Autoregresión vectorial

Modelo estadístico para calcular el valor de múltiples cantidades a medida que cambian con el tiempo.

La autorregresión vectorial ( VAR ) es un modelo estadístico que se utiliza para capturar la relación entre múltiples cantidades a medida que cambian con el tiempo. VAR es un tipo de modelo de proceso estocástico . Los modelos VAR generalizan el modelo autorregresivo de una sola variable (univariable) al permitir series temporales multivariadas . Los modelos VAR se utilizan a menudo en economía y ciencias naturales .

Al igual que el modelo autorregresivo, cada variable tiene una ecuación que modela su evolución en el tiempo. Esta ecuación incluye los valores rezagados (pasados) de la variable , los valores rezagados de las otras variables del modelo y un término de error . Los modelos VAR no requieren tanto conocimiento sobre las fuerzas que influyen en una variable como los modelos estructurales con ecuaciones simultáneas . El único conocimiento previo requerido es una lista de variables que, según la hipótesis, se afectan entre sí a lo largo del tiempo.

Especificación

Definición

Un modelo VAR describe la evolución de un conjunto de k variables, llamadas variables endógenas , a lo largo del tiempo. Cada período de tiempo está numerado, t = 1, ..., T . _Las variables se recogen en un vector , yt , que tiene longitud k. (De manera equivalente, este vector podría describirse como una matriz ( k  × 1) . El vector se modela como una función lineal de su valor anterior. Los componentes del vector se denominan y _{i , t} , es decir, la observación en el momento t de la i -ésima variable. Por ejemplo, si la primera variable del modelo mide el precio del trigo a lo largo del tiempo, entonces y _1,1998 indicaría el precio del trigo en el año 1998.

Los modelos VAR se caracterizan por su orden , que se refiere a la cantidad de períodos de tiempo anteriores que utilizará el modelo. Siguiendo con el ejemplo anterior, un VAR de quinto orden modelaría el precio del trigo de cada año como una combinación lineal de los precios del trigo de los últimos cinco años. Un rezago es el valor de una variable en un período de tiempo anterior. Entonces, en general, un VAR de orden p se refiere a un modelo VAR que incluye rezagos para los últimos p períodos de tiempo. Un VAR de orden p se denomina "VAR( p )" y a veces se le llama "un VAR con p lags". Un modelo VAR de orden p se escribe como

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},\,}$

Las variables de la forma y _{t −i} indican el valor de la variable en períodos de tiempo anteriores y se denominan "i- ésimo rezago" de y _t . La variable c es un k -vector de constantes que sirve como intersección del modelo. A _i es una matriz ( k  ×  k ) invariante en el tiempo y e _t es un k -vector de términos de error . Los términos de error deben cumplir tres condiciones:

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,}$. Cada término de error tiene una media de cero.
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,}$. La matriz de covarianza contemporánea de términos de error es una matriz semidefinida positiva k  ×  k denotada Ω.
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t-k}')=0\,}$para cualquier k distinto de cero . No existe correlación a través del tiempo. En particular, no existe correlación serial en términos de error individual. ^[1]

El proceso de elección del rezago máximo p en el modelo VAR requiere atención especial porque la inferencia depende de la exactitud del orden de rezago seleccionado. ^{[2] [3]}

Orden de integración de las variables.

Tenga en cuenta que todas las variables deben ser del mismo orden de integración . Se distinguen los siguientes casos:

• Todas las variables son I(0) (estacionarias): esto es en el caso estándar, es decir, un VAR en nivel
• Todas las variables son I ( d ) (no estacionarias) con d  > 0: ^{[ cita necesaria ]}
  • Las variables están cointegradas : el término de corrección de error debe incluirse en el VAR. El modelo se convierte en un modelo de corrección de errores vectoriales (VECM) que puede verse como un VAR restringido.
  • Las variables no están cointegradas : primero hay que diferenciar las variables d veces y se tiene un VAR en diferencia.

Notación matricial concisa

Se pueden apilar los vectores para escribir un VAR( p ) como una ecuación en diferencias matricial estocástica , con una notación matricial concisa:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

Los detalles de las matrices se encuentran en una página separada.

Ejemplo

Para ver un ejemplo general de un VAR( p ) con k variables, consulte Notación matricial general de un VAR(p).

Un VAR(1) en dos variables se puede escribir en forma matricial (notación más compacta) como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$

(en el que solo aparece una matriz A porque este ejemplo tiene un retraso máximo p igual a 1), o, de manera equivalente, como el siguiente sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+a_{1,1}y_{1,t-1}+a_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+a_{2,1}y_{1,t-1}+a_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$

Cada variable del modelo tiene una ecuación. La observación actual (tiempo t ) de cada variable depende de sus propios valores rezagados así como de los valores rezagados de cada otra variable en el VAR.

