Resonancia de espín dipolar eléctrico

La resonancia de espín dipolar eléctrico ( EDSR ) es un método para controlar los momentos magnéticos dentro de un material utilizando efectos mecánicos cuánticos como la interacción espín-órbita . Básicamente, la EDSR permite invertir la orientación de los momentos magnéticos mediante el uso de radiación electromagnética a frecuencias resonantes . La EDSR fue propuesta por primera vez por Emmanuel Rashba . ^[1]

El hardware de las computadoras utiliza la carga del electrón en los transistores para procesar información y el momento magnético o espín del electrón para los dispositivos de almacenamiento magnético . El campo emergente de la espintrónica apunta a unificar las operaciones de estos subsistemas. Para lograr este objetivo, el espín del electrón debe ser operado por campos eléctricos. La EDSR permite usar el componente eléctrico de los campos de corriente alterna para manipular tanto la carga como el espín.

Introducción

Los electrones libres poseen carga eléctrica y momento magnético cuyo valor absoluto es de aproximadamente un magnetón de Bohr . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$

La resonancia de espín electrónico estándar , también conocida como resonancia paramagnética electrónica (EPR), se debe al acoplamiento del momento magnético del electrón al campo magnético externo a través del hamiltoniano que describe su precesión de Larmor . El momento magnético está relacionado con el momento angular del electrón como , donde es el factor g y es la constante de Planck reducida . Para un electrón libre en el vacío . Como el electrón es una partícula de espín 1/2 , el operador de espín solo puede tomar dos valores: . Entonces, la interacción de Larmor tiene niveles de energía cuantificados en un campo magnético independiente del tiempo ya que la energía es igual a . De la misma manera, bajo un campo magnético de CA resonante a la frecuencia , da como resultado una resonancia paramagnética electrónica, es decir, la señal se absorbe fuertemente a esta frecuencia ya que produce transiciones entre valores de espín. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g{\mu _{\rm {B}}}\mathbf {S} /\hbar }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle g\approx 2}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =\pm \hbar /2}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(t)}$ ${\displaystyle \omega _{S}=g\mu _{\rm {B}}B/\hbar }$

Acoplamiento del espín electrónico a los campos eléctricos en los átomos

En los átomos, la dinámica orbital y de espín de los electrones está acoplada al campo eléctrico de los protones en el núcleo atómico según la ecuación de Dirac . Un electrón que se mueve en un campo eléctrico estático ve, según las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial , un campo magnético complementario en el marco de referencia del electrón . Sin embargo, para los electrones lentos con este campo es débil y el efecto es pequeño. Este acoplamiento se conoce como la interacción espín-órbita y da correcciones a las energías atómicas sobre el orden de la constante de estructura fina al cuadrado , donde . Sin embargo, esta constante aparece en combinación con el número atómico como , ^[2] y este producto es mayor para átomos masivos, ya del orden de la unidad en el medio de la tabla periódica . Esta mejora del acoplamiento entre la dinámica orbital y de espín en átomos masivos se origina en la fuerte atracción hacia el núcleo y las grandes velocidades de los electrones. Si bien también se espera que este mecanismo acople el espín del electrón al componente eléctrico de los campos electromagnéticos, probablemente tal efecto nunca se haya observado en la espectroscopia atómica . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\displaystyle B\approx (v/c)E}$ ${\displaystyle v/c\ll 1}$ ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =e^{2}/\hbar c\approx 1/137}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\alpha }$

Mecanismos básicos en los cristales

Lo más importante es que la interacción espín-órbita en los átomos se traduce en acoplamiento espín-órbita en los cristales. Se convierte en una parte esencial de la estructura de bandas de su espectro de energía. La relación entre la división espín-órbita de las bandas y el espacio prohibido se convierte en un parámetro que evalúa el efecto del acoplamiento espín-órbita y se mejora de manera genérica, del orden de la unidad, para materiales con iones pesados ​​o con asimetrías específicas.

