Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es un principio esencial para el procesamiento de señales digitales que vincula el rango de frecuencia de una señal y la frecuencia de muestreo requerida para evitar un tipo de distorsión llamada aliasing . El teorema establece que la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble del ancho de banda de la señal para evitar el aliasing. En la práctica, se utiliza para seleccionar filtros limitadores de banda para mantener el alias por debajo de una cantidad aceptable cuando se muestrea una señal analógica o cuando se cambian las frecuencias de muestreo dentro de una función de procesamiento de señal digital.

Ejemplo de magnitud de la transformada de Fourier de una función de banda limitada

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es un teorema en el campo del procesamiento de señales que sirve como puente fundamental entre señales de tiempo continuo y señales de tiempo discreto . Establece una condición suficiente para una frecuencia de muestreo que permita que una secuencia discreta de muestras capture toda la información de una señal de tiempo continuo de ancho de banda finito .

Estrictamente hablando, el teorema sólo se aplica a una clase de funciones matemáticas que tienen una transformada de Fourier que es cero fuera de una región finita de frecuencias. Intuitivamente esperamos que cuando uno reduce una función continua a una secuencia discreta y la interpola nuevamente a una función continua, la fidelidad del resultado depende de la densidad (o frecuencia de muestreo ) de las muestras originales. El teorema de muestreo introduce el concepto de una frecuencia de muestreo que es suficiente para una fidelidad perfecta para la clase de funciones que están limitadas por banda a un ancho de banda determinado, de modo que no se pierda información real en el proceso de muestreo. Expresa la frecuencia de muestreo suficiente en términos de ancho de banda para la clase de funciones. El teorema también conduce a una fórmula para reconstruir perfectamente la función de tiempo continuo original a partir de las muestras.

Aún es posible una reconstrucción perfecta cuando no se cumple el criterio de frecuencia de muestreo, siempre que se conozcan otras limitaciones de la señal (consulte § Muestreo de señales que no son de banda base a continuación y detección comprimida ). En algunos casos (cuando no se cumple el criterio de frecuencia de muestreo), la utilización de restricciones adicionales permite reconstrucciones aproximadas. La fidelidad de estas reconstrucciones puede verificarse y cuantificarse utilizando el teorema de Bochner . ^[1]

El nombre teorema de muestreo de Nyquist-Shannon honra a Harry Nyquist y Claude Shannon , pero el teorema también fue descubierto previamente por ET Whittaker (publicado en 1915), y Shannon citó el artículo de Whittaker en su trabajo. Por lo tanto, el teorema también se conoce con los nombres de teorema de muestreo de Whittaker-Shannon , Whittaker-Shannon y Whittaker-Nyquist-Shannon , y también puede denominarse teorema cardinal de interpolación .

Introducción

El muestreo es un proceso de convertir una señal (por ejemplo, una función de tiempo o espacio continuo) en una secuencia de valores (una función de tiempo o espacio discreto). La versión de Shannon del teorema dice: ^[2]

Teorema  :  si una función no contiene frecuencias superiores a B hercios , entonces se puede determinar completamente a partir de sus ordenadas en una secuencia de puntos separados por menos de segundos. ${\displaystyle x(t)}$  ${\displaystyle 1/(2B)}$

Por lo tanto, una frecuencia de muestreo suficiente es cualquier valor mayor que las muestras por segundo. De manera equivalente, para una frecuencia de muestreo determinada , se garantiza la posibilidad de una reconstrucción perfecta para un límite de banda . ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle B<f_{s}/2}$

Cuando el límite de banda es demasiado alto (o no hay límite de banda), la reconstrucción presenta imperfecciones conocidas como aliasing . Las declaraciones modernas del teorema a veces tienen el cuidado de indicar explícitamente que no debe contener ningún componente sinusoidal exactamente con la frecuencia o que debe ser estrictamente menor que la mitad de la frecuencia de muestreo. El umbral se denomina tasa de Nyquist y es un atributo de la entrada de tiempo continuo que se va a muestrear. La tasa de muestreo debe exceder la tasa de Nyquist para que las muestras sean suficientes para representar.   El umbral se llama frecuencia de Nyquist y es un atributo del equipo de muestreo . Todos los componentes de frecuencia significativos del muestreo adecuado existen por debajo de la frecuencia de Nyquist. La condición descrita por estas desigualdades se denomina criterio de Nyquist o, a veces, condición de Raabe . El teorema también es aplicable a funciones de otros dominios, como el espacio, en el caso de una imagen digitalizada. El único cambio, en el caso de otros dominios, son las unidades de medida atribuidas y ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t).}$ ${\displaystyle f_{s}/2}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle f_{s},}$ ${\displaystyle B.}$

La función sinc normalizada : sin(π x ) / (π x ) ... que muestra el pico central en x = 0 y cruces por cero en los otros valores enteros de x .

