Mecánica relativista

Teoría del movimiento y fuerzas de objetos cercanos a la velocidad de la luz.

En física , la mecánica relativista se refiere a la mecánica compatible con la relatividad especial (SR) y la relatividad general (GR). Proporciona una descripción mecánica no cuántica de un sistema de partículas, o de un fluido , en los casos en que las velocidades de los objetos en movimiento son comparables a la velocidad de la luz c . Como resultado, la mecánica clásica se extiende correctamente a partículas que viajan a altas velocidades y energías, y proporciona una inclusión consistente del electromagnetismo con la mecánica de partículas. Esto no era posible en la relatividad galileana, donde se permitiría que las partículas y la luz viajaran a cualquier velocidad, incluso más rápido que la luz. Los fundamentos de la mecánica relativista son los postulados de la relatividad especial y la relatividad general. La unificación de SR con la mecánica cuántica es mecánica cuántica relativista , mientras que los intentos de la GR son gravedad cuántica , un problema no resuelto en física .

Como ocurre con la mecánica clásica, la materia se puede dividir en " cinemática "; la descripción del movimiento especificando posiciones , velocidades y aceleraciones , y " dinámica "; una descripción completa considerando energías , momentos y momentos angulares y sus leyes de conservación , y fuerzas que actúan sobre partículas o ejercidas por partículas. Sin embargo, hay una sutileza; Lo que parece estar "en movimiento" y lo que está "en reposo" (lo que en la mecánica clásica se denomina " estática ") depende del movimiento relativo de los observadores que miden en marcos de referencia .

Aunque algunas definiciones y conceptos de la mecánica clásica se trasladan a SR, como la fuerza como derivada del momento en el tiempo ( segunda ley de Newton ), el trabajo realizado por una partícula como la integral de línea de la fuerza ejercida sobre la partícula a lo largo de una trayectoria, y potencia como la derivada del trabajo realizado en el tiempo, hay una serie de modificaciones significativas en las definiciones y fórmulas restantes. SR afirma que el movimiento es relativo y que las leyes de la física son las mismas para todos los experimentadores, independientemente de sus sistemas de referencia inerciales . Además de modificar las nociones de espacio y tiempo , la SR obliga a reconsiderar los conceptos de masa , momento y energía , todos los cuales son construcciones importantes en la mecánica newtoniana . SR muestra que todos estos conceptos son aspectos diferentes de la misma cantidad física de la misma manera que muestra que el espacio y el tiempo están interrelacionados. En consecuencia, otra modificación es el concepto de centro de masa de un sistema, que es sencillo de definir en la mecánica clásica pero mucho menos obvio en la relatividad (ver centro de masa relativista para más detalles).

Las ecuaciones se vuelven más complicadas en el formalismo de cálculo vectorial tridimensional más familiar , debido a la no linealidad en el factor de Lorentz , que explica con precisión la dependencia relativista de la velocidad y el límite de velocidad de todas las partículas y campos. Sin embargo, tienen una forma más simple y elegante en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones , que incluye el espacio-tiempo plano de Minkowski (SR) y el espacio-tiempo curvo (GR), porque los vectores tridimensionales derivados del espacio y los escalares derivados del tiempo se pueden agrupar en cuatro vectores . o tensores de cuatro dimensiones . Sin embargo, el tensor de momento angular de seis componentes a veces se denomina bivector porque en el punto de vista 3D son dos vectores (uno de ellos, el momento angular convencional, es un vector axial ).

