Principio de reflexión

Tipo de proposición en matemáticas

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un principio de reflexión dice que es posible encontrar conjuntos que, con respecto a cualquier propiedad dada, se asemejen a la clase de todos los conjuntos. Hay varias formas diferentes del principio de reflexión dependiendo de qué se entienda exactamente por "parecerse". Las formas débiles del principio de reflexión son teoremas de la teoría de conjuntos ZF debido a Montague (1961), mientras que las formas más fuertes pueden ser axiomas nuevos y muy poderosos para la teoría de conjuntos.

El nombre "principio de reflexión" proviene del hecho de que las propiedades del universo de todos los conjuntos se "reflejan" en un conjunto más pequeño.

Motivación

Una versión ingenua del principio de reflexión establece que "para cualquier propiedad del universo de todos los conjuntos podemos encontrar un conjunto con la misma propiedad". Esto conduce a una contradicción inmediata: el universo de todos los conjuntos contiene todos los conjuntos, pero no existe ningún conjunto con la propiedad de contener todos los conjuntos. Para obtener principios de reflexión útiles (y no contradictorios) debemos ser más cuidadosos con lo que entendemos por "propiedad" y qué propiedades permitimos.

Los principios de reflexión están asociados con los intentos de formular la idea de que ninguna noción, idea o afirmación puede capturar toda nuestra visión del universo de conjuntos . ^[1] Kurt Gödel lo describió de la siguiente manera: ^[2]

El universo de todos los conjuntos es estructuralmente indefinible. Una forma posible de precisar esta afirmación es la siguiente: el universo de los conjuntos no puede caracterizarse de forma única (es decir, distinguirse de todos sus segmentos iniciales) por ninguna propiedad estructural interna de la relación de pertenencia en él que sea expresable en cualquier lógica de tipo finito o transfinito , incluidas las lógicas infinitarias de cualquier número cardinal . Este principio puede considerarse una generalización del principio de clausura .

—  8.7.3, pág. 280

Todos los principios que sirven para establecer los axiomas de la teoría de conjuntos deberían poder reducirse al principio de Ackermann : lo absoluto es incognoscible. La fuerza de este principio aumenta a medida que se van fortaleciendo los sistemas de teoría de conjuntos. Los demás principios son sólo principios heurísticos. Por tanto, el principio central es el principio de reflexión, que presumiblemente se entenderá mejor a medida que aumente nuestra experiencia. Mientras tanto, ayuda a separar principios más específicos que o bien aportan alguna información adicional o bien todavía no se ve claramente que se puedan derivar del principio de reflexión tal como lo entendemos ahora.

—  8.7.9, pág. 283

En general, creo que, en último análisis, todo axioma de infinito debería poder derivarse del principio (extremadamente plausible) de que V es indefinible, donde la definibilidad debe tomarse en un sentido cada vez más generalizado e idealizado.

—  8.7.16, pág. 285

Georg Cantor expresó puntos de vista similares sobre el infinito absoluto : Todas las propiedades de cardinalidad se satisfacen en este número, en el que el número es igual a un cardinal menor.

Para encontrar principios de reflexión no contradictorios podríamos argumentar informalmente de la siguiente manera. Supongamos que tenemos una colección A de métodos para formar conjuntos (por ejemplo, tomando conjuntos potencia , subconjuntos , el axioma de reemplazo , etc.). Podemos imaginar tomar todos los conjuntos obtenidos al aplicar repetidamente todos estos métodos y formar estos conjuntos en una clase X , que puede considerarse como un modelo de alguna teoría de conjuntos. Pero a la luz de este punto de vista, V no es agotable mediante un puñado de operaciones, de lo contrario sería fácilmente descriptible desde abajo, este principio se conoce como inagotabilidad (de V ). ^[3] Como resultado, V es mayor que X. Aplicar los métodos en A al conjunto X en sí también daría como resultado una colección más pequeña que V , ya que V no es agotable a partir de la imagen de X bajo las operaciones en A. Entonces podemos introducir el siguiente nuevo principio para formar conjuntos: "la colección de todos los conjuntos obtenidos a partir de algún conjunto mediante la aplicación repetida de todos los métodos en la colección A también es un conjunto". Después de añadir este principio a A , V todavía no es agotable por las operaciones en este nuevo A . Este proceso puede repetirse cada vez más, añadiendo más y más operaciones al conjunto A y obteniendo modelos cada vez más grandes X . Cada X se parece a V en el sentido de que comparte la propiedad con V de ser cerrado bajo las operaciones en A .