El símbolo se utiliza habitualmente para representar el intervalo entre muestras y se denomina período muestral o intervalo de muestreo . Las muestras de función se denotan comúnmente por (alternativamente en la literatura más antigua sobre procesamiento de señales), para todos los valores enteros de   Otra definición conveniente es que preserva la energía de la señal a medida que varía. ^[3] ${\displaystyle T\triangleq 1/f_{s}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x[n]\triangleq x(nT)}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle x[n]\triangleq T\cdot x(nT),}$ ${\displaystyle T}$

Una forma matemáticamente ideal de interpolar la secuencia implica el uso de funciones sinc . Cada muestra de la secuencia se reemplaza por una función sinc, centrada en el eje de tiempo en la ubicación original de la muestra con la amplitud de la función sinc escalada al valor de la muestra. Posteriormente, las funciones sinc se suman en una función continua. Un método matemáticamente equivalente utiliza el peine de Dirac y procede convolucionando una función sinc con una serie de pulsos delta de Dirac , ponderados por los valores de la muestra. Ninguno de los métodos es numéricamente práctico. En cambio, se utiliza algún tipo de aproximación de las funciones sinc, de longitud finita. Las imperfecciones atribuibles a la aproximación se conocen como error de interpolación . ${\displaystyle nT,}$ ${\displaystyle x[n].}$

Los prácticos convertidores digital-analógico no producen funciones sinc escaladas ni retardadas , ni pulsos Dirac ideales . En su lugar, producen una secuencia constante por partes de pulsos rectangulares retardados y escalados (la retención de orden cero ), generalmente seguida por un filtro de paso bajo (llamado "filtro anti-imagen") para eliminar réplicas (imágenes) falsas de alta frecuencia de la señal de banda base original.

alias

Las muestras de dos ondas sinusoidales pueden ser idénticas cuando al menos una de ellas tiene una frecuencia superior a la mitad de la frecuencia de muestreo.

Cuando es una función con transformada de Fourier : ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f)}$

${\displaystyle X(f)\ \triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,}$

La fórmula de suma de Poisson indica que las muestras de son suficientes para crear una suma periódica de. El resultado es: ${\displaystyle x(nT),}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f).}$

${\displaystyle X(f)}$(azul superior) y (azul inferior) son transformadas continuas de Fourier de dos funciones diferentes y (no se muestran). Cuando las funciones se muestrean a una velocidad , las imágenes (verde) se agregan a las transformadas originales (azul) cuando se examinan las transformadas de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de las secuencias. En este ejemplo hipotético, las DTFT son idénticas, lo que significa que las secuencias muestreadas son idénticas , aunque las funciones continuas premuestreadas originales no lo son. Si fueran señales de audio, es posible que no suenen igual. Pero sus muestras (tomadas al ritmo ) son idénticas y darían lugar a sonidos reproducidos idénticos; por lo tanto , es un alias de a esta frecuencia de muestreo. ${\displaystyle X_{A}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

que es una función periódica y su representación equivalente como una serie de Fourier , cuyos coeficientes son . Esta función también se conoce como transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de la secuencia de muestra. ${\displaystyle T\cdot x(nT)}$

Como se muestra, las copias de se desplazan en múltiplos de la frecuencia de muestreo y se combinan mediante suma. Para una función de banda limitada y suficientemente grande es posible que las copias permanezcan distintas entre sí. Pero si no se cumple el criterio de Nyquist, las copias adyacentes se superponen y, en general, no es posible discernir un componente de frecuencia inequívoco. Cualquier componente de frecuencia superior es indistinguible de un componente de frecuencia más baja, llamado alias , asociado con una de las copias. En tales casos, las técnicas de interpolación habituales producen el alias, en lugar del componente original. Cuando la frecuencia de muestreo está predeterminada por otras consideraciones (como un estándar de la industria), generalmente se filtra para reducir sus altas frecuencias a niveles aceptables antes de muestrearla. El tipo de filtro requerido es un filtro de paso bajo y en esta aplicación se denomina filtro antialiasing . ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle (X(f)=0,{\text{ for all }}|f|\geq B)}$ ${\displaystyle f_{s},}$ ${\displaystyle X(f).}$ ${\displaystyle f_{s}/2}$ ${\displaystyle x(t)}$