Como resultado, incluso los electrones lentos en sólidos experimentan un fuerte acoplamiento espín-órbita. Esto significa que el hamiltoniano de un electrón en un cristal incluye un acoplamiento entre el momento del cristal electrónico y el espín del electrón. El acoplamiento al campo eléctrico externo se puede encontrar sustituyendo el momento en la energía cinética como , donde es el potencial vectorial magnético , como lo requiere la invariancia de calibre del electromagnetismo. La sustitución se conoce como sustitución de Peierls . Por lo tanto, el campo eléctrico se acopla al espín del electrón y su manipulación puede producir transiciones entre valores de espín. ${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar }$ ${\displaystyle \mathbf {k} \rightarrow \mathbf {k} -(e/\hbar c)\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\partial \mathbf {A} /\partial t}$

Teoría

La resonancia de espín dipolar eléctrico es la resonancia de espín electrónico impulsada por un campo eléctrico de CA resonante . Debido a que la longitud Compton , que entra en el magnetón de Bohr y controla el acoplamiento del espín electrónico al campo magnético de CA , es mucho más corta que todas las longitudes características de la física del estado sólido , la EDSR puede ser por órdenes de magnitud más fuerte que la EPR impulsada por un campo magnético de CA. La EDSR suele ser más fuerte en materiales sin el centro de inversión donde se levanta la degeneración doble del espectro de energía y los hamiltonianos simétricos en el tiempo incluyen productos de las matrices de Pauli relacionadas con el espín , como y potencias impares del momento cristalino . En tales casos, el espín electrónico está acoplado al potencial vectorial del campo electromagnético. Sorprendentemente, la EDSR en electrones libres se puede observar no solo en la frecuencia de resonancia de espín sino también en sus combinaciones lineales con la frecuencia de resonancia de ciclotrón . En semiconductores de espacio estrecho con centro de inversión, la EDSR puede surgir debido al acoplamiento directo del campo eléctrico a la coordenada anómala . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {C}}=\hbar /mc\approx 4\times 10^{-11}\mathrm {cm} }$ ${\displaystyle \mu _{\rm {B}}=e\lambda _{\rm {C}}/2}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =(\hbar /2)\mathbf {\sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle \omega _{S}}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{\rm {SO}}}$

La EDSR se permite tanto con portadores libres como con electrones ligados a defectos. Sin embargo, para las transiciones entre estados ligados conjugados de Kramers, su intensidad se suprime mediante un factor donde es la separación entre niveles adyacentes del movimiento orbital. ${\displaystyle \hbar \omega _{S}/\Delta E}$ ${\displaystyle \Delta E}$

Teoría simplificada y mecanismo físico.

Como se indicó anteriormente, varios mecanismos de EDSR operan en diferentes cristales. El mecanismo de su alta eficiencia genérica se ilustra a continuación tal como se aplica a los electrones en semiconductores de brecha directa del tipo InSb. Si la división de niveles de energía de espín-órbita es comparable a la brecha prohibida , la masa efectiva de un electrón y su factor g se pueden evaluar en el marco del esquema de Kane, ^{[3] [4]} véase la teoría de perturbación k·p . ${\displaystyle \Delta _{\rm {so}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {G}}}$ ${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle m^{*}\approx {\frac {\hbar ^{2}E_{\rm {G}}}{P^{2}}},\,\,\,|g|\approx {\frac {m_{0}P^{2}}{\hbar ^{2}E_{\rm {G}}}}}$,

donde es un parámetro de acoplamiento entre las bandas de valencia y electrón, y es la masa del electrón en el vacío. ${\displaystyle P\approx 10{\text{ eV}}\mathrm {\AA} }$ ${\displaystyle m_{0}}$

Al elegir el mecanismo de acoplamiento espín-órbita en función de la coordenada anómala bajo la condición : , tenemos ${\displaystyle {{\boldsymbol {r}}_{\rm {so}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{\rm {so}}\approx E_{G}}$

${\displaystyle r_{\rm {so}}\approx {\frac {\hbar ^{2}|g|k}{m_{0}E_{\rm {G}}}}}$,

¿Dónde está el momento del electrón en el cristal? Entonces, la energía de un electrón en un campo eléctrico de CA es ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle U=e\;r_{\rm {so}}{\tilde {E}}\approx e{\tilde {E}}{\frac {P^{2}}{E_{\rm {G}}^{2}}}k\approx e{\tilde {E}}{\frac {\hbar ^{2}k}{m^{*}E_{\rm {G}}}}.}$

Un electrón que se mueve en el vacío con una velocidad en un campo eléctrico de corriente alterna ve, según la transformación de Lorentz, un campo magnético efectivo . Su energía en este campo ${\displaystyle \hbar k/m_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}={v/c}{\tilde {E}}}$

${\displaystyle U_{v}=\mu _{\rm {B}}{\tilde {B}}=e{\tilde {E}}{\frac {\hbar ^{2}k}{m_{0}^{2}c^{2}}},}$

La relación de estas energías

${\displaystyle {\frac {U}{U_{v}}}\approx {\frac {m_{0}}{m^{*}}}{\frac {m_{0}c^{2}}{E_{\rm {G}}}}}$.