Podemos utilizar este argumento informal de dos maneras. Podemos intentar formalizarlo en (por ejemplo) la teoría de conjuntos ZF; al hacer esto obtenemos algunos teoremas de la teoría de conjuntos ZF, llamados teoremas de reflexión. Alternativamente, podemos utilizar este argumento para motivar la introducción de nuevos axiomas para la teoría de conjuntos, como algunos axiomas que afirman la existencia de cardinales grandes . ^[3]

En ZFC

Al intentar formalizar el argumento a favor del principio de reflexión de la sección anterior en la teoría de conjuntos de ZFC, resulta necesario añadir algunas condiciones sobre el conjunto de propiedades A (por ejemplo, A podría ser finito). Al hacer esto se producen varios "teoremas de reflexión" estrechamente relacionados, todos los cuales establecen que podemos encontrar un conjunto que sea casi un modelo de ZFC. A diferencia de los principios de reflexión más sólidos, estos son demostrables en ZFC.

Uno de los principios de reflexión más comunes para ZFC es un esquema de teorema que puede describirse de la siguiente manera: para cualquier fórmula con parámetros, si es verdadera (en el universo de la teoría de conjuntos ), entonces hay un nivel de la jerarquía acumulativa tal que . Esto se conoce como el principio de reflexión de Lévy-Montague, ^[4] o el principio de reflexión de Lévy, ^[5] investigado principalmente en Lévy (1960) y Montague (1961). ^[6] Otra versión de este principio de reflexión dice que para cualquier número finito de fórmulas de ZFC podemos encontrar un conjunto en la jerarquía acumulativa tal que todas las fórmulas en el conjunto sean absolutas para (lo que significa, muy aproximadamente, que se cumplen en si y solo si se cumplen en el universo de todos los conjuntos). Por lo tanto, esto dice que el conjunto se asemeja al universo de todos los conjuntos, al menos en lo que respecta al número finito de fórmulas dado. ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }\vDash \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$

Otro principio de reflexión para ZFC es un esquema de teorema que se puede describir de la siguiente manera: ^{[7] [8]} Sea una fórmula con como máximo variables libres . Entonces ZFC demuestra que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle (\forall N)(\exists M{\supseteq }N)(\forall x_{1},\ldots ,x_{n}{\in }M)(\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\leftrightarrow \phi ^{M})}$

donde denota la relativización de a (es decir, reemplazar todos los cuantificadores que aparecen en de la forma y por y , respectivamente). ${\displaystyle \phi ^{M}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \forall x}$ ${\displaystyle \exists x}$ ${\displaystyle \forall x{\in }M}$ ${\displaystyle \exists x{\in }M}$

Otra forma del principio de reflexión en ZFC dice que para cualquier conjunto finito de axiomas de ZFC podemos encontrar un modelo transitivo contable que satisfaga estos axiomas. (En particular, esto prueba que, a menos que sea inconsistente, ZFC no es finitamente axiomatizable porque si lo fuera probaría la existencia de un modelo de sí mismo y, por lo tanto, probaría su propia consistencia, contradiciendo el segundo teorema de incompletitud de Gödel). Esta versión del teorema de reflexión está estrechamente relacionada con el teorema de Löwenheim-Skolem .

Si es un cardinal fuerte inaccesible , entonces existe un subconjunto cerrado e ilimitado de , tal que para cada , es una subestructura elemental de . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha \in C}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$

Como nuevos axiomas

Cardenales grandes

Los principios de reflexión están relacionados con los grandes axiomas cardinales y pueden utilizarse para motivarlos. Reinhardt ofrece los siguientes ejemplos: ^[9]

Puede ser útil presentar algunos argumentos informales que ilustren el uso de los principios de reflexión.

La más simple es quizás: el universo de conjuntos es inaccesible (es decir, satisface el axioma de reemplazo), por lo tanto hay un cardinal inaccesible. Esto se puede elaborar un poco, como sigue. Enumeremos los cardinales inaccesibles. Por el mismo tipo de razonamiento, no está acotado; el absoluto de Cantor (todos los ordinales) es un inaccesible por encima de cualquier límite propuesto , por lo tanto hay un cardinal inaccesible por encima de . Claramente, entonces, hay inaccesibles por encima de debajo de ; por lo tanto hay un inaccesible tal que hay inaccesibles por debajo de él (es decir, ). ${\displaystyle \theta _{\nu }}$ ${\displaystyle \theta _{\nu }}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa =\theta _{\kappa }}$