Espectro, de una señal de banda limitada muestreada correctamente (azul) y las imágenes DTFT adyacentes (verde) que no se superponen. Un filtro de paso bajo de pared de ladrillos elimina las imágenes, deja el espectro original y recupera la señal original de sus muestras. ${\displaystyle X_{s}(f)}$ ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle X(f)}$

La figura de la izquierda muestra una función (en gris/negro) que se está muestreando y reconstruyendo (en dorado) con densidades de muestra en constante aumento, mientras que la figura de la derecha muestra el espectro de frecuencia de la función gris/negro, que no cambia. . La frecuencia más alta del espectro es la mitad del ancho de todo el espectro. El ancho del sombreado rosa que aumenta constantemente es igual a la frecuencia de muestreo. Cuando abarca todo el espectro de frecuencias es dos veces más grande que la frecuencia más alta, y es entonces cuando la forma de onda reconstruida coincide con la muestreada.

Derivación como caso especial de suma de Poisson

Cuando no hay superposición de las copias (también conocidas como "imágenes") de , el producto puede recuperar el término de la Ec.1 : ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle k=0}$

$${\displaystyle X(f)=H(f)\cdot X_{s}(f),}$$

dónde:

$${\displaystyle H(f)\ \triangleq \ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B.\end{cases}}}$$

El teorema de muestreo está demostrado ya que determina unívocamente . ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$

Lo único que queda es derivar la fórmula para la reconstrucción. No es necesario definirlo con precisión en la región porque es cero en esa región. Sin embargo, el peor caso es cuando la frecuencia de Nyquist. Una función que es suficiente para ese y todos los casos menos graves es: ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle [B,\ f_{s}-B]}$ ${\displaystyle X_{s}(f)}$ ${\displaystyle B=f_{s}/2,}$

$${\displaystyle H(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}},\end{cases}}}$$

¿Dónde está la función rectangular ? Por lo tanto: ${\displaystyle \mathrm {rect} }$

${\displaystyle X(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{s}(f)}$

${\displaystyle =\mathrm {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}}$      (de   la ecuación 1 , arriba).

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}.}$     ^[A]

La transformada inversa de ambos lados produce la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon :

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

que muestra cómo las muestras, , se pueden combinar para reconstruir . ${\displaystyle x(nT)}$ ${\displaystyle x(t)}$

• Los valores de (valores más pequeños de ), denominados sobremuestreo , no tienen ningún efecto sobre el resultado de la reconstrucción y tienen la ventaja de dejar espacio para una banda de transición en la que es libre de tomar valores intermedios. El submuestreo , que provoca aliasing, no es en general una operación reversible. ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H(f)}$
• Teóricamente, la fórmula de interpolación se puede implementar como un filtro de paso bajo , cuya respuesta de impulso es y cuya entrada es una función de peine de Dirac modulada por las muestras de señal. Los prácticos convertidores digital-analógico (DAC) implementan una aproximación como la retención de orden cero . En ese caso, el sobremuestreo puede reducir el error de aproximación. ${\displaystyle \mathrm {sinc} (t/T)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),}$

La prueba original de Shannon

Poisson muestra que la serie de Fourier en la ecuación 1 produce la suma periódica de , independientemente de y . Shannon, sin embargo, sólo deriva los coeficientes de la serie para el caso . Virtualmente citando el artículo original de Shannon: ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{s}=2B}$

Sea el espectro de   Entonces ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle x(t).}$

${\displaystyle x(t)={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ,}$

porque se supone que es cero fuera de la banda.   Si dejamos donde es cualquier entero positivo o negativo, obtenemos: ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega }{2\pi }}\right|<B.}$ ${\displaystyle t={\tfrac {n}{2B}},}$ ${\displaystyle n}$

A la izquierda están los valores de en los puntos de muestreo. La integral de la derecha se reconocerá esencialmente como ^[a] el coeficiente en una expansión en serie de Fourier de la función tomando el intervalo como período fundamental. Esto significa que los valores de las muestras determinan los coeficientes de Fourier en la expansión en serie de   Por lo tanto, determinan ya que es cero para frecuencias mayores que y para frecuencias inferiores se determina si se determinan sus coeficientes de Fourier. Pero determina la función original por completo, ya que una función se determina si se conoce su espectro. Por lo tanto, las muestras originales determinan completamente la función . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle X(\omega ),}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x(n/2B)}$ ${\displaystyle X(\omega ).}$ ${\displaystyle X(\omega ),}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

La demostración del teorema de Shannon está completa en ese punto, pero continúa analizando la reconstrucción mediante funciones sinc , lo que ahora llamamos fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon como se analizó anteriormente. No deriva ni prueba las propiedades de la función sinc, ya que la relación de par de Fourier entre las funciones rec (la función rectangular) y sinc era bien conocida en ese momento. ^[4]

Sea la muestra. Entonces la función está representada por: ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin(\pi (2Bt-n)) \over \pi (2Bt-n)}.}$

Como en la otra prueba, se supone la existencia de la transformada de Fourier de la señal original, por lo que la prueba no dice si el teorema de muestreo se extiende a procesos aleatorios estacionarios de banda limitada.

