Regla de votación mediana

La regla de votación mediana o mecanismo de la mediana es una regla para la toma de decisiones grupales en un dominio unidimensional. Cada persona vota escribiendo su valor ideal y la regla selecciona un único valor que es (en el mecanismo básico) la mediana de todos los votos.

Motivación

Muchos escenarios de toma de decisiones grupales involucran un dominio unidimensional. Algunos ejemplos son:

Los miembros de un consejo municipal deben decidir el monto total del presupuesto anual de la ciudad.
Varias personas que trabajan en la misma oficina tienen que decidir la temperatura del aire acondicionado.
Los padres de los niños en edad escolar deben decidir cuánto durarán las vacaciones escolares anuales.
El público tiene que decidir dónde ubicar una instalación a lo largo de una calle unidimensional.

Cada miembro tiene en mente una decisión ideal, llamada su "pico". Cada agente prefiere que el monto real sea lo más cercano posible a su pico.

Una manera sencilla de decidirlo es la regla del voto promedio : preguntar a cada miembro cuál es su pico y tomar el promedio de todos los picos. Pero esta regla es fácilmente manipulable. Por ejemplo, supongamos que el pico de Alice es 30, el pico de George es 40 y el pico de Chana es 50. Si todos los votantes informan sus picos verdaderos, la cantidad real será 40. Pero Alice puede manipular y decir que su pico es en realidad 0; entonces el promedio será 30, que es el pico real de Alice. Por lo tanto, Alice ha ganado con la manipulación. De manera similar, cualquier agente cuyo pico sea diferente del resultado tiene un incentivo para manipular e informar un pico falso.

En cambio, la regla de la mediana determina el presupuesto real en la mediana de todos los votos. Este simple cambio hace que la regla sea a prueba de estrategias : ningún votante puede ganar informando un pico falso. En el ejemplo anterior, la mediana es 40, y sigue siendo 40 incluso si Alice informa 0. De hecho, como el pico verdadero de Alice está por debajo de la mediana, ningún informe falso de Alice puede reducir potencialmente la mediana; Alice solo puede aumentar la mediana, pero esto la perjudicará.

Condiciones previas

La regla de votación mediana se cumple en cualquier situación en la que los agentes tengan preferencias de pico único . Esto significa que existe un ordenamiento lineal de las alternativas, de modo que para cada agente i con pico p _i :

Si p _i > a > b , entonces el agente i prefiere a a b;
Si b > a > p _i , entonces el agente i prefiere a a b.

Una vez que existe dicho orden lineal, la mediana de cualquier conjunto de picos se puede calcular ordenando los picos a lo largo de este orden lineal.

Obsérvese que la existencia de un único pico no implica ninguna medida de distancia particular entre las alternativas, y no implica nada sobre alternativas en diferentes lados del pico. En particular, si a > p _i > b, entonces el agente puede preferir a a b o b a a.

Procedimiento

A cada agente i en 1,..., n se le pide que informe el valor de p _i . Los valores se ordenan en orden ascendente p ₁ ≤ ... ≤ p _n . En el mecanismo básico, el valor elegido cuando n es impar es p _(n+1)/2 , que es igual a la mediana de los valores (cuando n es par, el valor elegido es p _n/2 ):

elección = mediana ( p ₁ , ..., p _n ).

Prueba de la estrategia a prueba de errores

He aquí una prueba de que la regla de la mediana es a prueba de estrategias:

Consideremos primero un votante cuyo pico está por debajo de la mediana. Informar un pico más bajo no cambiará la mediana; informar un pico más alto mantendrá la mediana sin cambios o la aumentará. En todos los casos, el votante no gana.
De manera similar, considere un votante cuyo pico está por encima de la mediana. Informar un pico más alto no cambiará la mediana; informar un pico más bajo mantendrá la mediana sin cambios o la reducirá. En todos los casos, el votante no gana.

