fórmula de kubo

La fórmula de Kubo , llamada así por Ryogo Kubo , quien presentó la fórmula por primera vez en 1957, ^{[1] [2]} es una ecuación que expresa la respuesta lineal de una cantidad observable debido a una perturbación dependiente del tiempo .

Entre las numerosas aplicaciones de la fórmula de Kubo, se pueden calcular las susceptibilidades de carga y espín de sistemas de electrones en respuesta a campos eléctricos y magnéticos aplicados. También se pueden calcular las respuestas a fuerzas mecánicas externas y vibraciones.

Fórmula general de Kubo

Considere un sistema cuántico descrito por el hamiltoniano (independiente del tiempo) . El valor esperado de una cantidad física a temperatura de equilibrio , descrito por el operador , se puede evaluar como: ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}\right]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\left\langle n\left|{\hat {A}}\right|n\right\rangle e^{-\beta E_{n}}}$,

donde es la beta termodinámica , es el operador de densidad, dado por ${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{0}}$

${\displaystyle {\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}}$

y es la función de partición . ${\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}_{0}\right]}$

Supongamos ahora que justo encima de cierto tiempo se aplica al sistema una perturbación externa. La perturbación se describe mediante una dependencia temporal adicional en el hamiltoniano: ${\displaystyle t=t_{0}}$

${\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),}$

donde está la función de Heaviside (1 para tiempos positivos, 0 en caso contrario) y es hermitiana y está definida para todo t , por lo que tiene nuevamente para positivo un conjunto completo de valores propios reales . Pero estos valores propios pueden cambiar con el tiempo. ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ ${\displaystyle t-t_{0}}$ ${\displaystyle E_{n}(t).}$

Sin embargo, se puede encontrar nuevamente la evolución temporal de la matriz de densidad rsp. de la función de partición para evaluar el valor esperado de ${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)}$ ${\displaystyle Z(t)=\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\right],}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={\frac {\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\,{\hat {A}}\right]}{\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\right]}}.}$

La dependencia temporal de los estados se rige por la ecuación de Schrödinger. ${\displaystyle |n(t)\rangle }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle ,}$

que así lo determina todo, correspondiente por supuesto al cuadro de Schrödinger . Pero como debe considerarse como una pequeña perturbación, ahora es conveniente utilizar en su lugar la representación de la imagen de interacción , en el orden más bajo y no trivial. La dependencia del tiempo en esta representación viene dada por donde, por definición, para todo t y es: ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ ${\displaystyle \left|{\hat {n}}(t)\right\rangle ,}$ ${\displaystyle |n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\left|{\hat {n}}(t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {U}}(t,t_{0})\left|{\hat {n}}(t_{0})\right\rangle ,}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \left|{\hat {n}}(t_{0})\right\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}/\hbar }|n(t_{0})\rangle }$

Para orden lineal en , tenemos ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}}$.

Así se obtiene el valor esperado de hasta orden lineal en la perturbación: ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}(t)\right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\right\rangle _{0}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\left\langle n(t_{0})\left|{\hat {A}}(t){\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}-{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}{\hat {A}}(t)\right|n(t_{0})\right\rangle }$,

así ^[3]

Fórmula de Kubo (general)

${\displaystyle \langle {\hat {A}}(t)\rangle =\left\langle {\hat {A}}\right\rangle _{0}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\left\langle \left[{\hat {A}}(t),{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}\right]\right\rangle _{0}}$

Los corchetes significan un promedio de equilibrio con respecto al hamiltoniano. Por lo tanto, aunque el resultado es de primer orden en la perturbación, involucra solo las funciones propias de orden cero, lo que suele ser el caso en la teoría de perturbaciones y aleja todas las complicaciones que de otro modo podrían surgir. para . ${\displaystyle \langle \rangle _{0}}$ ${\displaystyle H_{0}.}$ ${\displaystyle t>t_{0}}$

La expresión anterior es válida para cualquier tipo de operador. (ver también Segunda cuantificación ) ^[4]

Ver también

• Relaciones Verde-Kubo

Referencias

1. Kubo, Ryogo (1957). "Teoría Estadístico-Mecánica de Procesos Irreversibles. I. Teoría General y Aplicaciones Simples a Problemas Magnéticos y de Conducción". J. Física. Soc. Japón . 12 (6): 570–586. doi :10.1143/JPSJ.12.570.
2. Kubo, Ryogo; Yokota, Mario; Nakajima, Sadao (1957). "Teoría Estadístico-Mecánica de Procesos Irreversibles. II. Respuesta a la Perturbación Térmica". J. Física. Soc. Japón . 12 (11): 1203-1211. doi :10.1143/JPSJ.12.1203.
3. Bruus, Henrik; Flensberg, Karsten; Flensberg, Laboratorio ØRsted Instituto Niels Bohr Karsten (2 de septiembre de 2004). Teoría cuántica de muchos cuerpos en física de la materia condensada: una introducción. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-856633-5.
4. Mahan, GD (1981). Física de muchas partículas . Nueva York: Springer. ISBN 0306463385.