Notas

1. Multiplicar ambos lados de la ecuación 2 por produce, a la izquierda, los valores de muestra escalados en la fórmula de Poisson ( ecuación 1 ) y, a la derecha, la fórmula real para los coeficientes de expansión de Fourier. ${\displaystyle T=1/2B}$ ${\displaystyle (T\cdot x(nT))}$

Aplicación a señales e imágenes multivariables.

Imagen submuestreada que muestra un patrón Moiré

Imagen correctamente muestreada

El teorema de muestreo suele formularse para funciones de una sola variable. En consecuencia, el teorema es directamente aplicable a señales dependientes del tiempo y normalmente se formula en ese contexto. Sin embargo, el teorema de muestreo se puede extender de forma sencilla a funciones de un número arbitrario de variables. Las imágenes en escala de grises, por ejemplo, a menudo se representan como matrices (o matrices) bidimensionales de números reales que representan las intensidades relativas de los píxeles (elementos de la imagen) ubicados en las intersecciones de las ubicaciones de muestra de filas y columnas. Como resultado, las imágenes requieren dos variables independientes, o índices, para especificar cada píxel de forma única: una para la fila y otra para la columna.

Las imágenes en color normalmente constan de una combinación de tres imágenes separadas en escala de grises, una para representar cada uno de los tres colores primarios: rojo, verde y azul, o RGB para abreviar. Otros espacios de color que utilizan 3 vectores para colores incluyen HSV, CIELAB, XYZ, etc. Algunos espacios de color como cian, magenta, amarillo y negro (CMYK) pueden representar el color en cuatro dimensiones. Todas ellas se tratan como funciones con valores vectoriales en un dominio muestreado bidimensional.

De manera similar a las señales unidimensionales de tiempo discreto, las imágenes también pueden sufrir aliasing si la resolución de muestreo o la densidad de píxeles es inadecuada. Por ejemplo, una fotografía digital de una camisa a rayas con altas frecuencias (en otras palabras, la distancia entre las rayas es pequeña), puede causar aliasing de la camisa cuando es muestreada por el sensor de imagen de la cámara . El alias aparece como un patrón muaré . La "solución" para un mayor muestreo en el dominio espacial para este caso sería acercarse a la camiseta, usar un sensor de mayor resolución o desenfocar ópticamente la imagen antes de adquirirla con el sensor usando un filtro óptico de paso bajo .

Otro ejemplo se muestra aquí en los patrones de ladrillos. La imagen superior muestra los efectos cuando no se cumple la condición del teorema de muestreo. Cuando el software cambia la escala de una imagen (el mismo proceso que crea la miniatura que se muestra en la imagen inferior), en efecto, primero pasa la imagen a través de un filtro de paso bajo y luego reduce la resolución de la imagen para dar como resultado una imagen más pequeña que no exhibe el patrón muaré . La imagen superior es lo que sucede cuando se reduce la resolución de la imagen sin filtrado de paso bajo: resultados de alias.

El teorema de muestreo se aplica a los sistemas de cámaras, donde la escena y la lente constituyen una fuente de señal espacial analógica y el sensor de imagen es un dispositivo de muestreo espacial. Cada uno de estos componentes se caracteriza por una función de transferencia de modulación (MTF), que representa la resolución precisa (ancho de banda espacial) disponible en ese componente. Pueden producirse efectos de aliasing o desenfoque cuando el MTF de la lente y el MTF del sensor no coinciden. Cuando la imagen óptica que es muestreada por el dispositivo sensor contiene frecuencias espaciales más altas que el sensor, el submuestreo actúa como un filtro de paso bajo para reducir o eliminar el aliasing. Cuando el área del punto de muestreo (el tamaño del sensor de píxeles) no es lo suficientemente grande como para proporcionar suficiente anti-aliasing espacial , se puede incluir un filtro anti-aliasing separado (filtro óptico de paso bajo) en un sistema de cámara para reducir el MTF de la imagen óptica. En lugar de requerir un filtro óptico, la unidad de procesamiento de gráficos de las cámaras de los teléfonos inteligentes realiza un procesamiento de señales digitales para eliminar el aliasing con un filtro digital. Los filtros digitales también aplican nitidez para amplificar el contraste de la lente en frecuencias espaciales altas, que de otro modo disminuye rápidamente en los límites de difracción.

