesarios para garantizar la comparabilidad de las mediciones y permitir cierta libertad a los proveedores para realizar diferentes implementaciones. La Rec. UIT-T. G.813 ^[18] para la medida TDEV. ${\displaystyle n\tau _{0}}$

Se puede recomendar que se ignoren los primeros múltiplos, de modo que la mayoría del ruido detectado esté dentro de la banda de paso del ancho de banda de los sistemas de medición. ${\displaystyle \tau _{0}}$

Se realizaron más desarrollos en la variación de Allan para permitir que el ancho de banda del hardware se reduzca por medios de software. Este desarrollo de un ancho de banda de software permitió abordar el ruido restante, y el método ahora se conoce como varianza de Allan modificada . Esta técnica de reducción de ancho de banda no debe confundirse con la variante mejorada de la varianza de Allan modificada , que también cambia el ancho de banda de un filtro de suavizado.

Tiempo muerto en mediciones

Muchos instrumentos de medición de tiempo y frecuencia tienen las etapas de tiempo de armado, tiempo de base de tiempo, tiempo de procesamiento y luego pueden volver a activar el armado. El tiempo de armado es desde el momento en que se activa el armado hasta que ocurre el evento de inicio en el canal de inicio. Luego, la base de tiempo garantiza que transcurra una cantidad mínima de tiempo antes de aceptar un evento en el canal de parada como evento de parada. El número de eventos y el tiempo transcurrido entre el evento de inicio y el evento de parada se registra y presenta durante el tiempo de procesamiento. Cuando se produce el procesamiento (también conocido como tiempo de permanencia), el instrumento generalmente no puede realizar otra medición. Una vez realizado el procesamiento, un instrumento en modo continuo activa nuevamente el circuito del brazo. El tiempo entre el evento de parada y el siguiente evento de inicio se convierte en tiempo muerto , durante el cual no se observa la señal. Este tiempo muerto introduce sesgos sistemáticos en las mediciones, que deben compensarse para obtener resultados adecuados. Para tales sistemas de medición, el tiempo T denotará el tiempo entre los eventos de inicio adyacentes (y por lo tanto las mediciones), mientras que denotará la longitud de la base de tiempo, es decir, la longitud nominal entre el evento de inicio y de finalización de cualquier medición. ${\displaystyle \tau }$

Los efectos del tiempo muerto en las mediciones tienen tal impacto en el resultado producido que se han realizado muchos estudios del campo para cuantificar sus propiedades adecuadamente. La introducción de contadores de tiempo muerto cero eliminó la necesidad de realizar este análisis. Un contador de tiempo muerto cero tiene la propiedad de que el evento de parada de una medición también se utiliza como evento de inicio del siguiente evento. Dichos contadores crean una serie de pares de eventos y marcas de tiempo, uno para cada canal espaciado por la base de tiempo. Estas mediciones también han resultado útiles en formas ordenadas de análisis de series temporales.

Las mediciones que se realizan con tiempo muerto se pueden corregir utilizando la función de polarización B ₁ , B ₂ y B ₃ . Así, el tiempo muerto como tal no impide el acceso a la varianza de Allan, pero lo hace más problemático. Se debe conocer el tiempo muerto, de modo que se pueda establecer el tiempo entre muestras T.

Longitud de medición y uso efectivo de muestras.

Al estudiar el efecto sobre los intervalos de confianza que tiene la longitud N de la serie muestral y el efecto del parámetro variable τ n, los intervalos de confianza pueden volverse muy grandes, ya que el grado de libertad efectivo puede volverse pequeño para alguna combinación de N y n. para la forma de ruido dominante (para eso τ ).

El efecto puede ser que el valor estimado sea mucho menor o mucho mayor que el valor real, lo que puede llevar a conclusiones falsas del resultado.

Se recomienda trazar el intervalo de confianza junto con los datos, de modo que el lector del gráfico pueda ser consciente de la incertidumbre estadística de los valores.

Se recomienda que la longitud de la secuencia de muestras, es decir, el número de muestras N , se mantenga alta para garantizar que el intervalo de confianza sea pequeño en el rango τ de interés.