Esta expresión muestra explícitamente de dónde proviene el predominio de la EDSR sobre la resonancia paramagnética electrónica . El numerador del segundo factor es la mitad de la brecha de Dirac, mientras que es de escala atómica, 1 eV. El mecanismo físico detrás de la mejora se basa en el hecho de que dentro de los cristales los electrones se mueven en un campo fuerte de núcleos, y en el medio de la tabla periódica el producto del número atómico por la constante de estructura fina es del orden de la unidad, y es este producto el que desempeña el papel de la constante de acoplamiento efectiva, cf. acoplamiento espín-órbita. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los argumentos anteriores basados ​​en la aproximación de la masa efectiva no son aplicables a los electrones localizados en centros profundos de la escala atómica. Para ellos, la EPR suele ser el mecanismo dominante. ${\displaystyle m_{0}c^{2}\approx 0.5\mathrm {MeV} }$ ${\displaystyle E_{\rm {G}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {G}}\approx }$ ${\displaystyle Z\;\alpha }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \alpha }$

Mecanismo de acoplamiento Zeeman no homogéneo

Los mecanismos anteriores de acoplamiento espín-órbita en sólidos se originaron a partir de la interacción de Thomas y acoplaron las matrices de espín al momento electrónico . Sin embargo, la interacción de Zeeman ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\bf {k}}}$

${\displaystyle H_{\rm {Z}}({\bf {r}})=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$

En un campo magnético no homogéneo se produce un mecanismo diferente de interacción espín-órbita mediante el acoplamiento de las matrices de Pauli a la coordenada electrónica . El campo magnético puede ser tanto un campo macroscópico no homogéneo como un campo microscópico de rápida oscilación dentro de ferro- o antiferroimanes que cambia a escala de una constante reticular. ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\bf {r}}}$

Experimento

La EDSR se observó por primera vez experimentalmente con portadores libres en antimoniuro de indio (InSb), un semiconductor con un fuerte acoplamiento espín-órbita. Las observaciones realizadas bajo diferentes condiciones experimentales permitieron demostrar e investigar varios mecanismos de EDSR. En un material sucio, Bell ^[7] observó una línea EDSR estrechada por movimiento a una frecuencia contra un fondo de una amplia banda de resonancia ciclotrónica . MacCombe et al. ^[8] trabajando con InSb de alta calidad observaron EDSR isotrópico impulsado por el mecanismo a la frecuencia combinacional donde es la frecuencia del ciclotrón. Banda EDSR fuertemente anisotrópica debido a la inversión-asimetría El acoplamiento espín-órbita de Dresselhaus fue observado en InSb a la frecuencia de inversión de espín por Dobrowolska et al. ^[9] el acoplamiento espín-órbita en n -Ge que se manifiesta a través de un factor g electrónico fuertemente anisotrópico da como resultado EDSR a través de la ruptura de la simetría traslacional por campos eléctricos no homogéneos que mezclan funciones de onda de diferentes valles. ^[10] La EDSR infrarroja observada en el semiconductor semimagnético Cd Mn Se ^[11] se atribuyó ^[12] al acoplamiento espín-órbita a través de un campo de intercambio no homogéneo. La EDSR con portadores de carga libres y atrapados se observó y estudió en una gran variedad de sistemas tridimensionales (3D), incluidas dislocaciones en Si, ^[13] un elemento con un acoplamiento espín-órbita notoriamente débil. Todos los experimentos anteriores se realizaron en la mayor parte de los sistemas tridimensionales (3D). ${\displaystyle \omega _{S}}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} _{\rm {so}}\cdot {\tilde {\mathbf {E} }})}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {C}}+\omega _{S}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {C}}}$ ${\displaystyle k^{3}}$ ${\displaystyle \omega _{S}}$ ${\displaystyle _{1-x}}$ ${\displaystyle _{x}}$

Aplicaciones

Las principales aplicaciones de EDSR se esperan en la computación cuántica y la espintrónica de semiconductores, actualmente centrada en sistemas de baja dimensión. Uno de sus principales objetivos es la manipulación rápida de espines de electrones individuales a escala nanométrica, por ejemplo, en puntos cuánticos de un tamaño de unos 50 nm. Dichos puntos pueden servir como qubits de circuitos de computación cuántica. Los campos magnéticos dependientes del tiempo prácticamente no pueden abordar espines de electrones individuales a tal escala, pero los espines individuales pueden abordarse bien mediante campos eléctricos dependientes del tiempo producidos por puertas a escala nanométrica. Todos los mecanismos básicos de EDSR enumerados anteriormente operan en puntos cuánticos, ^[14] pero en los compuestos A B también el acoplamiento hiperfino de espines de electrones a espines nucleares juega un papel esencial. ^{[15] [16] [17]} Para lograr qubits rápidos operados por EDSR ^[18] se necesitan nanoestructuras con un fuerte acoplamiento espín-órbita. Para el acoplamiento espín-órbita de Rashba ${\displaystyle _{3}}$ ${\displaystyle _{5}}$