Cinemática relativista

Las cuatro velocidades relativistas, es decir, los cuatro vectores que representan la velocidad en la relatividad, se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)}$

En lo anterior, es el tiempo propio del camino a través del espacio-tiempo , llamado línea del mundo, seguido de la velocidad del objeto que representa lo anterior, y ${\displaystyle {\tau }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )}$

es el de cuatro posiciones ; las coordenadas de un evento . Debido a la dilatación del tiempo , el tiempo adecuado es el tiempo entre dos eventos en un marco de referencia donde tienen lugar en el mismo lugar. El tiempo propio está relacionado con el tiempo coordinado t mediante:

${\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}}$

¿Dónde está el factor de Lorentz ? ${\displaystyle {\gamma }(\mathbf {v} )}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.}$

(cualquiera de las versiones puede citarse) por lo que sigue:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )}$

Los primeros tres términos, excepto el factor de , son la velocidad vista por el observador en su propio sistema de referencia. Está determinada por la velocidad entre el marco de referencia del observador y el marco del objeto, que es el marco en el que se mide su tiempo adecuado. Esta cantidad es invariante bajo la transformación de Lorentz, por lo que para verificar lo que ve un observador en un marco de referencia diferente, simplemente se multiplica el cuatro vector de velocidad por la matriz de transformación de Lorentz entre los dos marcos de referencia. ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$ ${\displaystyle {\gamma (\mathbf {v} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Dinámica relativista

Masa en reposo y masa relativista

La masa de un objeto medida en su propio marco de referencia se llama masa en reposo o masa invariante y, a veces, se escribe . Si un objeto se mueve con velocidad en algún otro sistema de referencia, la cantidad a menudo se denomina "masa relativista" del objeto en ese sistema. ^[1] Algunos autores lo utilizan para denotar masa en reposo, pero en aras de la claridad, este artículo seguirá la convención de utilizar para masa relativista y masa en reposo. ^[2] ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{0}}$

Lev Okun ha sugerido que el concepto de masa relativista "hoy no tiene ninguna justificación racional" y ya no debería enseñarse. ^[3] Otros físicos, incluidos Wolfgang Rindler y TR Sandin, sostienen que el concepto es útil. ^[4] Véase masa en relatividad especial para obtener más información sobre este debate.

Una partícula cuya masa en reposo es cero se llama sin masa . Se cree que los fotones y los gravitones no tienen masa, y los neutrinos casi la tienen.

Energía e impulso relativistas.

Hay un par de formas (equivalentes) de definir el impulso y la energía en SR. Un método utiliza leyes de conservación . Para que estas leyes sigan siendo válidas en la RS, deben ser ciertas en todos los marcos de referencia posibles. Sin embargo, si uno hace algunos experimentos mentales simples usando las definiciones newtonianas de momento y energía, verá que estas cantidades no se conservan en SR. Se puede rescatar la idea de conservación haciendo algunas pequeñas modificaciones a las definiciones para tener en cuenta las velocidades relativistas . Son estas nuevas definiciones las que se consideran correctas para el momento y la energía en SR.

El momento de cuatro de un objeto es sencillo, idéntico en forma al momento clásico, pero reemplazando 3 vectores por 4 vectores:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

La energía y el momento de un objeto con masa invariante , que se mueve con velocidad con respecto a un marco de referencia dado, están dados respectivamente por ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

El factor proviene de la definición de las cuatro velocidades descrita anteriormente. La aparición de podrá expresarse de forma alternativa, que se explicará en el siguiente apartado. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

La energía cinética, , se define como ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

y la velocidad en función de la energía cinética está dada por

${\displaystyle v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

El momento espacial puede escribirse como , preservando la forma de la mecánica newtoniana con masa relativista sustituida por masa newtoniana. Sin embargo, esta sustitución falla para algunas cantidades, incluidas la fuerza y ​​la energía cinética. Además, la masa relativista no es invariante bajo transformaciones de Lorentz, mientras que la masa en reposo sí lo es. Por esta razón, muchas personas prefieren utilizar la masa en reposo y tener en cuenta explícitamente las 4 velocidades o el tiempo coordinado. ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \gamma }$

Se puede obtener una relación simple entre energía, momento y velocidad a partir de las definiciones de energía y momento multiplicando la energía por , multiplicando el momento por y observando que las dos expresiones son iguales. Esto produce ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} }$luego puede eliminarse dividiendo esta ecuación por y elevando al cuadrado, ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}}$

dividiendo la definición de energía por y elevando al cuadrado, ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

y sustituyendo:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}}$

Ésta es la relación relativista energía-momento .