Se recomienda que el rango τ barrido por el multiplicador τ ₀ n esté limitado en el extremo superior relativo N , de modo que la lectura del gráfico no se confunda con valores del estimador altamente inestables.

Se recomienda que los estimadores que proporcionen mejores grados de libertad se utilicen en reemplazo de los estimadores de la varianza de Allan o como complemento de ellos cuando superen a los estimadores de la varianza de Allan. Entre ellos se deben considerar los estimadores de la varianza total y de la varianza Theo.

Tipo de ruido dominante

Una gran cantidad de constantes de conversión, correcciones de sesgo e intervalos de confianza dependen del tipo de ruido dominante. Para una interpretación adecuada , se deberá identificar el tipo de ruido dominante para el τ particular de interés mediante la identificación del ruido. No identificar el tipo de ruido dominante producirá valores sesgados. Algunos de estos sesgos pueden ser de varios órdenes de magnitud, por lo que pueden ser de gran importancia.

Deriva lineal

Los efectos sistemáticos sobre la señal sólo se anulan parcialmente. Se cancela el desplazamiento de fase y frecuencia, pero la deriva lineal u otras formas de alto grado de curvas de fase polinomiales no se cancelarán y, por lo tanto, constituirán una limitación de medición. Se podría emplear el ajuste de curvas y la eliminación del desplazamiento sistemático. A menudo, la eliminación de la deriva lineal puede ser suficiente. También se podría emplear el uso de estimadores de deriva lineal como la varianza de Hadamard. Se podría emplear una eliminación de la deriva lineal utilizando un estimador basado en momentos.

Sesgo del estimador del instrumento de medición

Los instrumentos tradicionales proporcionaban únicamente la medición de eventos individuales o de pares de eventos. La introducción de la herramienta estadística mejorada de mediciones superpuestas por JJ Snyder ^[8] permitió una resolución mucho mejor en las lecturas de frecuencia, rompiendo el equilibrio tradicional entre dígitos y base de tiempo. Si bien estos métodos son útiles para el propósito previsto, el uso de mediciones suavizadas para los cálculos de la varianza de Allan daría una falsa impresión de alta resolución, ^{[19] [20] [21]} pero durante más tiempo τ el efecto se elimina gradualmente y la resolución más baja La región τ de la medición tiene valores sesgados. Este sesgo proporciona valores más bajos de los que debería, por lo que es un sesgo demasiado optimista (suponiendo que lo que uno desea es números bajos), que reduce la usabilidad de la medición en lugar de mejorarla. Estos algoritmos inteligentes generalmente se pueden desactivar o eludir de otro modo mediante el uso del modo de marca de tiempo, que es mucho más preferible si está disponible.

Medidas prácticas

Si bien se pueden idear varios enfoques para medir la varianza de Allan, un ejemplo simple puede ilustrar cómo se pueden realizar las mediciones.

Medición

Todas las mediciones de la varianza de Allan serán, de hecho, la comparación de dos relojes diferentes. Considere un reloj de referencia y un dispositivo bajo prueba (DUT), y ambos tienen una frecuencia nominal común de 10 MHz. Se utiliza un contador de intervalos de tiempo para medir el tiempo entre el flanco ascendente de la referencia (canal A) y el flanco ascendente del dispositivo bajo prueba.

Para proporcionar mediciones espaciadas uniformemente, el reloj de referencia se dividirá para formar la velocidad de medición, lo que activará el contador de intervalos de tiempo (entrada ARM). Esta velocidad puede ser de 1 Hz (usando la salida de 1 PPS de un reloj de referencia), pero también se pueden usar otras velocidades como 10 Hz y 100 Hz. La velocidad a la que el contador de intervalos de tiempo puede completar la medición, generar el resultado y prepararse para el siguiente brazo limitará la frecuencia de disparo.

Entonces es útil una computadora para registrar la serie de diferencias horarias que se observan.

Postprocesamiento

Las series de tiempo registradas requieren un posprocesamiento para desenvolver la fase envuelta, de modo que se proporcione un error de fase continuo. Si es necesario, también se deben corregir los errores de registro y medición. Se debe realizar una estimación y eliminación de la deriva; el mecanismo de deriva debe identificarse y comprenderse para las fuentes. Las limitaciones de deriva en las mediciones pueden ser graves, por lo que es necesario dejar que los osciladores se estabilicen, tras permanecer encendidos durante un tiempo suficiente.