Escribiendo VAR( p ) como VAR(1)

Un VAR con p retrasos siempre se puede reescribir de manera equivalente como un VAR con un solo retraso redefiniendo adecuadamente la variable dependiente. La transformación equivale a apilar los rezagos de la variable VAR( p ) en la nueva variable dependiente VAR(1) y agregar identidades para completar el número de ecuaciones.

Por ejemplo, el modelo VAR(2)

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

puede reformularse como el modelo VAR(1)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$

donde I es la matriz identidad .

La forma equivalente VAR(1) es más conveniente para derivaciones analíticas y permite declaraciones más compactas.

Forma estructural vs. reducida

VAR estructural

Un VAR estructural con p lags (a veces abreviado SVAR ) es

${\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

donde c ₀ es un vector k  × 1 de constantes, B _i es una matriz k  ×  k (para cada i = 0, ..., p ) y ε _t es un vector k  × 1 de términos de error . Los términos de la diagonal principal de la matriz B ₀ (los coeficientes de la i ^-ésima variable en la i ^-ésima ecuación) se escalan a 1.

Los términos de error ε _t ( shocks estructurales ) satisfacen las condiciones (1) - (3) en la definición anterior, con la particularidad de que todos los elementos en la diagonal fuera de la matriz de covarianza son cero. Es decir, los shocks estructurales no están correlacionados. ${\displaystyle \mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')=\Sigma }$

Por ejemplo, un VAR(1) estructural de dos variables es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}$

dónde

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&0\\0&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}};}$

es decir, las varianzas de los shocks estructurales se denotan ( i = 1, 2) y la covarianza es . ${\displaystyle \mathrm {var} (\epsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {cov} (\epsilon _{1},\epsilon _{2})=0}$

Escribiendo la primera ecuación explícitamente y pasando y _2,t al lado derecho se obtiene

${\displaystyle y_{1,t}=c_{0;1}-B_{0;1,2}y_{2,t}+B_{1;1,1}y_{1,t-1}+B_{1;1,2}y_{2,t-1}+\epsilon _{1,t}\,}$

Tenga en cuenta que y _{2, t} puede tener un efecto contemporáneo sobre y _1,t si B _0;1,2 no es cero. Esto es diferente del caso cuando B ₀ es la matriz identidad (todos los elementos fuera de la diagonal son cero, el caso en la definición inicial), cuando y _{2, t} pueden impactar directamente y _{1, t +1} y los valores futuros posteriores, pero no y _{1, t} .

Debido al problema de identificación de parámetros , la estimación de mínimos cuadrados ordinarios del VAR estructural produciría estimaciones de parámetros inconsistentes . Este problema se puede superar reescribiendo el VAR en forma reducida.

Desde un punto de vista económico, si la dinámica conjunta de un conjunto de variables puede representarse mediante un modelo VAR, entonces la forma estructural es una descripción de las relaciones económicas "estructurales" subyacentes. Dos características de la forma estructural la convierten en la candidata preferida para representar las relaciones subyacentes:

1. Los términos de error no están correlacionados . Se supone que los shocks económicos estructurales que impulsan la dinámica de las variables económicas son independientes , lo que implica una correlación cero entre los términos de error como propiedad deseada. Esto resulta útil para separar los efectos de influencias económicamente no relacionadas en el VAR. Por ejemplo, no hay ninguna razón por la cual un shock en el precio del petróleo (como un ejemplo de un shock de oferta ) deba estar relacionado con un cambio en las preferencias de los consumidores hacia un estilo de ropa (como un ejemplo de un shock de demanda ); por lo tanto, uno esperaría que estos factores fueran estadísticamente independientes.

2. Las variables pueden tener un impacto contemporáneo sobre otras variables . Esta es una característica deseable, especialmente cuando se utilizan datos de baja frecuencia. Por ejemplo, un aumento de la tasa impositiva indirecta no afectaría los ingresos tributarios el día en que se anuncia la decisión, pero se podría encontrar un efecto en los datos de ese trimestre.

VAR reducido

Premultiplicando el VAR estructural por la inversa de B ₀

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}$

y denotando

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,\quad B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}{\text{ for }}i=1,\dots ,p{\text{ and }}B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}$

se obtiene el VAR reducido de orden p

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$

Tenga en cuenta que en la forma reducida todas las variables del lado derecho están predeterminadas en el momento t . Como no hay variables endógenas de tiempo t en el lado derecho, ninguna variable tiene un efecto contemporáneo directo sobre otras variables del modelo.