Si bien la energía y el momento dependen del marco de referencia en el que se miden, la cantidad es invariante. Su valor es multiplicado por la magnitud al cuadrado del vector de 4 momentos . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}}$ ${\displaystyle -c^{2}}$

La masa invariante de un sistema se puede escribir como

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

Debido a la energía cinética y a la energía de enlace, esta cantidad es diferente de la suma de las masas en reposo de las partículas que componen el sistema. La masa en reposo no es una cantidad conservada en la relatividad especial, a diferencia de lo que ocurre en la física newtoniana. Sin embargo, incluso si un objeto cambia internamente, siempre que no intercambie energía o impulso con su entorno, su masa en reposo no cambiará y se puede calcular con el mismo resultado en cualquier sistema de referencia.

Equivalencia masa-energía

La ecuación relativista energía-momento es válida para todas las partículas, incluso para las partículas sin masa para las cuales m ₀ = 0. En este caso:

${\displaystyle E=pc}$

Cuando se sustituye en Ev  =  c ² p , esto da v  =  c : las partículas sin masa (como los fotones ) siempre viajan a la velocidad de la luz.

Observe que la masa en reposo de un sistema compuesto generalmente será ligeramente diferente de la suma de las masas en reposo de sus partes ya que, en su sistema en reposo, su energía cinética aumentará su masa y su energía de enlace (negativa) disminuirá su masa. En particular, una hipotética "caja de luz" tendría masa en reposo aunque estuviera hecha de partículas que no la tienen, ya que sus momentos se cancelarían.

Al observar la fórmula anterior para la masa invariante de un sistema, se ve que, cuando un único objeto masivo está en reposo ( v = 0 , p = 0 ), queda una masa distinta de cero: m ₀ = E / c ² . La energía correspondiente, que también es la energía total cuando una sola partícula está en reposo, se denomina "energía en reposo". En sistemas de partículas que se ven desde un sistema inercial en movimiento, la energía total aumenta y también el impulso. Sin embargo, para partículas individuales la masa en reposo permanece constante, y para sistemas de partículas la masa invariante permanece constante, porque en ambos casos, los aumentos de energía y momento se restan entre sí y se cancelan. Por tanto, la masa invariante de sistemas de partículas es una constante calculada para todos los observadores, al igual que la masa en reposo de partículas individuales.

La masa de los sistemas y la conservación de la masa invariante.

Para sistemas de partículas, la ecuación energía-momento requiere sumar los vectores de momento de las partículas:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

El marco inercial en el que los momentos de todas las partículas suman cero se llama marco central del momento . En este marco especial, la ecuación relativista energía-momento tiene p = 0 y, por lo tanto, da la masa invariante del sistema simplemente como la energía total de todas las partes del sistema, dividida por c ²

${\displaystyle m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}}$

Esta es la masa invariante de cualquier sistema que se mide en un marco donde tiene un momento total cero, como una botella de gas caliente en una balanza. En tal sistema, la masa que pesa la báscula es la masa invariante y depende de la energía total del sistema. Por tanto, es más que la suma de las masas en reposo de las moléculas, pero también incluye todas las energías totales del sistema. Al igual que la energía y el momento, la masa invariante de los sistemas aislados no se puede cambiar mientras el sistema permanezca totalmente cerrado (no se permite la entrada ni la salida de masa o energía), porque la energía relativista total del sistema permanece constante mientras nada pueda entrar o salir. dejalo.

Un aumento en la energía de dicho sistema que se produce al trasladar el sistema a un sistema inercial que no es el centro del sistema de momento , provoca un aumento en la energía y el momento sin un aumento en la masa invariante. Sin embargo, E = m ₀ c ² se aplica sólo a sistemas aislados en su marco de centro de momento donde el momento suma cero.