Luego, la varianza de Allan se puede calcular utilizando los estimadores proporcionados y, para fines prácticos, se debe utilizar el estimador superpuesto debido a su uso superior de datos sobre el estimador no superpuesto. También podrían usarse otros estimadores, como los estimadores de varianza total o Theo, si se aplican correcciones de sesgo de modo que proporcionen resultados compatibles con la varianza de Allan.

Para formar los gráficos clásicos, la desviación de Allan (raíz cuadrada de la varianza de Allan) se traza en formato log-log frente al intervalo de observación  τ .

Equipos y software

El contador de intervalos de tiempo suele ser un contador disponible en el mercado. Los factores limitantes incluyen la resolución de un solo disparo, la fluctuación del disparador, la velocidad de las mediciones y la estabilidad del reloj de referencia. La recopilación y el posprocesamiento informático se pueden realizar utilizando software comercial o de dominio público existente. Existen soluciones altamente avanzadas que proporcionarán medición y cálculo en una sola caja.

Historia de la investigación

El campo de la estabilidad de frecuencia se ha estudiado durante mucho tiempo. Sin embargo, durante la década de 1960 se descubrió que faltaban definiciones coherentes. Un simposio NASA-IEEE sobre estabilidad a corto plazo celebrado en noviembre de 1964 ^[22] dio lugar a la edición especial de febrero de 1966 de IEEE Proceedings on Frequency Stability.

El Simposio NASA-IEEE reunió muchos campos y usos de la estabilidad a corto y largo plazo, con artículos de muchos contribuyentes diferentes. Los artículos y los paneles de discusión coinciden en la existencia del ruido de parpadeo de frecuencia y en el deseo de lograr una definición común de estabilidad tanto a corto como a largo plazo.

Artículos importantes, incluidos los de David Allan, ^[4] James A. Barnes, ^[23] LS Cutler y CL Searle ^[2] y DB Leeson, ^[3] aparecieron en IEEE Proceedings on Frequency Stability y ayudaron a dar forma al campo.

El artículo de David Allan analiza la varianza de frecuencia clásica de la muestra M , abordando la cuestión del tiempo muerto entre mediciones junto con una función de sesgo inicial. ^[4] Aunque la función de sesgo inicial de Allan no supone ningún tiempo muerto, sus fórmulas sí incluyen cálculos de tiempo muerto. Su artículo analiza el caso de M muestras de frecuencia (llamadas N en el artículo) y estimadores de varianza. Proporciona el mapeo α–μ ahora estándar, basándose claramente en el trabajo de James Barnes ^[23] en el mismo número.

El caso de la varianza de 2 muestras es un caso especial de la varianza de M -muestra, que produce un promedio de la derivada de frecuencia. Allan utiliza implícitamente la varianza de 2 muestras como caso base, ya que para M elegido arbitrariamente , los valores pueden transferirse a través de la varianza de 2 muestras a la varianza de M muestras. No se indicó claramente ninguna preferencia por la variación de 2 muestras, incluso si se proporcionaron las herramientas. Sin embargo, este artículo sentó las bases para utilizar la varianza de 2 muestras como una forma de comparar otras varianzas de M muestras.

James Barnes amplió significativamente el trabajo sobre funciones de sesgo, ^[16] introduciendo las modernas funciones de sesgo B ₁ y B ₂ . Curiosamente, se refiere a la varianza de la muestra M como "varianza de Allan", mientras se refiere al artículo de Allan "Estadísticas de estándares de frecuencia atómica". ^[4] Con estas funciones de sesgo modernas, se podría realizar una conversión completa entre medidas de varianza de M -muestras de varios valores de M , T y τ , mediante la conversión a través de la varianza de 2 muestras.

James Barnes y David Allan ampliaron aún más las funciones de sesgo con la función B ₃ ^[17] para manejar el sesgo del estimador de muestras concatenadas. Esto era necesario para manejar el nuevo uso de observaciones de muestras concatenadas con tiempo muerto en el medio.

