Función de respuesta lineal

Una función de respuesta lineal describe la relación de entrada-salida de un transductor de señales , como una radio que convierte las ondas electromagnéticas en música o una neurona que convierte la entrada sináptica en una respuesta. Debido a sus muchas aplicaciones en la teoría de la información , la física y la ingeniería, existen nombres alternativos para funciones de respuesta lineal específicas, como susceptibilidad , respuesta al impulso o impedancia ; consulte también función de transferencia . El concepto de función de Green o solución fundamental de una ecuación diferencial ordinaria está estrechamente relacionado.

Definición matemática

Denotemos la entrada de un sistema por (por ejemplo, una fuerza ), y la respuesta del sistema por (por ejemplo, una posición). Generalmente, el valor de dependerá no solo del valor actual de , sino también de los valores pasados. Aproximadamente es una suma ponderada de los valores anteriores de , con los pesos dados por la función de respuesta lineal : ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t')}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$ $${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (t-t')h(t')+\cdots \,.}$$

El término explícito del lado derecho es el término de orden principal de una expansión de Volterra para la respuesta no lineal completa. Si el sistema en cuestión es altamente no lineal, los términos de orden superior en la expansión, indicados por los puntos, se vuelven importantes y el transductor de señal no se puede describir adecuadamente solo por su función de respuesta lineal.

La transformada de Fourier de valor complejo de la función de respuesta lineal es muy útil ya que describe la salida del sistema si la entrada es una onda sinusoidal con frecuencia . La salida se lee ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t)}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle x(t)=\left|{\tilde {\chi }}(\omega )\right|h_{0}\sin(\omega t+\arg {\tilde {\chi }}(\omega ))\,,}$$

con ganancia de amplitud y desplazamiento de fase . ${\displaystyle |{\tilde {\chi }}(\omega )|}$ ${\displaystyle \arg {\tilde {\chi }}(\omega )}$

Ejemplo

Consideremos un oscilador armónico amortiguado con entrada dada por una fuerza impulsora externa , ${\displaystyle h(t)}$

$${\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).}$$

La transformada de Fourier de valor complejo de la función de respuesta lineal está dada por

$${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.}$$

La ganancia de amplitud viene dada por la magnitud del número complejo y el desplazamiento de fase por el arctan de la parte imaginaria de la función dividida por la real. ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega ),}$

A partir de esta representación, vemos que para valores pequeños la transformada de Fourier de la función de respuesta lineal produce un máximo pronunciado (" Resonancia ") en la frecuencia . La función de respuesta lineal para un oscilador armónico es matemáticamente idéntica a la de un circuito RLC . El ancho del máximo, típicamente es mucho menor que , por lo que el factor de calidad puede ser extremadamente grande. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}$ ${\displaystyle \Delta \omega ,}$ ${\displaystyle \omega _{0},}$ ${\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega }$

Fórmula de Kubo

La exposición de la teoría de la respuesta lineal, en el contexto de la estadística cuántica , se puede encontrar en un artículo de Ryogo Kubo . ^[1] Este define particularmente la fórmula de Kubo , que considera el caso general de que la "fuerza" h ( t ) es una perturbación del operador básico del sistema, el hamiltoniano , donde corresponde a una cantidad medible como entrada, mientras que la salida x ( t ) es la perturbación de la expectativa térmica de otra cantidad medible . La fórmula de Kubo define entonces el cálculo estadístico-cuántico de la susceptibilidad mediante una fórmula general que involucra solo los operadores mencionados. ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$

Como consecuencia del principio de causalidad, la función compleja tiene polos solo en el semiplano inferior. Esto conduce a las relaciones de Kramers-Kronig , que relacionan las partes real e imaginaria de mediante integración. El ejemplo más simple es una vez más el oscilador armónico amortiguado . ^[2] ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$

Véase también

• Circunvolución
• Relaciones entre Green y Kubo
• Teorema de fluctuación
• Dispersión (óptica)
• Ecuación de Lindblad
• Respuesta semilineal
• Función de Green
• Respuesta al impulso
• Formalismo resolutivo
• Propagador

Referencias

1. Kubo, R., Teoría mecánica estadística de procesos irreversibles I , Revista de la Sociedad Física de Japón, vol. 12 , págs. 570–586 (1957).
2. De Clozeaux, Teoría de la respuesta lineal , en: E. Antončik et al., Teoría de la materia condensada , OIEA, Viena, 1968

Enlaces externos

• Funciones de respuesta lineal en Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN  978-3-89336-953-9