Sin embargo, los términos de error en el VAR reducido son compuestos de los shocks estructurales e _t = B ₀ ⁻¹ ε _t . Por lo tanto, la ocurrencia de un shock estructural ε _i,t puede conducir potencialmente a la ocurrencia de shocks en todos los términos de error e _j,t , creando así un movimiento contemporáneo en todas las variables endógenas. En consecuencia, la matriz de covarianza del VAR reducido

${\displaystyle \Omega =\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\mathrm {E} (B_{0}^{-1}\epsilon _{t}\epsilon _{t}'(B_{0}^{-1})')=B_{0}^{-1}\Sigma (B_{0}^{-1})'\,}$

puede tener elementos fuera de la diagonal distintos de cero, lo que permite una correlación distinta de cero entre los términos de error.

Estimacion

Estimación de los parámetros de regresión.

A partir de la notación matricial concisa (para más detalles, consulte este anexo):

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

• El método de mínimos cuadrados multivariado (MLS) para estimar B produce:

${\displaystyle {\hat {B}}=YZ'(ZZ')^{-1}.}$

Esto se puede escribir alternativamente como:

${\displaystyle \operatorname {Vec} ({\hat {B}})=((ZZ')^{-1}Z\otimes I_{k})\ \operatorname {Vec} (Y),}$

donde denota el producto de Kronecker y Vec la vectorización de la matriz indicada. ${\displaystyle \otimes }$

Este estimador es consistente y asintóticamente eficiente . Además, es igual al estimador de máxima verosimilitud condicional . ^[4]

• Como las variables explicativas son las mismas en cada ecuación, el estimador de mínimos cuadrados multivariante es equivalente al estimador de mínimos cuadrados ordinario aplicado a cada ecuación por separado. ^[5]

Estimación de la matriz de covarianza de los errores.

Como en el caso estándar, el estimador de máxima verosimilitud (MLE) de la matriz de covarianza difiere del estimador de mínimos cuadrados ordinarios (OLS).

Estimador MLE: ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

Estimador MCO: ^{[ cita necesaria ]} para un modelo con una constante, k variables y p rezagos. ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

En notación matricial, esto da:

${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}(Y-{\hat {B}}Z)(Y-{\hat {B}}Z)'.}$

Estimación de la matriz de covarianza del estimador.

La matriz de covarianza de los parámetros se puede estimar como ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle {\widehat {\mbox{Cov}}}({\mbox{Vec}}({\hat {B}}))=({ZZ'})^{-1}\otimes {\hat {\Sigma }}.\,}$

Grados de libertad

Los modelos vectoriales autorregresivos a menudo implican la estimación de muchos parámetros. Por ejemplo, con siete variables y cuatro rezagos, cada matriz de coeficientes para una longitud de rezago dada es de 7 por 7, y el vector de constantes tiene 7 elementos, por lo que se estima un total de 49×4 + 7 = 203 parámetros, lo que reduce sustancialmente los grados de libertad de la regresión (el número de puntos de datos menos el número de parámetros a estimar). Esto puede perjudicar la precisión de las estimaciones de los parámetros y, por tanto, de las predicciones dadas por el modelo.

Interpretación del modelo estimado.

Las propiedades del modelo VAR generalmente se resumen mediante análisis estructural utilizando causalidad de Granger , respuestas de impulso y descomposiciones de la varianza del error de pronóstico .

Respuesta impulsiva

Considere el caso de primer orden (es decir, con un solo rezago), con ecuación de evolución

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+e_{t},}$

para el vector (estado) evolutivo y el vector de shocks. Para encontrar, digamos, el efecto del j -ésimo elemento del vector de shocks sobre el i -ésimo elemento del vector de estado 2 períodos después, que es una respuesta de impulso particular, primero escriba la ecuación de evolución anterior con un período de retraso: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.}$

Use esto en la ecuación original de evolución para obtener

${\displaystyle y_{t}=A^{2}y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t};}$

luego repita usando la ecuación de evolución dos veces retrasada, para obtener

${\displaystyle y_{t}=A^{3}y_{t-3}+A^{2}e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t}.}$

A partir de esto, el efecto del j -ésimo componente de sobre el i -ésimo componente de es el elemento i, j de la matriz ${\displaystyle e_{t-2}}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle A^{2}.}$

A partir de este proceso de inducción se puede ver que cualquier shock tendrá un efecto sobre los elementos de y infinitamente adelante en el tiempo, aunque el efecto será cada vez menor con el tiempo, suponiendo que el proceso AR sea estable, es decir, que todos los Los valores propios de la matriz A son menores que 1 en valor absoluto .

Previsión utilizando un modelo VAR estimado

Se puede utilizar un modelo VAR estimado para realizar pronósticos , y se puede juzgar la calidad de los pronósticos, de manera completamente análoga a los métodos utilizados en el modelado autorregresivo univariado.