Usando un razonamiento similar, se puede probar que la regla de la mediana también es a prueba de estrategias de grupo , es decir: ninguna coalición tiene una manipulación coordinada que mejore la utilidad de una de ellas sin dañar a las otras.

Reglas de mediana generalizadas

Mediana con fantasmas

La regla de la mediana no es la única regla a prueba de estrategias. Se pueden construir reglas alternativas añadiendo votos fijos, que no dependen de los votos de los ciudadanos. Estos votos fijos se denominan "fantasmas". Para cada conjunto de fantasmas, la regla que elige la mediana del conjunto de votos reales + fantasmas es a prueba de estrategias de grupo.

Por ejemplo, supongamos que los votos son 30, 40 y 50. Sin fantasmas, la regla de la mediana selecciona 40. Si agregamos dos fantasmas en 0, entonces la regla de la mediana selecciona 30; si agregamos dos fantasmas en 100, la regla de la mediana selecciona 50; si agregamos medianas en 20 y 35, la regla de la mediana selecciona 35.

A continuación se presentan algunos casos especiales de reglas de mediana fantasma, asumiendo que todos los votos están entre 0 y 100:

Si hay n -1 fantasmas en 0, entonces la regla de la mediana devuelve el mínimo de todos los votos reales.
Si hay n -1 fantasmas en 100, entonces la regla de la mediana devuelve el máximo de todos los votos reales.
Si hay n -1 fantasmas en 50, entonces la regla de la mediana devuelve 50 si algunos puntos ideales están por encima y otros por debajo de 50; de lo contrario, devuelve el voto más cercano a 50.

Moulin ^[1] demostró las siguientes caracterizaciones:

Una regla es anónima , a prueba de estrategias y Pareto-eficiente para todas las preferencias de un solo pico si es equivalente a una regla mediana con como máximo n -1 fantasmas.
Una regla es anónima y a prueba de estrategias para todas las preferencias de un solo pico si es equivalente a una regla mediana con como máximo n +1 fantasmas.
Una regla es a prueba de estrategias para todas las preferencias de un solo pico si es equivalente a una regla minmax de la siguiente forma. Hay 2 ⁿ parámetros, b _S para cualquier subconjunto S de votantes. La regla devuelve el mínimo sobre todos los subconjuntos S , del máximo de (todos los picos de votantes en S , y b _S ). ^{[ aclaración necesaria ]}

Caracterizaciones adicionales

Las caracterizaciones de Moulin consideran solo reglas que son "solo pico", es decir, la regla depende solo de los n picos. Ching ^[2] demostró que todas las reglas que son a prueba de estrategias y continuas , incluso si no son "solo pico", son reglas medianas aumentadas, es decir, pueden describirse mediante una variante de la regla mediana con unos 2 ⁿ parámetros.

Las caracterizaciones de Moulin requieren que las reglas gestionen todas las preferencias de un solo pico. Varios otros trabajos permiten reglas que gestionan solo un subconjunto de preferencias de un solo pico:

Berga y Serizawa ^[3]^{: La sección 3} permite que las reglas gestionen solo preferencias mínimamente ricas . Demuestran que, incluso en este dominio más pequeño, las reglas a prueba de estrategias son exactamente las reglas medianas generalizadas.
Masso y Moreno ^[4] permiten reglas que manejan solo preferencias simétricas de un solo pico (la simetría significa que un resultado más alejado del pico debería ser menos preferido que un resultado más cercano al pico, incluso si los resultados están en lados diferentes del pico). La clase de mecanismos a prueba de estrategias en este dominio más pequeño es estrictamente más grande que la clase de reglas medianas generalizadas. En particular, las reglas pueden verse alteradas por puntos de discontinuidad. Su resultado permite diseñar reglas que se ocupan de restricciones de viabilidad.
Border y Jordan ^[5]^{: Las secciones 3, 4 y 5} permiten reglas que manejan solo preferencias cuadráticas . En el entorno unidimensional, esto es equivalente a funciones de utilidad de la forma . En este dominio, prueban que cualquier regla a prueba de estrategias que respete el criterio de unanimidad es inflexible , es decir: si el pico del agente está a la derecha del resultado y mueve su pico más a la derecha, entonces el resultado no cambia; y de manera similar a la izquierda. A la inversa, toda regla inflexible es a prueba de estrategias. Prueban que una regla es inflexible si tiene como máximo 2 ⁿ votantes fantasmas (es decir, como máximo 2 ⁿ puntos que pueden ser elegidos incluso si no son el pico de ningún votante), y su correspondencia elect (mapear cada perfil con el conjunto de índices de votantes reales + fantasmas cuyo pico es elegido) tiene un gráfico cerrado . Como corolario, toda regla inflexible es continua. Sin embargo, una regla inflexible que también sea diferenciable debe ser dictatorial. $u_{i}(x)=-|x-p_{i}|$

Berga y Serizawa ^[3]^{: Sec.4} buscan reglas que sean a prueba de estrategias y que satisfagan una condición que ellos llaman "sin veto": ningún individuo debería poder evitar que cualquier alternativa sea el resultado declarando alguna preferencia. Caracterizan las reglas medianas generalizadas como las únicas reglas a prueba de estrategias en "dominios mínimamente ricos". Demostraron que el único dominio máximo que incluye un dominio mínimamente rico, que permite la existencia de reglas a prueba de estrategias que satisfacen la condición de "sin veto", es el dominio de las preferencias convexas .

Barbera, Gul y Stacchetti ^[6] también generalizan las nociones de preferencias de pico único y reglas de votación mediana a entornos multidimensionales.

Barbera y Jackson ^[7] caracterizaron reglas a prueba de estrategias para preferencias de pico único débil , en las que el conjunto máximo puede contener dos alternativas.

Moulin caracterizó las reglas a prueba de estrategias en las preferencias de meseta única : una generalización de un solo pico en la que a cada agente se le permite tener un intervalo entero de puntos ideales. ^[8]

Extensiones multidimensionales

Border y Jordan ^[5]^{: Las secciones 6 y 7} generalizan las nociones de preferencias de un solo pico y reglas de votación medianas a entornos multidimensionales (ver preferencias en forma de estrella ). Consideran tres clases de preferencias:

Separable ( , donde cada v _i,j es una función de utilidad de un solo pico); $u_{i}(x)=\sum _{j=1}^{m}u_{i,j}(x_{j})$
Cuadrática ( donde A es una matriz definida positiva simétrica ); $u_{i}(x)=-(xp)^{T}A(xp)$
Su intersección es separable en cuadrados ( , donde a _i,j son constantes positivas). $u_{i}(x)=-\sum _{j=1}^{m}a_{i,j}\cdot (x_{j}-p_{j})^{2}$

En los dominios cuadráticos no separables, los únicos mecanismos a prueba de estrategias son dictatoriales. Pero en los dominios separables, hay mecanismos a prueba de estrategias multidimensionales que se componen de mecanismos a prueba de estrategias unidimensionales, uno para cada coordenada.

Aplicación en la industria petrolera

En 1954, el Consorcio Petrolero Iraní adoptó una regla similar a la mediana para determinar la producción petrolera anual total de Irán. Anualmente, el papel de cada empresa miembro se ponderaba según su participación fija en la producción total. La producción elegida, x, era el nivel más alto tal que la suma de las participaciones de los miembros que votaban por niveles tan altos como x fuera al menos del 70%. ^[9]^{: 103-108}

Conceptos relacionados

El teorema del votante mediano se relaciona con los mecanismos de votación por orden de preferencia , en los que cada agente informa su clasificación completa sobre las alternativas. El teorema dice que, si las preferencias de los agentes tienen un solo pico , entonces cada método de Condorcet siempre selecciona al candidato preferido por el votante mediano (el candidato más cercano al votante cuyo pico es la mediana de todos los picos).