El teorema de muestreo también se aplica al posprocesamiento de imágenes digitales, como el muestreo ascendente o descendente. Los efectos de aliasing, desenfoque y nitidez se pueden ajustar con filtrado digital implementado en software, que necesariamente sigue los principios teóricos.

Una familia de sinusoides en la frecuencia crítica, todas con la misma secuencia de muestra de alternancia +1 y –1. Es decir, todos son alias entre sí, aunque su frecuencia no supere la mitad de la frecuencia de muestreo.

Frecuencia crítica

Para ilustrar la necesidad de considerar la familia de sinusoides generada por diferentes valores de en esta fórmula: ${\displaystyle f_{s}>2B,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x(t)={\frac {\cos(2\pi Bt+\theta )}{\cos(\theta )}}\ =\ \cos(2\pi Bt)-\sin(2\pi Bt)\tan(\theta ),\quad -\pi /2<\theta <\pi /2.}$

Con o de manera equivalente las muestras vienen dadas por: ${\displaystyle f_{s}=2B}$ ${\displaystyle T=1/2B,}$

${\displaystyle x(nT)=\cos(\pi n)-\underbrace {\sin(\pi n)} _{0}\tan(\theta )=(-1)^{n}}$

independientemente del valor de ${\displaystyle \theta .}$ Ese tipo de ambigüedad es la razón de la estricta desigualdad de la condición del teorema de muestreo.

Muestreo de señales que no son de banda base

Según lo comentado por Shannon: ^[2]

Un resultado similar es cierto si la banda no comienza en frecuencia cero sino en algún valor más alto, y puede demostrarse mediante una traducción lineal (que corresponde físicamente a la modulación de banda lateral única ) del caso de frecuencia cero. En este caso el impulso elemental se obtiene mediante modulación de banda lateral única. ${\displaystyle \sin(x)/x}$

Es decir, existe una condición suficiente sin pérdidas para el muestreo de señales que no tienen componentes de banda base que involucra el ancho del intervalo de frecuencia distinto de cero en contraposición a su componente de frecuencia más alta. Consulte muestreo para obtener más detalles y ejemplos.

Por ejemplo, para muestrear señales de radio FM en el rango de frecuencia de 100 a 102  MHz , no es necesario muestrear a 204 MHz (el doble de la frecuencia superior), sino que es suficiente muestrear a 4 MHz (el doble del ancho). del intervalo de frecuencia).

Una condición de paso de banda es que para todas las frecuencias no negativas fuera de la banda abierta: ${\displaystyle X(f)=0,}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left({\frac {N}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {N+1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

para algún número entero no negativo . Esta formulación incluye la condición de banda base normal según sea el caso. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=0.}$

La función de interpolación correspondiente es la respuesta al impulso de un filtro de paso de banda de pared de ladrillo ideal (a diferencia del filtro de paso bajo de pared de ladrillo ideal utilizado anteriormente) con cortes en los bordes superior e inferior de la banda especificada, que es la diferencia entre un par de respuestas de impulso de paso bajo:

$${\displaystyle (N+1)\,\operatorname {sinc} \left({\frac {(N+1)t}{T}}\right)-N\,\operatorname {sinc} \left({\frac {Nt}{T}}\right).}$$

También son posibles otras generalizaciones, por ejemplo para señales que ocupan múltiples bandas no contiguas. Incluso la forma más generalizada del teorema de muestreo no tiene un recíproco demostrablemente cierto. Es decir, no se puede concluir que la información se pierde necesariamente sólo porque no se cumplen las condiciones del teorema de muestreo; Sin embargo, desde una perspectiva de ingeniería, generalmente es seguro asumir que si no se cumple el teorema de muestreo, lo más probable es que se pierda información.

Muestreo no uniforme

La teoría del muestreo de Shannon puede generalizarse para el caso de muestreo no uniforme , es decir, muestras no tomadas equiespaciadas en el tiempo. La teoría de muestreo de Shannon para muestreo no uniforme establece que una señal de banda limitada se puede reconstruir perfectamente a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo promedio satisface la condición de Nyquist. ^[5] Por lo tanto, aunque las muestras espaciadas uniformemente pueden resultar en algoritmos de reconstrucción más fáciles, no es una condición necesaria para una reconstrucción perfecta.

