El rompecabezas del cuadrado faltante es una ilusión óptica que se utiliza en las clases de matemáticas para ayudar a los estudiantes a razonar sobre figuras geométricas; o más bien para enseñarles a no razonar utilizando figuras, sino a utilizar únicamente descripciones textuales y los axiomas de la geometría. Representa dos conjuntos formados por formas similares en configuraciones ligeramente diferentes. Cada uno de ellos forma aparentemente un triángulo rectángulo de 13×5 , pero uno tiene un agujero de 1×1.
La clave del rompecabezas es el hecho de que ninguno de los "triángulos" de 13x5 es realmente un triángulo, ni tampoco sería realmente 13x5 si lo fuera, porque lo que parece ser la hipotenusa está doblada. En otras palabras, la "hipotenusa" no mantiene una pendiente constante , aunque pueda parecerlo al ojo humano.
No se puede crear un triángulo de 13×5 verdadero a partir de las partes componentes dadas. Las cuatro figuras (las formas amarilla, roja, azul y verde) suman 32 unidades de área. Los triángulos aparentes formados a partir de las figuras tienen 13 unidades de ancho y 5 unidades de alto, por lo que parece que el área debería ser S = 13×5/2 = 32,5 unidades. Sin embargo, el triángulo azul tiene una proporción de 5:2 (=2,5), mientras que el triángulo rojo tiene una proporción de 8:3 (≈2,667), por lo que la hipotenusa combinada aparente en cada figura está en realidad doblada. Con la hipotenusa doblada, la primera figura ocupa en realidad 32 unidades combinadas, mientras que la segunda figura ocupa 33, incluido el cuadrado "faltante".
La cantidad de flexión es aproximadamente1/28 unidad (1,245364267°), que es difícil de ver en el diagrama del rompecabezas, y se ilustró como un gráfico. Observe el punto de la cuadrícula donde se encuentran los triángulos rojo y azul en la imagen inferior (5 cuadrados a la derecha y dos unidades hacia arriba desde la esquina inferior izquierda de la figura combinada), y compárelo con el mismo punto en la otra figura; el borde está ligeramente debajo de la marca en la imagen superior, pero la atraviesa en la inferior. La superposición de las "hipotenusas" de ambas figuras da como resultado un paralelogramo muy delgado (representado con los cuatro puntos rojos) con un área de exactamente un cuadrado de la cuadrícula ( el teorema de Pick da 0 [1] + 4 [2]/2 − 1 = 1), por lo que el área "faltante".
Según Martin Gardner , [3] este rompecabezas en particular fue inventado por un mago aficionado de la ciudad de Nueva York , Paul Curry , en 1953. Sin embargo, el principio de la paradoja de disección se conoce desde principios del siglo XVI.
Las dimensiones enteras de las partes del rompecabezas (2, 3, 5, 8, 13) son números de Fibonacci sucesivos , lo que conduce al área unitaria exacta en el paralelogramo delgado . Muchos otros rompecabezas de disección geométrica se basan en unas pocas propiedades simples de la secuencia de Fibonacci. [4]
La paradoja del tablero de ajedrez de Sam Loyd demuestra dos reorganizaciones de un cuadrado de 8x8. En la reorganización "más grande" (el rectángulo de 5x13 en la imagen de la derecha), los espacios entre las figuras tienen un área combinada de una unidad cuadrada más que sus contrapartes de espacios cuadrados, lo que crea una ilusión de que las figuras allí ocupan más espacio que las de la figura cuadrada original. [5] En la reorganización "más pequeña" (la forma debajo del rectángulo de 5x13), cada cuadrilátero necesita superponerse al triángulo por un área de media unidad para que su borde superior/inferior se alinee con una línea de cuadrícula, lo que resulta en una pérdida general de un área de una unidad cuadrada.
La "paradoja" de Mitsunobu Matsuyama utiliza cuatro cuadriláteros congruentes y un cuadrado pequeño, que forman un cuadrado más grande. Cuando los cuadriláteros se rotan sobre sus centros, llenan el espacio del cuadrado pequeño, aunque el área total de la figura parece inalterada. La aparente paradoja se explica por el hecho de que el lado del nuevo cuadrado grande es un poco más pequeño que el original. Si θ es el ángulo entre dos lados opuestos en cada cuadrilátero, entonces la relación de las dos áreas está dada por sec 2 θ . Para θ = 5°, esto es aproximadamente 1,00765, lo que corresponde a una diferencia de aproximadamente el 0,8%.
Un rompecabezas que desaparece es una ilusión óptica mecánica que muestra diferentes cantidades de un determinado objeto cuando se mueven las partes del rompecabezas. [6]