En 1970, el Comité Técnico de Frecuencia y Tiempo del IEEE, dentro del Grupo de Instrumentación y Medidas del IEEE, proporcionó un resumen del campo, publicado como Aviso Técnico NBS 394. ^[12] Este artículo fue el primero de una línea de trabajos más educativos y prácticos. artículos que ayudan a otros ingenieros a comprender el campo. Este artículo recomendó la varianza de 2 muestras con T = τ , refiriéndose a ella como varianza de Allan (ahora sin comillas). La elección de dicha parametrización permite un buen manejo de algunas formas de ruido y la obtención de mediciones comparables; es esencialmente el mínimo común denominador con la ayuda de las funciones de sesgo B ₁ y B ₂ .

JJ Snyder propuso un método mejorado para la estimación de frecuencia o varianza, utilizando estadísticas de muestra para contadores de frecuencia. ^[8] Para obtener grados de libertad más efectivos del conjunto de datos disponible, el truco consiste en utilizar períodos de observación superpuestos. Esto proporciona una mejora √ n y se incorporó en el estimador de varianza de Allan superpuesto . ^[9] También se incorporó procesamiento de software de τ variable. ^[9] Este desarrollo mejoró los estimadores de varianza de Allan clásicos, proporcionando además una inspiración directa para el trabajo sobre la varianza de Allan modificada .

Howe, Allan y Barnes presentaron el análisis de intervalos de confianza, grados de libertad y estimadores establecidos. ^[9]

Recursos educativos y prácticos.

El campo del tiempo y la frecuencia y su uso de la varianza de Allan, la desviación de Allan y sus amigos es un campo que involucra muchos aspectos, para los cuales tanto la comprensión de los conceptos como las mediciones prácticas y el posprocesamiento requieren cuidado y comprensión. Por lo tanto, existe un ámbito de material educativo disponible desde hace unos 40 años. Dado que reflejan los avances en la investigación de su época, se centran en enseñar diferentes aspectos a lo largo del tiempo, en cuyo caso una encuesta de los recursos disponibles puede ser una forma adecuada de encontrar el recurso adecuado.

El primer resumen significativo es la Nota Técnica 394 de la NBS "Caracterización de la Estabilidad de Frecuencia". ^[12] Este es el producto del Comité Técnico de Frecuencia y Tiempo del Grupo IEEE de Instrumentación y Medición. Ofrece una primera visión general del campo, planteando los problemas, definiendo las definiciones básicas de apoyo y entrando en la varianza de Allan, las funciones de sesgo B ₁ y B ₂ , la conversión de medidas en el dominio del tiempo. Esto es útil, ya que es una de las primeras referencias que tabula la varianza de Allan para los cinco tipos básicos de ruido.

Una referencia clásica es la monografía NBS 140 ^[24] de 1974, que en el capítulo 8 tiene "Estadísticas de análisis de datos de tiempo y frecuencia". ^[25] Esta es la variante ampliada de la Nota Técnica NBS 394 y agrega esencialmente técnicas de medición y procesamiento práctico de valores.

Una adición importante serán las Propiedades de las fuentes de señales y los métodos de medición . ^[9] Cubre el uso efectivo de datos, intervalos de confianza, grado de libertad efectivo, además de introducir el estimador de varianza de Allan superpuesto. Es una lectura muy recomendable para esos temas.

El estándar IEEE 1139 Definiciones estándar de cantidades físicas para metrología fundamental de frecuencia y tiempo ^[5] es, más allá de un estándar, una referencia integral y un recurso educativo.

Un libro moderno dirigido a las telecomunicaciones es Stefano Bregni "Sincronización de redes de telecomunicaciones digitales". ^[14] Esto resume no sólo el campo, sino también gran parte de su investigación en el campo hasta ese momento. Su objetivo es incluir tanto medidas clásicas como medidas específicas de telecomunicaciones, como el MTIE. Es un compañero útil cuando se analizan mediciones relacionadas con estándares de telecomunicaciones.

La publicación especial 1065 del NIST "Manual de análisis de estabilidad de frecuencia" de WJ Riley ^[15] es una lectura recomendada para cualquiera que desee dedicarse a este campo. Es rico en referencias y también cubre una amplia gama de medidas, sesgos y funciones relacionadas que un analista moderno debería tener disponibles. Además, describe el procesamiento general necesario para una herramienta moderna.