Tomando esta fórmula al pie de la letra, vemos que en la relatividad, la masa es simplemente energía con otro nombre (y medida en diferentes unidades). En 1927, Einstein comentó acerca de la relatividad especial: "Según esta teoría, la masa no es una magnitud inalterable, sino una magnitud dependiente (y, de hecho, idéntica a) la cantidad de energía". ^[5]

Sistemas cerrados (aislados)

En un sistema "totalmente cerrado" (es decir, un sistema aislado ), la energía total, el momento total y, por tanto, la masa invariante total se conservan. Sin embargo , la fórmula de Einstein para el cambio de masa se traduce a su forma más simple Δ E = Δ mc ² , solo en sistemas no cerrados en los que se permite escapar la energía (por ejemplo, en forma de calor y luz) y, por lo tanto, se reduce la masa invariante. La ecuación de Einstein muestra que tales sistemas deben perder masa, de acuerdo con la fórmula anterior, en proporción a la energía que pierden en el entorno. Por el contrario, si se pueden medir las diferencias de masa entre un sistema antes de que experimente una reacción que libera calor y luz, y el sistema después de la reacción cuando el calor y la luz han escapado, se puede estimar la cantidad de energía que escapa del sistema.

Reacciones químicas y nucleares.

Tanto en reacciones nucleares como químicas, dicha energía representa la diferencia en las energías de enlace de los electrones en los átomos (en química) o entre los nucleones en los núcleos (en reacciones atómicas). En ambos casos, la diferencia de masa entre reactivos y productos (enfriados) mide la masa de calor y luz que escapará de la reacción y, por lo tanto (usando la ecuación), da la energía equivalente de calor y luz que puede emitirse si la reacción continúa. .

En química, las diferencias de masa asociadas con la energía emitida son alrededor de 10 ⁻⁹ de la masa molecular. ^[6] Sin embargo, en las reacciones nucleares las energías son tan grandes que están asociadas con diferencias de masa, que pueden estimarse de antemano, si se han pesado los productos y reactivos (los átomos se pueden pesar indirectamente utilizando masas atómicas, que siempre son lo mismo para cada nucleido ). Por tanto, la fórmula de Einstein adquiere importancia cuando se han medido las masas de diferentes núcleos atómicos. Al observar la diferencia de masas, se puede predecir qué núcleos tienen energía almacenada que puede ser liberada por determinadas reacciones nucleares , proporcionando información importante que fue útil en el desarrollo de la energía nuclear y, en consecuencia, de la bomba nuclear . Históricamente, por ejemplo, Lise Meitner pudo utilizar las diferencias de masa en los núcleos para estimar que había suficiente energía disponible para hacer de la fisión nuclear un proceso favorable. Las implicaciones de esta forma especial de la fórmula de Einstein la han convertido en una de las ecuaciones más famosas de toda la ciencia.

Centro del cuadro de impulso

La ecuación E  =  m ₀ c ² se aplica sólo a sistemas aislados en su centro de sistema de momento . Popularmente se ha entendido erróneamente que significa que la masa puede convertirse en energía, después de lo cual la masa desaparece. Sin embargo, las explicaciones populares de la ecuación aplicada a los sistemas incluyen sistemas abiertos (no aislados) para los cuales se permite escapar el calor y la luz, cuando de otro modo habrían contribuido a la masa ( masa invariante ) del sistema.

Históricamente, la confusión sobre la "conversión" de la masa en energía se ha visto favorecida por la confusión entre masa y " materia ", donde la materia se define como partículas de fermiones . En tal definición, la radiación electromagnética y la energía cinética (o calor) no se consideran "materia". En algunas situaciones, la materia puede convertirse en formas de energía no materia (ver arriba), pero en todas estas situaciones, las formas de energía materia y no materia aún conservan su masa original.

Para sistemas aislados (cerrados a todo intercambio de masa y energía), la masa nunca desaparece en el centro del sistema de momento, porque la energía no puede desaparecer. En cambio, esta ecuación, en contexto, significa sólo que cuando se agrega o se escapa energía de un sistema en el marco del centro de momento, se medirá que el sistema ha ganado o perdido masa, en proporción a la energía agregada. o eliminado. Así, en teoría, si una bomba atómica se colocara en una caja lo suficientemente fuerte como para resistir su explosión y se detonara sobre una balanza, la masa de este sistema cerrado no cambiaría y la balanza no se movería. Sólo cuando se abrió una "ventana" transparente en la caja súper fuerte llena de plasma, y ​​se permitió que la luz y el calor escaparan en un haz, y los componentes de la bomba se enfriaran, el sistema perdería la masa asociada con la energía del explosión. En una bomba de 21 kilotones, por ejemplo, se genera aproximadamente un gramo de luz y calor. Si se permitiera que este calor y esta luz escaparan, los restos de la bomba perderían un gramo de masa al enfriarse. En este experimento mental, la luz y el calor se llevan el gramo de masa y, por tanto, depositarían este gramo de masa en los objetos que los absorben. ^[7]

