En álgebra homológica , la resolución de Cartan-Eilenberg es, en cierto sentido, una resolución de un complejo de cadena . Puede utilizarse para construir funtores hiperderivados. Recibe su nombre en honor a Henri Cartan y Samuel Eilenberg .
Definición
Sea una categoría abeliana con suficientes proyectivos , y sea un complejo de cadena con objetos en . Entonces una resolución de Cartan-Eilenberg de es un complejo doble de semiplano superior (es decir, para ) que consta de objetos proyectivos de y una función de cadena de "aumento" tal que
- Si entonces la p -ésima columna es cero, es decir para todo q .
- Para cualquier columna fija ,
- El complejo de límites obtenido al aplicar la diferencial horizontal a (la columna 1 de ) forma una resolución proyectiva de los límites de .
- El complejo obtenido al tomar la homología de cada fila con respecto al diferencial horizontal forma una resolución proyectiva de homología de grado p de .
Se puede demostrar que para cada p , la columna es una resolución proyectiva de .
Existe una definición análoga que utiliza resoluciones inyectivas y complejos de cocadena.
La existencia de resoluciones de Cartan-Eilenberg se puede demostrar mediante el lema de la herradura .
Functores hiperderivados
Dado un funtor exacto derecho , se pueden definir los funtores hiperderivados izquierdos de en un complejo de cadena mediante
- Construcción de una resolución de Cartan-Eilenberg ,
- Aplicando el funtor a , y
- Tomando la homología del complejo total resultante.
De manera similar, también se pueden definir funtores hiperderivados derechos para funtores exactos izquierdos.
Véase también
Referencias