Aplicaciones

Christopher Sims ha defendido los modelos VAR, criticando las afirmaciones y el desempeño de los modelos anteriores en econometría macroeconómica . ^[6] Recomendó los modelos VAR, que habían aparecido anteriormente en estadísticas de series temporales y en identificación de sistemas , una especialidad estadística en la teoría del control . Sims defendió los modelos VAR como un método libre de teoría para estimar las relaciones económicas, siendo así una alternativa a las "increíbles restricciones de identificación" de los modelos estructurales. ^[6] Los modelos VAR también se utilizan cada vez más en la investigación sanitaria para análisis automáticos de datos diarios ^[7] o datos de sensores.

Software

• R : El paquete vars incluye funciones para modelos VAR. ^{[8] [9]} Otros paquetes de R se enumeran en la Vista de tareas de CRAN: Análisis de series de tiempo.
• Python : el módulo tsa (análisis de series de tiempo) del paquete statsmodels admite VAR. PyFlux tiene soporte para VAR y VAR bayesianos.
• SAS : VARMAX
• Estado : "var"
• Vistas electrónicas : "VAR"
• Gretl : "var"
• Matlab : "varm"
• Análisis de regresión de series temporales : "SISTEMA"
• LDT

Ver también

• Autoregresión vectorial bayesiana
• Mapeo cruzado convergente
• Causalidad de Granger
• Autoregresión de vectores de panel, una extensión de los modelos VAR a datos de panel ^[10]
• Descomposición de varianza

Notas

1. Para pruebas multivariadas de autocorrelación en los modelos VAR, consulte Hatemi-J, A. (2004). "Pruebas multivariadas de autocorrelación en los modelos VAR estable e inestable". Modelización Económica . 21 (4): 661–683. doi :10.1016/j.econmod.2003.09.005.
2. Pirata informático, RS; Hatemi-J, A. (2008). "Elección óptima de la longitud del rezago en modelos VAR estables e inestables en situaciones de homocedasticidad y ARCH". Revista de Estadística Aplicada . 35 (6): 601–615. doi :10.1080/02664760801920473.
3. Hatemi-J, A.; Hacker, RS (2009). "¿Puede ser útil la prueba LR para elegir el orden de retraso óptimo en el modelo VAR cuando los criterios de información sugieren diferentes órdenes de retraso?". Economía Aplicada . 41 (9): 1489-1500.
4. Hamilton, James D. (1994). Análisis de series temporales . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 293.
5. Zellner, Arnold (1962). "Un método eficiente para estimar regresiones y pruebas de sesgo de agregación aparentemente no relacionadas". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 57 (298): 348–368. doi :10.1080/01621459.1962.10480664.
6. Sims, Christopher (1980). "Macroeconomía y Realidad". Econométrica . 48 (1): 1–48. CiteSeerX 10.1.1.163.5425 . doi :10.2307/1912017. JSTOR  1912017. 
7. van der Krieke; et al. (2016). "Dinámica temporal de la salud y el bienestar: un enfoque de crowdsourcing para evaluaciones momentáneas y generación automatizada de comentarios personalizados (2016)". Medicina Psicosomática : 1. doi :10.1097/PSY.0000000000000378. PMID  27551988.
8. Modelos Bernhard Pfaff VAR, SVAR y SVEC: implementación dentro del paquete R vars
9. Hyndman, Rob J; Athanasopoulos, George (2018). "11.2: Autorregresiones vectoriales". Previsión: principios y práctica. OTextos. págs. 333–335. ISBN 978-0-9875071-1-2.
10. Holtz-Eakin, D., Newey, W. y Rosen, HS (1988). Estimación de autorregresiones vectoriales con datos de panel. Econométrica, 56(6):1371–1395.

Otras lecturas

• Asteriou, Dimitrios; Salón, Stephen G. (2011). "Pruebas de causalidad y modelos de vectores autorregresivos (VAR)". Econometría aplicada (Segunda ed.). Londres: Palgrave MacMillan. págs. 319–333.
• Enders, Walter (2010). Series temporales econométricas aplicadas (Tercera ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Favero, Carlo A. (2001). Macroeconometría Aplicada . Nueva York: Oxford University Press. págs. 162-213. ISBN 0-19-829685-1.
• Lütkepohl, Helmut (2005). Nueva introducción al análisis de series temporales múltiples . Berlín: Springer. ISBN 3-540-40172-5.
• Qin, dúo (2011). "Auge del enfoque de modelado VAR". Revista de estudios económicos . 25 (1): 156-174. doi :10.1111/j.1467-6419.2010.00637.x.