Las reglas de votación de la mediana más alta son un intento de aplicar la misma regla de votación a las elecciones al pedirles a los votantes que envíen juicios (puntuaciones) para cada candidato. Sin embargo, la naturaleza a prueba de estrategias de la regla de votación de la mediana no se extiende a la elección de candidatos a menos que los votantes tengan preferencias de un solo pico sobre la puntuación final de cada candidato. Este puede ser un modelo razonable de votación expresiva , pero la regla no será a prueba de estrategias en situaciones en las que los votantes tengan preferencias de un solo pico sobre el resultado (ganador) de la elección.

El teorema de Gibbard-Satterthwaite dice que toda regla a prueba de estrategias sobre tres o más alternativas debe ser una dictadura . La regla de la mediana aparentemente contradice este teorema, porque es a prueba de estrategias y no es una dictadura. De hecho, no hay ninguna contradicción: el teorema de Gibbard-Satterthwaite se aplica sólo a reglas que operan en todo el dominio de preferencias (es decir, sólo a reglas de votación que pueden manejar cualquier conjunto de clasificaciones de preferencias). En cambio, la regla de la mediana se aplica sólo a un dominio de preferencias restringido: el dominio de las preferencias de un solo pico.

Dummet y Farquharson presentan una condición suficiente para la estabilidad en los juegos de votación. ^[10]^{[ se necesita más explicación ]}

Referencias

^ Moulin, H. (1980). "Sobre la estrategia a prueba y la existencia de un solo pico". Public Choice . 35 (4): 437–455. doi :10.1007/BF00128122. S2CID 154508892.
^ Ching, Stephen (diciembre de 1997). "La estrategia a prueba de errores y los 'votantes medianos'"". Revista Internacional de Teoría de Juegos . 26 (4): 473–490. doi :10.1007/BF01813886. hdl : 10722/177668 . S2CID 42830689.
^ ab Berga, Dolors; Serizawa, Shigehiro (enero de 2000). "Dominio máximo para reglas a prueba de estrategias con un bien público". Journal of Economic Theory . 90 (1): 39–61. doi :10.1006/jeth.1999.2579.
^ Massó, Jordi; Moreno de Barreda, Inés (junio de 2011). "Sobre la seguridad de la estrategia y la simetría de pico único". Juegos y comportamiento económico . 72 (2): 467–484. doi :10.1016/j.geb.2010.12.001. hdl : 2072/53376 .
^ ab Border, Kim C.; Jordan, JS (enero de 1983). "Elecciones sencillas, unanimidad y votantes fantasma". The Review of Economic Studies . 50 (1): 153. doi :10.2307/2296962. JSTOR 2296962.
^ Barberá, Salvador; Gul, Faruk; Stacchetti, Ennio (diciembre de 1993). "Comités y esquemas de votantes medianos generalizados". Revista de teoría económica . 61 (2): 262–289. doi :10.1006/jeth.1993.1069.
^ Barberà, Salvador; Jackson, Matthew (julio de 1994). "Una caracterización de funciones de elección social a prueba de estrategias para economías con bienes públicos puros" (PDF) . Elección social y bienestar . 11 (3). doi :10.1007/BF00193809.
^ Moulin, H. (agosto de 1984). "Ganadores de Condorcet generalizados para preferencias de un solo pico y de una sola meseta". Elección social y bienestar . 1 (2): 127–147. doi :10.1007/BF00452885.
^ Blair, John M. (1976). El control del petróleo . doi :10.1007/978-1-349-81487-9. ISBN 978-1-349-81489-3.
^ Dummett, Michael; Farquharson, Robin (1961). "Estabilidad en la votación". Econometrica . 29 (1): 33–43. doi :10.2307/1907685. JSTOR 1907685.