La teoría general para muestras no uniformes y sin banda base fue desarrollada en 1967 por Henry Landau . ^[6] Demostró que la tasa de muestreo promedio (uniforme o no) debe ser el doble del ancho de banda ocupado de la señal, suponiendo que se sepa a priori qué porción del espectro estaba ocupada.

A finales de la década de 1990, este trabajo se amplió parcialmente para abarcar señales cuya cantidad de ancho de banda ocupado se conocía, pero se desconocía la porción realmente ocupada del espectro. ^[7] En la década de 2000, se desarrolló una teoría completa (consulte la sección Muestreo debajo de la tasa de Nyquist bajo restricciones adicionales a continuación) utilizando detección comprimida . En particular, la teoría, que utiliza un lenguaje de procesamiento de señales, se describe en un artículo de 2009 de Mishali y Eldar. ^[8] Muestran, entre otras cosas, que si se desconocen las ubicaciones de frecuencia, entonces es necesario muestrear al menos el doble de los criterios de Nyquist; es decir, debes pagar al menos un factor de 2 por no conocer la ubicación del espectro . Tenga en cuenta que los requisitos mínimos de muestreo no necesariamente garantizan la estabilidad .

Muestreo por debajo de la tasa de Nyquist bajo restricciones adicionales

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon proporciona una condición suficiente para el muestreo y reconstrucción de una señal de banda limitada. Cuando la reconstrucción se realiza mediante la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon , el criterio de Nyquist también es una condición necesaria para evitar el aliasing, en el sentido de que si las muestras se toman a una velocidad inferior al doble del límite de la banda, entonces hay algunas señales que no lo harán. ser correctamente reconstruido. Sin embargo, si se imponen más restricciones a la señal, es posible que el criterio de Nyquist ya no sea una condición necesaria .

Un ejemplo no trivial de explotación de suposiciones adicionales sobre la señal lo brinda el reciente campo de detección comprimida , que permite una reconstrucción completa con una frecuencia de muestreo inferior a Nyquist. Específicamente, esto se aplica a señales escasas (o comprimibles) en algún dominio. Como ejemplo, la detección comprimida trata con señales que pueden tener un ancho de banda general bajo (por ejemplo, el ancho de banda efectivo ), pero se desconocen las ubicaciones de las frecuencias, en lugar de estar todas juntas en una sola banda, de modo que la técnica de banda de paso no se aplica. En otras palabras, el espectro de frecuencias es escaso. Tradicionalmente, la frecuencia de muestreo necesaria es, por lo tanto , utilizando técnicas de detección comprimida, la señal podría reconstruirse perfectamente si se muestrea a una frecuencia ligeramente menor que Con este enfoque, la reconstrucción ya no viene dada por una fórmula, sino por la solución de un proceso lineal . programa de optimización . ${\displaystyle EB,}$ ${\displaystyle 2B.}$ ${\displaystyle 2EB.}$

Otro ejemplo en el que el muestreo sub-Nyquist es óptimo surge bajo la restricción adicional de que las muestras se cuantifican de manera óptima, como en un sistema combinado de muestreo y compresión con pérdida óptima . ^[9] Esta configuración es relevante en los casos en los que se debe considerar el efecto conjunto del muestreo y la cuantificación , y puede proporcionar un límite inferior para el error de reconstrucción mínimo que se puede lograr al muestrear y cuantificar una señal aleatoria . Para señales aleatorias gaussianas estacionarias, este límite inferior generalmente se alcanza a una frecuencia de muestreo sub-Nyquist, lo que indica que el muestreo sub-Nyquist es óptimo para este modelo de señal bajo una cuantificación óptima . ^[10]

Antecedentes históricos

El teorema de muestreo fue implícito en el trabajo de Harry Nyquist en 1928, ^[11] en el que demostró que se podían enviar hasta muestras de pulsos independientes a través de un sistema de ancho de banda ; pero no consideró explícitamente el problema del muestreo y reconstrucción de señales continuas. Casi al mismo tiempo, Karl Küpfmüller mostró un resultado similar ^[12] y analizó la respuesta al impulso de función sinc de un filtro limitador de banda, a través de su integral, la integral sinusoidal de respuesta escalonada ; este filtro de reconstrucción y limitación de banda que es tan fundamental para el teorema de muestreo a veces se denomina filtro de Küpfmüller (pero rara vez en inglés). ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle B}$

El teorema de muestreo, esencialmente un dual del resultado de Nyquist, fue demostrado por Claude E. Shannon . ^[2] El matemático ET Whittaker publicó resultados similares en 1915, ^[13] JM Whittaker en 1935, ^[14] y Gabor en 1946 ("Teoría de la comunicación").