Teoría de clases de Bernays

Paul Bernays utilizó un principio de reflexión como axioma para una versión de la teoría de conjuntos (no la teoría de conjuntos de Von Neumann–Bernays–Gödel , que es una teoría más débil). Su principio de reflexión establecía aproximadamente que si es una clase con alguna propiedad, entonces se puede encontrar un conjunto transitivo tal que tenga la misma propiedad cuando se lo considera como un subconjunto del "universo" . Este es un axioma bastante poderoso e implica la existencia de varios de los cardinales grandes más pequeños , como los cardinales inaccesibles . (En términos generales, la clase de todos los ordinales en ZFC es un cardenal inaccesible aparte del hecho de que no es un conjunto, y el principio de reflexión puede entonces usarse para mostrar que hay un conjunto que tiene la misma propiedad, en otras palabras, que es un cardenal inaccesible). Desafortunadamente, esto no se puede axiomatizar directamente en ZFC, y normalmente se debe usar una teoría de clases como la teoría de conjuntos de Morse–Kelley . La consistencia del principio de reflexión de Bernays está implícita en la existencia de un cardinal ω-Erdős . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A\cap u}$ ${\displaystyle u}$

Más precisamente, los axiomas de la teoría de clases de Bernays son: ^[10]

1. extensionalidad
2. Especificación de clase : para cualquier fórmula sin libertad, ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \exists a\forall b(b\in a\leftrightarrow \phi \land b{\text{ is a set}})}$
3. subconjuntos : ${\displaystyle b\subseteq a\land a{\text{ is a set}}\to b{\text{ is a set}}}$
4. reflexión: para cualquier fórmula , ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (A)\to \exists u(u{\text{ is a transitive set}}\land \phi ^{{\mathcal {P}}u}(A\cap u))}$
5. base
6. elección

donde denota el conjunto potencia . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Según Akihiro Kanamori , ^{[11] : 62} en un artículo de 1961, Bernays consideró el esquema de reflexión

${\displaystyle \phi \to \exists x({\text{transitive}}(x)\land \phi ^{x})}$

para cualquier fórmula sin libre, donde afirma que es transitiva . Partiendo de la observación de que los parámetros del conjunto pueden aparecer en y se puede exigir que los contengan introduciendo cláusulas en , Bernays estableció con este esquema el emparejamiento , la unión , el infinito y el reemplazo , logrando de hecho una presentación notablemente económica de ZF . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{transitive}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exists y(a_{i}\in y)}$ ${\displaystyle \phi }$

Otros

Algunas formulaciones de la teoría de conjuntos de Ackermann utilizan un principio de reflexión. El axioma de Ackermann establece que, para cualquier fórmula que no mencione , ^[2] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle a\in V\land b\in V\to \forall x(\phi \to x\in V)\to \exists u{\in }V\forall x(x\in u\leftrightarrow \phi )}$

Peter Koellner demostró que una clase general de principios de reflexión considerados "intrínsecamente justificados" son inconsistentes o débiles, en el sentido de que son consistentes en relación con el cardinal de Erdös . ^[12] Sin embargo, hay principios de reflexión más poderosos, que están estrechamente relacionados con los diversos axiomas de grandes cardinales. Para casi todos los axiomas de grandes cardinales conocidos existe un principio de reflexión conocido que lo implica, y a la inversa, todos los principios de reflexión conocidos, excepto los más poderosos, están implicados por axiomas de grandes cardinales conocidos. ^[10] Un ejemplo de esto es el axioma de totalidad , ^[13] que implica la existencia de cardinales super- n -enormes para todo n finito y su consistencia está implícita por un cardinal de rango a rango I3 .

Agregue un axioma que diga que Ord es un cardinal de Mahlo : para cada clase cerrada e ilimitada de ordinales C (definible por una fórmula con parámetros), hay un ordinal regular en C. Esto permite derivar la existencia de cardinales fuertes inaccesibles y mucho más sobre cualquier ordinal.

Para aritmética

Los principios de reflexión pueden considerarse para teorías de aritmética que generalmente son mucho más débiles que ZFC.