Usos

La varianza de Allan se utiliza como medida de la estabilidad de la frecuencia en una variedad de osciladores de precisión, como osciladores de cristal , relojes atómicos y láseres de frecuencia estabilizada durante un período de un segundo o más. La estabilidad a corto plazo (menos de un segundo) normalmente se expresa como ruido de fase . La varianza de Allan también se utiliza para caracterizar la estabilidad de polarización de los giroscopios , incluidos los giroscopios de fibra óptica , los giroscopios con resonador hemisférico y los giroscopios y acelerómetros MEMS . ^{[26] [27]}

50 Aniversario

En 2016, IEEE-UFFC publicará un "Número especial para celebrar el 50 aniversario de Allan Variance (1966-2016)". ^[28] Un editor invitado para ese número será el ex colega de David en el NIST , Judah Levine, quien es el ganador más reciente del II Premio Rabi .

Ver también

• Diferencia
• Semivarianza
• variograma
• Metrología
• Protocolo de tiempo de red
• Protocolo de tiempo de precisión
• Sincronización

Referencias

1. Publicación especial 1065 del NIST, Manual de análisis de estabilidad de frecuencia. julio de 2008
2. Cutler, LS; Searle, CL (febrero de 1966), "Algunos aspectos de la teoría y las mediciones de las fluctuaciones de frecuencia en los estándares de frecuencia" (PDF) , Actas del IEEE , 54 (2): 136–154, doi :10.1109/proc.1966.4627, archivado (PDF) del original del 9 de octubre de 2022
3. Leeson, D. B (febrero de 1966), "Un modelo simple de espectro de ruido del oscilador de retroalimentación", Actas del IEEE , 54 (2): 329–330, doi :10.1109/proc.1966.4682, archivado desde el original en 1 de febrero de 2014 , consultado el 20 de septiembre de 2012.
4. Allan, D. Estadísticas de estándares de frecuencia atómica, páginas 221–230. Actas del IEEE, vol. 54, nº 2, febrero de 1966.
5. "Definiciones estándar IEEE de cantidades físicas para metrología de tiempo y frecuencia fundamental: inestabilidades aleatorias". IEEE STD 1139-1999 . 1999. doi :10.1109/IEEESTD.1999.90575. ISBN 978-0-7381-1753-9.
6. Rubiola, Enrico (2008), Ruido de fase y estabilidad de frecuencia en osciladores , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88677-2
7. http://www.allanstime.com/Publications/DWA/Conversion_from_Allan_variance_to_Spectral_Densities.pdf. Archivado el 6 de febrero de 2012 en Wayback Machine.
8. Snyder, JJ: Un medidor de frecuencia de resolución ultraalta , páginas 464–469, Simposio de control de frecuencia n.° 35, 1981.
9. DA Howe, DW Allan, JA Barnes: Propiedades de las fuentes de señales y métodos de medición, páginas 464–469, Simposio de control de frecuencia n.° 35, 1981.
10. Rec. UIT-T. G.810: Definiciones y terminología para sincronización y redes, Rec. UIT-T. G.810 (08/96).
11. ETSI EN 300 462-1-1: Definiciones y terminología para redes de sincronización, ETSI EN 300 462-1-1 V1.1.1 (1998-05).
12. JA Barnes, AR Chi, LS Cutler, DJ Healey, DB Leeson, TE McGunigal, JA Mullen, WL Smith, R. Sydnor, RFC Vessot, GMR Winkler: Caracterización de la estabilidad de frecuencia , Nota técnica 394 de NBS, 1970.
13. JA Barnes, AR Chi, LS Cutler, DJ Healey, DB Leeson, TE McGunigal, JA Mullen, Jr., WL Smith, RL Sydnor, RFC Vessot, GMR Winkler: caracterización de la estabilidad de frecuencia , IEEE Transactions on Instruments and Measurements 20, págs. 105-120, 1971.
14. Bregni, Stefano: Sincronización de redes de telecomunicaciones digitales, Wiley 2002, ISBN 0-471-61550-1 . 
15. NIST SP 1065: Manual de análisis de estabilidad de frecuencia.