Momento angular

En mecánica relativista, el momento de masa variable en el tiempo.

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)}$

y momento orbital de 3 ángulos

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

de una partícula puntual se combinan en un bivector de cuatro dimensiones en términos de la posición 4 X y el momento P 4 de la partícula: ^{[8] [9]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$

donde ∧ denota el producto exterior . Este tensor es aditivo: el momento angular total de un sistema es la suma de los tensores de momento angular para cada constituyente del sistema. Entonces, para un conjunto de partículas discretas, se suman los tensores del momento angular de las partículas, o se integra la densidad del momento angular en la extensión de una distribución de masa continua.

Cada uno de los seis componentes forma una cantidad conservada cuando se agrega con los componentes correspondientes de otros objetos y campos.

Fuerza

En la relatividad especial, la segunda ley de Newton no se cumple en la forma F = m a , pero sí si se expresa como

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$

donde p = γ( v ) m ₀ v es el impulso definido anteriormente y m ₀ es la masa invariante . Por tanto, la fuerza está dada por

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )}$

En consecuencia, en algunos textos antiguos, γ( v ) ^3m0 se denomina masa longitudinal y γ( v ) m0 se denomina masa transversal _{, que} es numéricamente lo mismo que la masa relativista . Véase masa en relatividad especial .

Si se invierte esto para calcular la aceleración a partir de la fuerza, se obtiene

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.}$

La fuerza descrita en esta sección es la fuerza tridimensional clásica que no es de cuatro vectores . Esta fuerza tridimensional es el concepto apropiado de fuerza, ya que es la fuerza que obedece a la tercera ley del movimiento de Newton . No debe confundirse con la llamada fuerza de cuatro, que es simplemente la fuerza tridimensional en el marco móvil del objeto transformado como si fuera un vector de cuatro. Sin embargo, la densidad de la fuerza tridimensional (momento lineal transferido por unidad de cuatro volúmenes ) es un vector de cuatro ( densidad de peso +1) cuando se combina con el negativo de la densidad de potencia transferida.

Esfuerzo de torsión

El par que actúa sobre una partícula puntual se define como la derivada del tensor del momento angular dado anteriormente con respecto al tiempo propio: ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$

o en componentes tensoriales:

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$

donde F es la fuerza 4d que actúa sobre la partícula en el evento X. Al igual que con el momento angular, el par es aditivo, por lo que para un objeto extendido uno suma o integra la distribución de masa.

Energía cinética

El teorema trabajo-energía dice ^[12] que el cambio de energía cinética es igual al trabajo realizado sobre el cuerpo. En relatividad especial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}}$

Si en el estado inicial el cuerpo estaba en reposo, entonces v ₀  = 0 y γ ₀ ( v ₀ ) = 1, y en el estado final tiene velocidad v ₁  =  v , estableciendo γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v ), la energía cinética es entonces;

${\displaystyle K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,}$

un resultado que se puede obtener directamente restando la energía en reposo m ₀ c ² de la energía relativista total γ( v ) m ₀ c ² .

límite newtoniano

El factor de Lorentz γ( v ) se puede expandir a una serie de Taylor o una serie binomial para ( v / c ) ² < 1, obteniendo:

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots }$

y consecuentemente

${\displaystyle E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;}$

${\displaystyle \mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .}$

Para velocidades mucho menores que la de la luz, se pueden despreciar los términos con c ² y superiores en el denominador. Luego, estas fórmulas se reducen a las definiciones estándar de energía cinética y momento newtonianos. Así debe ser, ya que la relatividad especial debe coincidir con la mecánica newtoniana a bajas velocidades.

