Función de respuesta lineal

Una función de respuesta lineal describe la relación entrada-salida de un transductor de señal , como una radio que convierte ondas electromagnéticas en música o una neurona que convierte una entrada sináptica en una respuesta. Debido a sus numerosas aplicaciones en teoría de la información , física e ingeniería , existen nombres alternativos para funciones de respuesta lineal específicas, como susceptibilidad , respuesta al impulso o impedancia ; ver también función de transferencia . El concepto de función de Green o solución fundamental de una ecuación diferencial ordinaria está estrechamente relacionado.

Definición matemática

Denota la entrada de un sistema por (por ejemplo, una fuerza ) y la respuesta del sistema por (por ejemplo, una posición). Generalmente, el valor de dependerá no sólo del valor presente de , sino también de los valores pasados. Aproximadamente es una suma ponderada de los valores anteriores de , con los pesos dados por la función de respuesta lineal : ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t')}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$

$${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (t-t')h(t')+\cdots \,.}$$

El término explícito del lado derecho es el término de orden principal de una expansión de Volterra para la respuesta no lineal completa. Si el sistema en cuestión es altamente no lineal, los términos de orden superior en la expansión, indicados por los puntos, se vuelven importantes y el transductor de señal no puede describirse adecuadamente solo por su función de respuesta lineal.

La transformada de Fourier de valores complejos de la función de respuesta lineal es muy útil ya que describe la salida del sistema si la entrada es una onda sinusoidal con frecuencia . La salida dice ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t)}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle x(\omega )=\left|{\tilde {\chi }}(\omega )\right|h_{0}\sin(\omega t+\arg {\tilde {\chi }}(\omega ))\,,}$$

con ganancia de amplitud y cambio de fase . ${\displaystyle |{\tilde {\chi }}(\omega )|}$ ${\displaystyle \arg {\tilde {\chi }}(\omega )}$

Ejemplo

Considere un oscilador armónico amortiguado con entrada dada por una fuerza impulsora externa , ${\displaystyle h(t)}$

$${\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).}$$

La transformada de Fourier de valores complejos de la función de respuesta lineal viene dada por

$${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.}$$

La ganancia de amplitud viene dada por la magnitud del número complejo y el desfase por el arctan de la parte imaginaria de la función dividido por la real. ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega ),}$

En esta representación, vemos que, para valores pequeños, la transformada de Fourier de la función de respuesta lineal produce un máximo pronunciado (" Resonancia ") en la frecuencia . La función de respuesta lineal de un oscilador armónico es matemáticamente idéntica a la de un circuito RLC . El ancho del máximo suele ser mucho menor, por lo que el factor de calidad puede ser extremadamente grande. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}$ ${\displaystyle \Delta \omega ,}$ ${\displaystyle \omega _{0},}$ ${\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega }$

fórmula de kubo

La exposición de la teoría de la respuesta lineal, en el contexto de la estadística cuántica , se puede encontrar en un artículo de Ryogo Kubo . ^[1] Esto define particularmente la fórmula de Kubo , que considera el caso general de que la "fuerza" h ( t ) es una perturbación del operador básico del sistema, el hamiltoniano , donde corresponde a una cantidad medible como entrada, mientras que la salida x ( t ) es la perturbación de la expectativa térmica de otra cantidad mensurable . La fórmula de Kubo define entonces el cálculo estadístico cuántico de la susceptibilidad mediante una fórmula general en la que participan únicamente los operadores mencionados. ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$

Como consecuencia del principio de causalidad , la función compleja sólo tiene polos en el semiplano inferior. Esto conduce a las relaciones Kramers-Kronig , que relacionan las partes real e imaginaria de la integración. El ejemplo más sencillo es, una vez más, el oscilador armónico amortiguado . ^[2] ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$

Ver también

• Circunvolución
• Relaciones Verde-Kubo
• Teorema de fluctuación
• Dispersión (óptica)
• ecuación de Lindblad
• Respuesta semilineal
• La función del verde.
• Respuesta impulsiva
• Formalismo solvente
• Propagador

Referencias

1. Kubo, R., Teoría mecánica estadística de procesos irreversibles I , Revista de la Sociedad de Física de Japón, vol. 12 , págs. 570–586 (1957).
2. De Clozeaux, Teoría de la respuesta lineal , en: E. Antončik et al., Teoría de la materia condensada , OIEA Viena, 1968

enlaces externos

• Funciones de respuesta lineal en Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN  978-3-89336-953-9