En 1948 y 1949, Claude E. Shannon publicó los dos artículos revolucionarios en los que fundamentaba la teoría de la información. ^{[15] [16] [2]} En Shannon 1948, el teorema de muestreo se formula como "Teorema 13": No contenga frecuencias sobre W. Entonces ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\frac {\sin \pi (2Wt-n)}{\pi (2Wt-n)}},}$$

${\displaystyle X_{n}=f\left({\frac {n}{2W}}\right).}$

No fue hasta que se publicaron estos artículos que el teorema conocido como "teorema de muestreo de Shannon" se convirtió en propiedad común entre los ingenieros de comunicaciones, aunque el propio Shannon escribe que este es un hecho de conocimiento común en el arte de la comunicación. ^[B] Sin embargo, unas líneas más adelante añade: "pero a pesar de su evidente importancia, [parece] no haber aparecido explícitamente en la literatura de la teoría de la comunicación".

Otros descubridores

Otros que descubrieron de forma independiente o desempeñaron un papel en el desarrollo del teorema de muestreo han sido discutidos en varios artículos históricos, por ejemplo, por Jerri ^[17] y por Lüke. ^[18] Por ejemplo, Lüke señala que H. Raabe, un asistente de Küpfmüller, demostró el teorema en su doctorado de 1939. disertación; El término condición de Raabe pasó a asociarse con el criterio de representación inequívoca (frecuencia de muestreo superior al doble del ancho de banda). Meijering ^[19] menciona varios otros descubridores y nombres en un párrafo y un par de notas a pie de página:

Como señaló Higgins, el teorema de muestreo realmente debería considerarse en dos partes, como se hizo anteriormente: la primera establece el hecho de que una función de banda limitada está completamente determinada por sus muestras, la segunda describe cómo reconstruir la función usando sus muestras. Ambas partes del teorema de muestreo fueron expuestas en una forma algo diferente por JM Whittaker y, antes que él, también por Ogura. Probablemente no eran conscientes del hecho de que la primera parte del teorema había sido enunciada ya en 1897 por Borel. ^{[Meijering 1]} Como hemos visto, Borel también utilizó en esa época lo que se conoció como la serie cardinal. Sin embargo, parece no haber establecido el vínculo. En años posteriores se supo que Kotel'nikov había presentado el teorema de muestreo ante Shannon a la comunidad de comunicación rusa . Raabe también lo describió en la literatura alemana de forma verbal más implícita. Varios autores han mencionado que Someya introdujo el teorema en la literatura japonesa de forma paralela a Shannon. En la literatura inglesa, Weston lo introdujo independientemente de Shannon casi al mismo tiempo. ^{[Meijering 2]}

1. Varios autores, siguiendo a Black, han afirmado que esta primera parte del teorema de muestreo fue enunciada incluso antes por Cauchy, en un artículo publicado en 1841. Sin embargo, el artículo de Cauchy no contiene tal afirmación, como ha señalado Higgins.
2. Como consecuencia del descubrimiento de varias introducciones independientes del teorema de muestreo, la gente comenzó a referirse al teorema incluyendo los nombres de los autores antes mencionados, lo que resultó en frases como "Whitaker-Kotel'nikov-Shannon (WKS) teorema de muestreo" o incluso "el teorema de muestreo de Whittaker-Kotel'nikov-Raabe-Shannon-Someya". Para evitar confusiones, quizás lo mejor sea referirse a él como teorema de muestreo, "en lugar de tratar de encontrar un título que haga justicia a todos los reclamantes".

—  Eric Meijering, "Una cronología de la interpolación desde la astronomía antigua hasta el procesamiento moderno de señales e imágenes" (citas omitidas)

En la literatura rusa se le conoce como teorema de Kotelnikov, en honor a Vladimir Kotelnikov , quien lo descubrió en 1933. ^[20]

¿Por qué Nyquist?

Sigue siendo oscuro exactamente cómo, cuándo o por qué Harry Nyquist tenía su nombre asociado al teorema de muestreo. El término Teorema de muestreo de Nyquist (en mayúscula) apareció ya en 1959 en un libro de su antiguo empleador, Bell Labs , ^{[21] [ verificación necesaria ]} y apareció nuevamente en 1963, ^[22] y sin mayúscula en 1965. ^[23] Ya en 1954 se le llamó teorema de muestreo de Shannon , ^[24] pero también fue llamado simplemente teorema de muestreo en varios otros libros a principios de los años cincuenta.