16. Barnes, JA: Tablas de funciones de sesgo, B1 y B2, para variaciones basadas en muestras finitas de procesos con densidades espectrales de la ley de potencia, Nota técnica 375 de NBS, 1969.
17. JA Barnes, DW Allan: Variaciones basadas en datos con tiempo muerto entre las mediciones, Nota técnica 1318 del NIST, 1990.
18. Rec. UIT-T. G.813: Características de temporización del reloj esclavo del equipo SDH (SEC), Rec. UIT-T. G.813 (03/2003).
19. Rubiola, Enrico (2005). "Sobre la medición de la frecuencia y de su varianza muestral con contadores de alta resolución" (PDF) . Revisión de Instrumentos Científicos . 76 (5): 054703–054703–6. arXiv : física/0411227 . Código Bib : 2005RScI...76e4703R. doi :10.1063/1.1898203. S2CID  119062268. Archivado desde el original (PDF) el 20 de julio de 2011.
20. Rubiola, Enrico: Sobre la medición de la frecuencia y de su varianza muestral con contadores de alta resolución Archivado el 20 de julio de 2011 en Wayback Machine , Proc. Simposio internacional conjunto de control de frecuencia del IEEE y reunión de aplicaciones y sistemas de tiempo preciso e intervalo de tiempo, págs. 46 a 49, Vancouver, Canadá, 29 a 31 de agosto de 2005.
21. Rubiola, Enrico: Contadores de frecuencia de alta resolución (versión extendida, 53 diapositivas) Archivado el 20 de julio de 2011 en Wayback Machine , seminario impartido en el Instituto FEMTO-ST, en la Universidad Henri Poincaré y en el Jet Propulsion Laboratory, NASA- Caltech.
22. NASA: [1] Estabilidad de frecuencia a corto plazo , Simposio NASA-IEEE sobre estabilidad de frecuencia a corto plazo Centro de vuelo espacial Goddard 23-24 de noviembre de 1964, Publicación especial 80 de la NASA.
23. Barnes, JA: Cronometraje atómico y estadísticas de generadores de señales de precisión, Procedimientos del IEEE sobre estabilidad de frecuencia, Vol 54 No 2, páginas 207–220, 1966.
24. Blair, BE: Tiempo y frecuencia: teoría y fundamentos, NBS Monografía 140, mayo de 1974.
25. David W. Allan, John H. Shoaf y Donald Halford: Estadísticas de análisis de datos de tiempo y frecuencia, NBS Monograph 140, páginas 151-204, 1974.
26. Análisis de varianza de Allan sobre caracteres de error del acelerómetro MEMS de bajo costo. MMA8451Q afahc.ro 2014
27. Bosé, S.; Gupta, Alaska; Handel, P. (septiembre de 2017). "Sobre el rendimiento de ruido y potencia de un sistema de posicionamiento inercial multi-IMU montado en zapata". 2017 Conferencia Internacional sobre Posicionamiento y Navegación en Interiores (IPIN) . págs. 1–8. doi :10.1109/IPIN.2017.8115944. ISBN 978-1-5090-6299-7. S2CID  19055090.
28. "IEEE UFFC | Publicaciones | Transacciones sobre UFFC | Propuesta de edición especial de IEEE Transactions on UFFC". Archivado desde el original el 3 de septiembre de 2014 . Consultado el 28 de agosto de 2014 .

enlaces externos

• Recursos didácticos sobre control de frecuencia de la UFFC
• Herramienta de búsqueda de publicaciones del NIST
• Descripción general de la variación Allan de David W. Allan
• Sitio web oficial de David W. Allan
• Publicaciones del JPL: análisis y estadísticas de ruido
• Publicaciones de William Riley
• Stable32, software para análisis de estabilidad de frecuencia, por William Riley
• Publicaciones de Stefano Bregni
• Publicaciones de Enrico Rubiola
• Allanvar: paquete R para la caracterización de errores de sensores utilizando Allan Variance
• Software de Windows Alavar con herramientas de generación de informes; software gratuito
• Biblioteca Python de código abierto AllanTools para Allan Variance
• Aplicación MATLAB de código abierto MATLAB AVAR