Ver también

• Paradoja de los gemelos
• Ecuaciones relativistas
• Conducción de calor relativista
• Electromagnetismo clásico y relatividad especial.
• Sistema relativista (matemáticas)
• Mecánica relativista lagrangiana

Referencias

Notas

1. Philip Gibbs, Jim Carr y Don Koks (2008). "¿Qué es la masa relativista?". Preguntas frecuentes sobre física de Usenet . Consultado el 19 de septiembre de 2008 .Tenga en cuenta que en 2008 el último editor, Don Koks, reescribió una parte importante de la página, cambiándola de una visión extremadamente desdeñosa de la utilidad de la masa relativista a una que apenas la cuestiona. La versión anterior era: Philip Gibbs & Jim Carr (1998). "¿La masa cambia con la velocidad?". Preguntas frecuentes sobre física de Usenet . Archivado desde el original el 30 de junio de 2007.
2. Véase, por ejemplo: Feynman, Richard (1998). "La teoría especial de la relatividad". "Seis piezas no tan fáciles" . Cambridge, Massachusetts: Libros de Perseo. ISBN 0-201-32842-9.
3. Lev B. Okun (julio de 1989). «El Concepto de Masa» (PDF) . Física hoy . 42 (6): 31–36. Código bibliográfico : 1989PhT....42f..31O. doi : 10.1063/1.881171. Archivado desde el original (se requiere suscripción) el 17 de diciembre de 2008 . Consultado el 4 de junio de 2012 .
4. TR Sandin (noviembre de 1991). "En defensa de la masa relativista". Revista Estadounidense de Física . 59 (11): 1032-1036. Código bibliográfico : 1991AmJPh..59.1032S. doi :10.1119/1.16642.
5. Einstein sobre Newton
6. Randy Harris (2008). Física moderna: segunda edición . Pearson Addison-Wesley. pag. 38.ISBN​ 978-0-8053-0308-7.
7. EF Taylor y JA Wheeler, Física del espacio-tiempo , WH Freeman and Co., Nueva York. 1992. ISBN 0-7167-2327-1 , véanse las págs. 248-9 para un análisis sobre cómo la masa permanece constante después de la detonación de bombas nucleares, hasta que se permite que escape el calor. 
8. R. Penrose (2005). El camino a la realidad . Libros antiguos. págs. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Nota: Algunos autores, incluido Penrose, utilizan letras latinas en esta definición, aunque es convencional utilizar índices griegos para vectores y tensores en el espacio-tiempo.
9. M. Fayngold (2008). Relatividad especial y cómo funciona. John Wiley e hijos. págs. 137-139. ISBN 978-3-527-40607-4.
10. S. Aranoff (1969). "Par y momento angular en un sistema en equilibrio en relatividad especial". Revista Estadounidense de Física . 37 (4): 453–454. Código bibliográfico : 1969AmJPh..37..453A. doi :10.1119/1.1975612.Este autor usa T para torque, aquí usamos Gamma Γ mayúscula ya que T se reserva con mayor frecuencia para el tensor de tensión-energía .
11. S. Aranoff (1972). "Equilibrio en relatividad especial" (PDF) . Nuevo Cimento . 10 (1): 159. Código bibliográfico : 1972NCimB..10..155A. doi :10.1007/BF02911417. S2CID  117291369. Archivado desde el original (PDF) el 28 de marzo de 2012 . Consultado el 13 de octubre de 2013 .
12. RCTolman "Termodinámica y cosmología de la relatividad" págs. 47–48

• C. Chryssomalakos; H. Hernández-Coronado; E. Okon (2009). "Centro de masa en la relatividad especial y general y su papel en una descripción eficaz del espacio-tiempo". J. Física. Conf. Ser . 174 (1). México: 012026. arXiv : 0901.3349 . Código Bib : 2009JPhCS.174a2026C. doi :10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.

Otras lecturas

Alcance general y relatividad especial/general

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Relatividad general

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