Solvencia

Sea , denotemos la aritmética de Peano y denotemos el conjunto de oraciones verdaderas en el lenguaje de PA que están en la jerarquía aritmética . El teorema de reflexión de Mostowski es que para cada número natural , prueba la consistencia de . Como cada conjunto es -definible, esto debe expresarse como un esquema de teorema. ^{[14] p. 4} Estos principios de solidez a veces se denominan principios de reflexión sintáctica , en contraste con las variedades basadas en la satisfacción mencionadas anteriormente, que se denominan principios de reflexión semántica . ^{[15] p. 1} ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$

El principio de reflexión local para una teoría es el esquema que establece que para cada oración del lenguaje de , . Cuando es la versión restringida del principio considerando únicamente la en una clase de fórmulas , y son equivalentes sobre . ^{[16] p. 205} ${\displaystyle Rfn(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Prov} _{T}(\phi )\implies \phi }$ ${\displaystyle Rfn_{\Gamma }(T)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {Con} (T)}$ ${\displaystyle Rfn_{\Pi _{1}^{0}}(T)}$ ${\displaystyle T}$

El principio de reflexión uniforme para una teoría es el esquema que para cada número natural , , donde es la unión de los conjuntos de números de Gödel de y fórmulas, y es con sus variables libres reemplazadas con numerales , etc. en el lenguaje de la aritmética de Peano, y es el predicado de verdad parcial para fórmulas. ^{[16] p. 205} ${\displaystyle RFN(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \forall (\ulcorner \phi \urcorner \in \Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0})\forall (y_{0},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {N} )(\mathrm {Pr} _{T}(\ulcorner \phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}\urcorner \implies \mathrm {Tr} _{n}(\ulcorner \phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}\urcorner ))}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle \phi (y_{0},\ldots ,y_{n})^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ ${\displaystyle \underbrace {S\ldots S} _{y_{0}}0}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} _{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}\cup \Pi _{n}^{0}}$

Reflexión del modelo

Para , un -modelo es un modelo que tiene los valores de verdad correctos de los enunciados, donde está en el nivel th de la jerarquía analítica . Un -modelo contable de un subsistema de aritmética de segundo orden consiste en un conjunto contable de conjuntos de números naturales, que pueden codificarse como un subconjunto de . La teoría demuestra la existencia de un -modelo, también conocido como -modelo. ^{[17] Teorema VII.2.16} ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}^{1}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta }$

El principio de reflexión de -modelo para fórmulas establece que para cualquier fórmula con como su única variable de conjunto libre, para todo , si se cumple, entonces existe un -modelo codificado contable donde tal que . Una extensión de por un esquema de elección dependiente se axiomatiza. Para cualquier , el sistema es equivalente a -reflexión para fórmulas. ^{[17] Teorema VII.7.6} ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \theta (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \theta (X)}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X\in M}$ ${\displaystyle M\vDash \theta (X)}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$ ${\displaystyle 0\leq k}$ ${\displaystyle \Sigma _{k+2}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}}$ ${\displaystyle \beta _{k+1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k+4}^{1}}$

${\displaystyle \beta }$-La reflexión del modelo tiene conexiones con la reflexión de la teoría de conjuntos, por ejemplo, sobre la teoría de conjuntos débiles KP , agregar el esquema de reflexión de -fórmulas a conjuntos transitivos ( para todas las fórmulas ) produce las mismas -consecuencias que agregar un esquema de reflexión de -modelo para fórmulas. ^[18] ${\displaystyle \Pi _{n}}$ ${\displaystyle \phi \implies \exists z({\textrm {transitive}}(z)\land \phi ^{z})}$ ${\displaystyle \Pi _{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Pi _{4}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ACA+BI}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$

Referencias

• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) , Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
• Lévy, Azriel (1960), "Esquemas axiomáticos de infinito fuerte en la teoría de conjuntos axiomáticos", Pacific Journal of Mathematics , 10 : 223–238, doi : 10.2140/pjm.1960.10.223 , ISSN  0030-8730, MR  0124205
• Montague, Richard (1961), "La adición de Fraenkel a los axiomas de Zermelo", en Bar-Hillel, Yehoshua; Poznanski, EIJ; Rabin, MO; Robinson, Abraham (eds.), Ensayos sobre los fundamentos de las matemáticas , Universidad Hebrea, Jerusalén: Magnes Press, págs. 91-114, MR  0163840
• Reinhardt, WN (1974), "Observaciones sobre principios de reflexión, grandes cardinales e incrustaciones elementales", Teoría de conjuntos axiomática , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, Parte II, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 189–205, MR  0401475

Citas

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2. Wang, Hao (25 de marzo de 2016). Un viaje lógico: de Gödel a la filosofía. Bradford Books. pp. 280–285. ISBN 978-0262529167.
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Enlaces externos

• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html