Onda capilar

Onda en la superficie de un fluido, dominada por la tensión superficial

Ondas capilares (ondulaciones) en el agua

Ondas en el fiordo de Lifjord, en el municipio de Øksnes , Noruega

Ondas capilares producidas por el impacto de las gotas en la interfaz entre el agua y el aire.

Una onda capilar es una onda que viaja a lo largo del límite de fase de un fluido, cuya dinámica y velocidad de fase están dominadas por los efectos de la tensión superficial .

Las ondas capilares son comunes en la naturaleza y suelen denominarse ondulaciones . La longitud de onda de las ondas capilares en el agua suele ser inferior a unos pocos centímetros, con una velocidad de fase superior a 0,2–0,3 metros/segundo.

Una longitud de onda más larga en una interfaz de fluido dará como resultado ondas de gravedad-capilares que están influenciadas tanto por los efectos de la tensión superficial y la gravedad , como por la inercia del fluido. Las ondas de gravedad ordinarias tienen una longitud de onda aún más larga.

Cuando se generan por el viento ligero en mar abierto, un nombre náutico para ellas es olas en forma de pata de gato . Las brisas ligeras que provocan estas pequeñas ondulaciones también se conocen a veces como patas de gato. En mar abierto, las olas de la superficie del océano ( mares y oleajes ) mucho más grandes pueden resultar de la coalescencia de ondas de onda más pequeñas causadas por el viento.

Relación de dispersión

La relación de dispersión describe la relación entre la longitud de onda y la frecuencia de las ondas. Se puede distinguir entre ondas capilares puras, dominadas totalmente por los efectos de la tensión superficial, y ondas capilares gravitacionales, que también se ven afectadas por la gravedad.

Ondas capilares, propias

La relación de dispersión para las ondas capilares es

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},}$

donde es la frecuencia angular , la tensión superficial , la densidad del fluido más pesado, la densidad del fluido más ligero y el número de onda . La longitud de onda es Para el límite entre el fluido y el vacío (superficie libre), la relación de dispersión se reduce a ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.}$

Ondas capilares de gravedad

Dispersión de ondas de gravedad por capilaridad en la superficie de aguas profundas (densidad de masa cero de la capa superior, ). Velocidad de fase y de grupo dividida por en función de la longitud de onda relativa inversa .  • Líneas azules (A): velocidad de fase, Líneas rojas (B): velocidad de grupo.  • Líneas dibujadas: relación de dispersión para ondas de gravedad por capilaridad.  • Líneas discontinuas: relación de dispersión para ondas de gravedad en aguas profundas.  • Líneas discontinuas y punteadas: relación de dispersión válida para ondas capilares en aguas profundas. ${\displaystyle \rho '=0}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}{\sqrt {\sigma /(\rho g)}}}$

Cuando las ondas capilares también se ven afectadas sustancialmente por la gravedad, se denominan ondas de gravedad-capilares. Su relación de dispersión es, para ondas en la interfaz entre dos fluidos de profundidad infinita: ^{[1] [2]}

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

donde es la aceleración debida a la gravedad y son la densidad de masa de los dos fluidos . El factor en el primer término es el número de Atwood . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle (\rho >\rho ')}$ ${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$

Régimen de ondas de gravedad

Para longitudes de onda grandes (pequeñas ), solo el primer término es relevante y se tienen ondas de gravedad . En este límite, las ondas tienen una velocidad de grupo que es la mitad de la velocidad de fase : siguiendo la cresta de una onda individual en un grupo, se puede ver que la onda aparece en la parte posterior del grupo, crece y finalmente desaparece en la parte delantera del grupo. ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

Régimen de ondas capilares

Las ondas más cortas (grandes ) (por ejemplo, 2 mm para la interfaz agua-aire), que son ondas capilares propiamente dichas, hacen lo contrario: una onda individual aparece al frente del grupo, crece al moverse hacia el centro del grupo y finalmente desaparece en la parte posterior del grupo. La velocidad de fase es dos tercios de la velocidad del grupo en este límite. ${\displaystyle k}$

Velocidad de fase mínima

Entre estos dos límites hay un punto en el que la dispersión causada por la gravedad anula la dispersión debida al efecto capilar. A una determinada longitud de onda, la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase y no hay dispersión. Precisamente en esta misma longitud de onda, la velocidad de fase de las ondas de gravedad-capilaridad en función de la longitud de onda (o número de onda) tiene un mínimo. Las ondas con longitudes de onda mucho más pequeñas que esta longitud de onda crítica están dominadas por la tensión superficial y mucho más por la gravedad. El valor de esta longitud de onda y la velocidad de fase mínima asociada son: ^[1] ${\displaystyle \lambda _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}}$

${\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}$

Para la interfaz aire - agua , se encuentra que es de 1,7 cm (0,67 pulgadas) y es de 0,23 m/s (0,75 pies/s). ^[1] ${\displaystyle \lambda _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}}$

