Representación eje-ángulo

Parametrización de una rotación en un vector unitario y un ángulo

El ángulo θ y el vector unitario del eje e definen una rotación, representada de forma concisa por el vector de rotación θ e .

En matemáticas , la representación eje-ángulo parametriza una rotación en un espacio euclidiano tridimensional mediante dos cantidades: un vector unitario e que indica la dirección de un eje de rotación y un ángulo de rotación θ que describe la magnitud y el sentido (por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj ) de la rotación sobre el eje . Solo se necesitan dos números, no tres, para definir la dirección de un vector unitario e con raíz en el origen porque la magnitud de e está restringida. Por ejemplo, los ángulos de elevación y acimut de e son suficientes para ubicarlo en cualquier marco de coordenadas cartesiano particular.

Según la fórmula de rotación de Rodrigues , el ángulo y el eje determinan una transformación que hace girar vectores tridimensionales. La rotación se produce en el sentido prescrito por la regla de la mano derecha .

El eje de rotación a veces se denomina eje de Euler . La representación eje-ángulo se basa en el teorema de rotación de Euler , que dicta que cualquier rotación o secuencia de rotaciones de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional es equivalente a una rotación pura sobre un único eje fijo.

Es uno de los muchos formalismos de rotación en tres dimensiones .

Vector de rotación

La representación eje-ángulo es equivalente al vector de rotación más conciso , también llamado vector de Euler (que no debe confundirse con un vector de ángulos de Euler ). En este caso, tanto el eje de rotación como el ángulo se representan mediante un vector codireccional con el eje de rotación cuya longitud es el ángulo de rotación θ . Se utiliza para los mapas exponenciales y logarítmicos que involucran esta representación. $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.}$$

Muchos vectores de rotación corresponden a la misma rotación. En particular, un vector de rotación de longitud θ + 2 πM , para cualquier entero M , codifica exactamente la misma rotación que un vector de rotación de longitud θ . Por lo tanto, hay al menos una infinidad contable de vectores de rotación correspondientes a cualquier rotación. Además, todas las rotaciones de 2 πM son lo mismo que ninguna rotación en absoluto, por lo que, para un entero dado M , todos los vectores de rotación de longitud 2 πM , en todas las direcciones, constituyen una infinidad incontable de dos parámetros de vectores de rotación que codifican la misma rotación que el vector cero. Estos hechos deben tenerse en cuenta al invertir la función exponencial, es decir, al encontrar un vector de rotación que corresponda a una matriz de rotación dada. La función exponencial es sobreyectiva pero no biunívoca .

Ejemplo

Digamos que estás parado en el suelo y eliges la dirección de la gravedad como la dirección z negativa . Entonces, si giras hacia la izquierda, rotarás .-π/2⁠ radianes (o -90° ) alrededor del eje -z . Si consideramos la representación del eje-ángulo como un par ordenado , esto sería $${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

El ejemplo anterior se puede representar como un vector de rotación con una magnitud de ⁠π/2⁠ apuntando en la dirección z , $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Usos

La representación eje-ángulo es conveniente cuando se trabaja con dinámicas de cuerpos rígidos . Es útil tanto para caracterizar rotaciones como para convertir entre diferentes representaciones del movimiento de cuerpos rígidos , como transformaciones homogéneas ^{[ aclaración necesaria ]} y giros.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo , sus datos de eje-ángulo son un eje de rotación constante y el ángulo de rotación depende continuamente del tiempo .

Conectar los tres valores propios 1 y e ^{± iθ} y sus tres ejes ortogonales asociados en una representación cartesiana en el teorema de Mercer es una construcción conveniente de la representación cartesiana de la matriz de rotación en tres dimensiones.

Rotación de un vector

La fórmula de rotación de Rodrigues , llamada así por Olinde Rodrigues , es un algoritmo eficiente para rotar un vector euclidiano, dado un eje de rotación y un ángulo de rotación. En otras palabras, la fórmula de Rodrigues proporciona un algoritmo para calcular la función exponencial de a SO(3) sin calcular la matriz exponencial completa. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Si v es un vector en R ³ y e es un vector unitario con raíz en el origen que describe un eje de rotación alrededor del cual v gira un ángulo θ , la fórmula de rotación de Rodrigues para obtener el vector girado es $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \times (\mathbf {e} \times \mathbf {v} ))\,.}$$

Para la rotación de un solo vector puede ser más eficiente que convertir e y θ en una matriz de rotación rotar el vector.

Relación con otras representaciones

Existen varias formas de representar una rotación. Es útil entender cómo se relacionan entre sí las diferentes representaciones y cómo realizar conversiones entre ellas. Aquí, el vector unitario se denota ω en lugar de e .