${\displaystyle H_{\rm {R}}=\alpha _{\rm {R}}(\sigma _{x}k_{y}-\sigma _{y}k_{x})}$,

La fuerza de interacción se caracteriza por el coeficiente . En los cables cuánticos de InSb ya se ha alcanzado una magnitud de la escala atómica de aproximadamente 1 eV . ^[19] Una forma diferente de lograr qubits de espín rápido basados ​​en puntos cuánticos operados por EDSR es utilizando nanoimanes que producen campos magnéticos no homogéneos. ^[20] ${\displaystyle \alpha _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \alpha _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {\AA} }$

Véase también

• Estructura electrónica fina
• Efecto marcado
• Efecto Zeeman
• Momento dipolar eléctrico del electrón

Referencias

1. EI Rashba , Ciclotrón y resonancias combinadas en un campo perpendicular, Sov. Phys. Solid State 2 , 1109-1122 (1960)
2. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica cuántica, teoría no relativista (Addison-Wesley, Reading) 1958, 72 ${\displaystyle \S }$
3. Kane, Evan O. (1957). "Estructura de bandas del antimonuro de indio". Revista de Física y Química de Sólidos . 1 (4): 249–261. Bibcode :1957JPCS....1..249K. doi :10.1016/0022-3697(57)90013-6. ISSN  0022-3697.
4. Roth, Laura M.; Lax, Benjamin; Zwerdling, Solomon (1959). "Teoría de los efectos de la magnetoabsorción óptica en semiconductores". Physical Review . 114 (1): 90–104. Bibcode :1959PhRv..114...90R. doi :10.1103/PhysRev.114.90. ISSN  0031-899X.
5. SI Pekar; EI Rashba (1965). "Resonancia combinada en cristales en campos magnéticos no homogéneos" (PDF) . Física soviética JETP . 20 (5): 1295.
6. Rashba, EI (2005). "Dinámica de espín y transporte de espín". Revista de superconductividad . 18 (2): 137–144. arXiv : cond-mat/0408119 . Código Bibliográfico :2005JSup...18..137R. doi :10.1007/s10948-005-3349-8. ISSN  0896-1107. S2CID  55016414.
7. Bell, RL (1962). "Transiciones de espín dipolar eléctrico en InSb". Physical Review Letters . 9 (2): 52–54. Código Bibliográfico :1962PhRvL...9...52B. doi :10.1103/PhysRevLett.9.52. ISSN  0031-9007.
8. McCombe, BD; Bishop, SG; Kaplan, R. (1967). "Resonancia combinada y valores electrónicos en InSb". Physical Review Letters . 18 (18): 748–750. Código Bibliográfico :1967PhRvL..18..748M. doi :10.1103/PhysRevLett.18.748. ISSN  0031-9007.
9. Dobrowolska, M.; Chen, Y.; Furdyna, JK; Rodríguez, S. (1983). "Efectos del momento del fotón y la inversión del campo magnético en la resonancia de espín dipolar eléctrico en el infrarrojo lejano en InSb". Physical Review Letters . 51 (2): 134–137. Bibcode :1983PhRvL..51..134D. doi :10.1103/PhysRevLett.51.134. ISSN  0031-9007.
10. EM Gershenzon, NM Pevin, IT Semenov y MS Fogelson, Excitación dipolar eléctrica de resonancia de espín en Ge tipo n compensado , Soviet Physics-Semiconductors 10 , 104-105 (1976).
11. Dobrowolska, M.; Witowski, A.; Furdyna, JK; Ichiguchi, T.; Drew, HD; Wolff, PA (1984). "Observación en el infrarrojo lejano de la resonancia de espín dipolar eléctrico de electrones donantes en Cd1−xMnxSe". Physical Review B . 29 (12): 6652–6663. Bibcode :1984PhRvB..29.6652D. doi :10.1103/PhysRevB.29.6652. ISSN  0163-1829.
12. Khazan, LS; Rubo, Yu. G.; Sheka, VI (1993). "Transiciones de espín óptico inducidas por intercambio en semiconductores semimagnéticos". Physical Review B . 47 (20): 13180–13188. Bibcode :1993PhRvB..4713180K. doi :10.1103/PhysRevB.47.13180. ISSN  0163-1829. PMID  10005622.