En 1958, Blackman y Tukey citaron el artículo de Nyquist de 1928 como referencia para el teorema de muestreo de la teoría de la información , ^[25] aunque ese artículo no trata el muestreo y la reconstrucción de señales continuas como lo hicieron otros. Su glosario de términos incluye estas entradas:

Teorema de muestreo (de la teoría de la información)

El resultado de Nyquist de que los datos equiespaciados, con dos o más puntos por ciclo de frecuencia más alta, permiten la reconstrucción de funciones de banda limitada. (Ver teorema cardinal ).

Teorema cardinal (de la teoría de la interpolación)

Una declaración precisa de las condiciones bajo las cuales los valores dados en un conjunto doblemente infinito de puntos equidistantes pueden interpolarse para producir una función continua limitada por banda con la ayuda de la función

$${\displaystyle {\frac {\sin(x-x_{i})}{x-x_{i}}}.}$$

Sigue siendo un misterio exactamente a qué "resultado de Nyquist" se refieren.

Cuando Shannon estableció y demostró el teorema de muestreo en su artículo de 1949, según Meijering, ^[19] "se refirió al intervalo de muestreo crítico como el intervalo de Nyquist correspondiente a la banda en reconocimiento del descubrimiento de Nyquist de la importancia fundamental de este intervalo en relación con telegrafía". Esto explica el nombre de Nyquist en el intervalo crítico, pero no en el teorema. ${\displaystyle T={\frac {1}{2W}}}$ ${\displaystyle W,}$

De manera similar, Harold S. Black adjuntó el nombre de Nyquist a la tasa Nyquist en 1953 :

Si el rango de frecuencia esencial se limita a ciclos por segundo, Nyquist lo indicó como el número máximo de elementos de código por segundo que podrían resolverse sin ambigüedades, suponiendo que la interferencia máxima sea inferior a medio paso cuántico. Esta tasa generalmente se conoce como señalización a la tasa de Nyquist y se ha denominado intervalo de Nyquist . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2B}}}$

—  Harold Black, Teoría de la modulación ^[26] (negrita agregada para énfasis; cursiva como en el original)

Según el Oxford English Dictionary , este puede ser el origen del término tasa Nyquist . En el uso de Black, no es una frecuencia de muestreo, sino una frecuencia de señalización.

Ver también

• 44.100 Hz , una frecuencia habitual utilizada para muestrear frecuencias audibles se basa en los límites de la audición humana y el teorema de muestreo.
• Teorema de Balian-Low , un límite inferior teórico similar en las tasas de muestreo, pero que se aplica a las transformadas tiempo-frecuencia
• Teorema de Cheung-Marks , que especifica las condiciones en las que la restauración de una señal mediante el teorema de muestreo puede quedar mal planteada
• Teorema de Shannon-Hartley
• Criterio ISI de Nyquist
• Reconstrucción desde pasos por cero
• Retención de orden cero
• peine de dirac

Notas

1. La función sinc se deriva de las filas 202 y 102 de las tablas de transformación.
2. Shannon 1949, pag. 448.

Referencias

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Otras lecturas

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• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "§13.11. Uso numérico del teorema de muestreo", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11 de agosto de 2011 , consultado el 13 de agosto de 2011
• Unser, Michael (abril de 2000). "Muestreo: 50 años después de Shannon" (PDF) . Proc. IEEE . 88 (4): 569–587. doi : 10.1109/5.843002. S2CID  11657280. Archivado (PDF) desde el original el 3 de noviembre de 2022.

enlaces externos

• Aprendizaje por Simulaciones Simulación interactiva de los efectos del muestreo inadecuado
• Presentación interactiva del muestreo y la reconstrucción en una demostración web Instituto de Telecomunicaciones de la Universidad de Stuttgart
• Submuestreo y una aplicación del mismo.
• Teoría del muestreo para audio digital
• Revista dedicada a la teoría del muestreo.
• Huang, J.; Padmanabhan, K.; Collins, OM (junio de 2011). "El teorema de muestreo con pulsos de ancho variable de amplitud constante". Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas I: artículos habituales . 58 (6): 1178–90. doi :10.1109/TCSI.2010.2094350. S2CID  13590085.
• Lüke, Hans Dieter (abril de 1999). "Los orígenes del teorema de muestreo" (PDF) . Revista de comunicaciones IEEE . 37 (4): 106–108. CiteSeerX  10.1.1.163.2887 . doi : 10.1109/35.755459.

Sufficiency theorem for reconstructing signals from samples