Mapa exponencial de 𝔰𝔬(3) a SO(3)

El mapa exponencial efectúa una transformación de la representación del eje-ángulo de las rotaciones a matrices de rotación . $${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

En esencia, al utilizar una expansión de Taylor se deriva una relación de forma cerrada entre estas dos representaciones. Dado un vector unitario que representa el eje de rotación unitario y un ángulo, θ ∈ R , se proporciona una matriz de rotación equivalente R de la siguiente manera, donde K es la matriz del producto vectorial de ω , es decir, Kv = ω × v para todos los vectores v ∈ R ³ , ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

Como K es antisimétrico y la suma de los cuadrados de sus entradas por encima de la diagonal es 1, el polinomio característico P ( t ) de K es P ( t ) = det( K − t I ) = −( t ³ + t ) . Puesto que, por el teorema de Cayley-Hamilton , P ( K ) = 0, esto implica que Como resultado, K ⁴ = – K ² , K ⁵ = K , K ⁶ = K ² , K ⁷ = – K . $${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$

Este patrón cíclico continúa indefinidamente, por lo que todas las potencias superiores de K se pueden expresar en términos de K y K ² . Por lo tanto, de la ecuación anterior se deduce que es, $${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$ $${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

por la fórmula de la serie de Taylor para funciones trigonométricas .

Esta es una derivación algebraica de Lie, en contraste con la geométrica del artículo Fórmula de rotación de Rodrigues . ^[1]

Debido a la existencia del mapa exponencial mencionado anteriormente, el vector unitario ω que representa el eje de rotación y el ángulo θ a veces se denominan coordenadas exponenciales de la matriz de rotación R.

Mapa logarítmico de SO(3) a 𝔰𝔬(3)

Sea K la matriz 3 × 3 que efectúa el producto vectorial con el eje de rotación ω : K ( v ) = ω × v para todos los vectores v en lo que sigue.

Para recuperar la representación eje-ángulo de una matriz de rotación , calcule el ángulo de rotación a partir del trazo de la matriz de rotación : y luego utilícelo para encontrar el eje normalizado, $${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

donde es el componente de la matriz de rotación, , en la -ésima fila y -ésima columna. ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

La representación del eje-ángulo no es única, ya que una rotación de aproximadamente es lo mismo que una rotación de aproximadamente . ${\displaystyle -\theta }$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

El cálculo anterior del vector de eje no funciona si R es simétrico. Para el caso general, se puede encontrar utilizando el espacio nulo de RI , consulte la matriz de rotación#Determinación del eje . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

El logaritmo matricial de la matriz de rotación R es $${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

Se produce una excepción cuando R tiene valores propios iguales a −1 . En este caso, el logaritmo no es único. Sin embargo, incluso en el caso en que θ = π, la norma de Frobenius del logaritmo es Dadas las matrices de rotación A y B , es la distancia geodésica en la variedad 3D de matrices de rotación. $${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$ $${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$

Para rotaciones pequeñas, el cálculo anterior de θ puede ser numéricamente impreciso, ya que la derivada de arccos tiende a infinito cuando θ → 0. En ese caso, los términos fuera del eje proporcionarán en realidad mejor información sobre θ, ya que, para ángulos pequeños, R ≈ I + θ K. (Esto se debe a que estos son los dos primeros términos de la serie de Taylor para exp( θ K ) ).

Esta formulación también presenta problemas numéricos en θ = π , donde los términos fuera del eje no brindan información sobre el eje de rotación (que aún está definido hasta una ambigüedad de signo). En ese caso, debemos reconsiderar la fórmula anterior.

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$En θ = π , tenemos y entonces sea que los términos diagonales de B son los cuadrados de los elementos de ω y los signos (hasta la ambigüedad de signo) se pueden determinar a partir de los signos de los términos fuera del eje  de B. $${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$ $${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$

Cuaterniones unitarios

La siguiente expresión transforma las coordenadas del eje-ángulo en versores ( cuaterniones unitarios ): $${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

Dado un versor q = r + v representado con su escalar r y vector v , las coordenadas del eje-ángulo se pueden extraer utilizando lo siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Una expresión numéricamente más estable del ángulo de rotación utiliza la función atan2 : donde | v | es la norma euclidiana del 3-vector v . $${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$

Véase también

• Coordenadas homogéneas
• Pseudovector
• Rotaciones sin matriz
• Teoría de tornillos , una representación de los movimientos y velocidades de cuerpos rígidos utilizando los conceptos de giros, tornillos y llaves.

Referencias

1. Esto es válido para la representación triplete del grupo de rotación, es decir, espín 1. Para representaciones/espines de dimensiones superiores, véase Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "Una fórmula compacta para rotaciones como polinomios de matriz de espín". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode :2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.