Si se deja caer una pequeña piedra o gota en un líquido, las ondas se propagan fuera de un círculo en expansión de fluido en reposo; este círculo es una cáustica que corresponde a la velocidad mínima del grupo. ^[3]

Derivación

Como dijo Richard Feynman , " las ondas de agua que son fácilmente visibles para todos y que se usan habitualmente como ejemplo de ondas en los cursos elementales [...] son ​​el peor ejemplo posible [...]; tienen todas las complicaciones que pueden tener las ondas " . ^[4] La derivación de la relación general de dispersión es, por lo tanto, bastante complicada. ^[5]

Hay tres contribuciones a la energía, debidas a la gravedad, a la tensión superficial y a la hidrodinámica . Las dos primeras son energías potenciales y responsables de los dos términos dentro del paréntesis, como se desprende de la aparición de y . Para la gravedad, se supone que la densidad de los fluidos es constante (es decir, incompresibilidad) y lo mismo (las ondas no son lo suficientemente altas como para que la gravitación cambie apreciablemente). Para la tensión superficial, se supone que las desviaciones de la planaridad (medidas por las derivadas de la superficie) son pequeñas. Para las ondas comunes, ambas aproximaciones son suficientemente buenas. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle g}$

La tercera contribución se refiere a las energías cinéticas de los fluidos. Es la más complicada y requiere un marco hidrodinámico . También interviene la incompresibilidad (que se cumple si la velocidad de las ondas es mucho menor que la velocidad del sonido en el medio), junto con el hecho de que el flujo es irrotacional (en ese caso, el flujo es potencial ) . Estas suelen ser también buenas aproximaciones para situaciones comunes.

La ecuación resultante para el potencial (que es la ecuación de Laplace ) se puede resolver con las condiciones de contorno adecuadas. Por un lado, la velocidad debe desaparecer muy por debajo de la superficie (en el caso de "aguas profundas", que es el que consideramos, de lo contrario se obtiene un resultado más complejo, véase Ondas superficiales del océano ). Por otro lado, su componente vertical debe coincidir con el movimiento de la superficie. Esta contribución termina siendo responsable del exceso fuera del paréntesis, que hace que todos los regímenes sean dispersivos, tanto en valores bajos de , como altos (excepto alrededor del valor en el que las dos dispersiones se cancelan). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Véase también

• Acción capilar
• Dispersión (ondas de agua)
• Tubo de fluido
• Onda superficial del océano
• Onda capilar térmica
• Flujo de dos fases
• Ondulación formada por ondas

Galería

• 
  Ondas en el agua creadas por zapateros acuáticos
• 
  Una ligera brisa agita las aguas superficiales de un lago.

Notas

1. Lamb (1994), §267, página 458–460.
2. Dingemans (1997), Sección 2.1.1, pág. 45.
   Phillips (1977), Sección 3.2, pág. 37.
3. Falkovich, G. (2011). Mecánica de fluidos, un curso breve para físicos . Cambridge University Press. Sección 3.1 y Ejercicio 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
4. RP Feynman , RB Leighton y M. Sands (1963). Las conferencias Feynman sobre física . Addison-Wesley. Volumen I, capítulo 51-4.
5. Véase, por ejemplo, Safran (1994) para una descripción más detallada.
6. Cordero (1994), §174 y §230.
7. Cordero (1994), §266.
8. Lamb (1994), §61.
9. Cordero (1994), §20
10. Cordero (1994), §230.
11. Whitham, GB (1974). Ondas lineales y no lineales . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-94090-9.Véase la sección 11.7.
12. Lord Rayleigh (JW Strutt) (1877). "Sobre ondas progresivas". Actas de la London Mathematical Society . 9 : 21–26. doi :10.1112/plms/s1-9.1.21.Reimpreso como Apéndice en: Theory of Sound 1 , MacMillan, 2.a edición revisada, 1894.

Referencias

• Longuet-Higgins, MS (1963). "La generación de ondas capilares por ondas de gravedad pronunciadas". Journal of Fluid Mechanics . 16 (1): 138–159. Bibcode :1963JFM....16..138L. doi :10.1017/S0022112063000641. ISSN  1469-7645. S2CID  119740891.
• Lamb, H. (1994). Hidrodinámica (6.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.
• Phillips, OM (1977). La dinámica de las capas superiores del océano (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-29801-6.
• Dingemans, MW (1997). Propagación de ondas de agua sobre fondos irregulares . Serie avanzada sobre ingeniería oceánica. Vol. 13. World Scientific, Singapur. pp. 2 partes, 967 páginas. ISBN 981-02-0427-2.
• Safran, Samuel (1994). Termodinámica estadística de superficies, interfaces y membranas . Addison-Wesley.
• Tufillaro, NB; Ramshankar, R.; Gollub, JP (1989). "Transición orden-desorden en ondulaciones capilares". Physical Review Letters . 62 (4): 422–425. Bibcode :1989PhRvL..62..422T. doi :10.1103/PhysRevLett.62.422. PMID  10040229.

Enlaces externos

• Entrada sobre ondas capilares en sklogwiki