13. VV Kveder; V. Ya. Kravchenko; TR Mchedlidze; Yu. A. Osip'yan; DE Khmel'nitskii; AI Shalynin (1986). "Resonancia combinada en dislocaciones en silicio" (PDF) . JETP Letters . 43 (4): 255.
14. Kloeffel, Christoph; Loss, Daniel (2013). "Perspectivas para la computación cuántica basada en espín en puntos cuánticos". Revisión anual de física de la materia condensada . 4 (1): 51–81. arXiv : 1204.5917 . Código Bibliográfico :2013ARCMP...4...51K. doi :10.1146/annurev-conmatphys-030212-184248. ISSN  1947-5454. S2CID  118576601.
15. Laird, EA; Barthel, C.; Rashba, EI; Marcus, CM; Hanson, MP; Gossard, AC (2007). "Resonancia de espín electrónico impulsada por compuerta mediada por hiperfino". Physical Review Letters . 99 (24): 246601. arXiv : 0707.0557 . Código Bibliográfico :2007PhRvL..99x6601L. doi :10.1103/PhysRevLett.99.246601. ISSN  0031-9007. PMID  18233467. S2CID  6836173.
16. Rashba, Emmanuel I. (2008). "Teoría de la resonancia de espín dipolar eléctrico en puntos cuánticos: teoría del campo medio con fluctuaciones gaussianas y más allá". Physical Review B . 78 (19): 195302. arXiv : 0807.2624 . Bibcode :2008PhRvB..78s5302R. doi :10.1103/PhysRevB.78.195302. ISSN  1098-0121. S2CID  31087805.
17. Shafiei, M.; Nowack, KC; Reichl, C.; Wegscheider, W.; Vandersypen, LMK (2013). "Resolución de la resonancia de espín dipolar eléctrica mediada por espín-órbita e hiperfino en un punto cuántico". Physical Review Letters . 110 (10): 107601. arXiv : 1207.3331 . Bibcode :2013PhRvL.110j7601S. doi :10.1103/PhysRevLett.110.107601. ISSN  0031-9007. PMID  23521296. S2CID  12331987.
18. van den Berg, JWG; Nadj-Perge, S.; Pribiag, VS; Plissard, SR; Bakkers, EPAM; Frolov, SM; Kouwenhoven, LP (2013). "Qubit de órbita-espín rápido en un nanocable de antimonuro de indio". Physical Review Letters . 110 (6): 066806. arXiv : 1210.7229 . Código Bibliográfico :2013PhRvL.110f6806V. doi :10.1103/PhysRevLett.110.066806. ISSN  0031-9007. PMID  23432291. S2CID  20036880.
19. van Weperen, I.; Tarasinski, B.; Eeltink, D.; Pribiag, V.S.; Plissard, SR; Bakkers, EPAM; Kouwenhoven, LP; Wimmer, M. (2015). "Interacción espín-órbita en nanocables InSb". Physical Review B . 91 (20): 201413. arXiv : 1412.0877 . Código Bibliográfico :2015PhRvB..91t1413V. doi :10.1103/PhysRevB.91.201413. ISSN  1098-0121. S2CID  53477096.
20. Yoneda, Jun; Otsuka, Tomohiro; Takakura, Tatsuki; Pioro-Ladrière, Michel; Brunner, Roland; Lu, Hong; Nakajima, Takashi; Obata, Toshiaki; Noiri, Akito; Palmstrøm, Christopher J.; Gossard, Arthur C.; Tarucha, Seigo (2015). "Diseño de microimanes robustos para manipulaciones eléctricas rápidas de espines individuales en puntos cuánticos". Applied Physics Express . 8 (8): 084401. arXiv : 1507.01765 . Código Bibliográfico :2015APExp...8h4401Y. doi :10.7567/APEX.8.084401. ISSN  1882-0778. S2CID  118103069.

Lectura adicional

• Yafet, Y. (1963). "Factores g y relajación de espín-red de electrones de conducción". Física del estado sólido . 14 : 1–98. doi :10.1016/S0081-1947(08)60259-3. ISBN 9780126077148. ISSN  0081-1947.
• Rashba, EI; Sheka, VI (1991). "Resonancias de espín dipolar eléctrico". Problemas modernos en ciencias de la materia condensada . 27 : 131–206. arXiv : 1812.01721 . doi :10.1016/B978-0-444-88535-7.50011-X. ISBN . 9780444885357. ISSN  0167-7837. S2CID  118971637.
• GL Bir; GE Pikus (1975). Efectos inducidos por simetría y tensión en semiconductores . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0470073216.