Radio de estabilidad

Concepto en matemáticas

En matemáticas , el radio de estabilidad de un objeto (sistema, función , matriz , parámetro ) en un punto nominal dado es el radio de la bola más grande , centrada en el punto nominal, cuyos elementos satisfacen condiciones de estabilidad predeterminadas. La imagen de esta noción intuitiva es la siguiente:

donde denota el punto nominal, denota el espacio de todos los valores posibles del objeto , y el área sombreada, , representa el conjunto de puntos que satisfacen las condiciones de estabilidad. El radio del círculo azul, que se muestra en rojo, es el radio de estabilidad. ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P(s)}$

Definición abstracta

La definición formal de este concepto varía según el área de aplicación. La siguiente definición abstracta es bastante útil ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\hat {\rho }}({\hat {p}}):=\max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}}$

donde denota una bola cerrada de radio centrada en . ${\displaystyle B(\rho ,{\hat {p}})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

Historia

Parece que el concepto se inventó a principios de la década de 1960. ^{[3] [4]} En la década de 1980 se hizo popular en la teoría de control ^[5] y la optimización. ^[6] Se utiliza ampliamente como modelo de robustez local frente a pequeñas perturbaciones en un valor nominal dado del objeto de interés.

Relación con el modelo maximin de Wald

Se demostró ^[2] que el modelo de radio de estabilidad es una instancia del modelo maximin de Wald . Es decir,

${\displaystyle \max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}\equiv \max _{\rho \geq 0}\min _{p\in B(\rho ,{\hat {p}})}f(\rho ,p)}$

dónde

${\displaystyle f(\rho ,p)=\left\{{\begin{array}{cc}\rho &,\ p\in P(s)\\-\infty &,\ p\notin P(s)\end{array}}\right.}$

La gran penalización ( ) es un mecanismo para obligar al jugador a no perturbar el valor nominal más allá del radio de estabilidad del sistema. Es una indicación de que el modelo de estabilidad es un modelo de estabilidad/robustez local, en lugar de global. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \max }$

Teoría de la decisión basada en la brecha de información

La teoría de la decisión basada en la brecha de información es una teoría de decisión no probabilística reciente. Se afirma que es radicalmente diferente de todas las teorías actuales de decisión en condiciones de incertidumbre. Pero se ha demostrado ^[2] que su modelo de robustez, a saber:

${\displaystyle {\hat {\alpha }}(q,{\tilde {u}}):=\max \ \{\alpha \geq 0:r_{c}\leq R(q,u),\forall u\in U(\alpha ,{\tilde {u}})\}}$

es en realidad un modelo de radio de estabilidad caracterizado por un requisito de estabilidad simple de la forma donde denota la decisión bajo consideración, denota el parámetro de interés, denota la estimación del valor real de y denota una bola de radio centrada en . ${\displaystyle r_{c}\leq R(q,u)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U(\alpha ,{\tilde {u}})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\tilde {u}}}$

Dado que los modelos de radio de estabilidad están diseñados para lidiar con pequeñas perturbaciones en el valor nominal de un parámetro, el modelo de robustez de info-gap mide la robustez local de las decisiones en la vecindad de la estimación . ${\displaystyle {\tilde {u}}}$

Sniedovich ^[2] sostiene que por esta razón la teoría no es adecuada para el tratamiento de la incertidumbre severa caracterizada por una estimación pobre y un amplio espacio de incertidumbre.

Definición alternativa

Existen casos en los que resulta más conveniente definir el radio de estabilidad de forma ligeramente diferente. Por ejemplo, en muchas aplicaciones de la teoría de control, el radio de estabilidad se define como el tamaño de la perturbación desestabilizadora más pequeña en el valor nominal del parámetro de interés. ^[7] La ​​imagen es la siguiente:

Más formalmente,

${\displaystyle {\hat {\rho }}(q):=\min _{p\notin P(s)}dist(p,{\hat {p}})}$

donde denota la distancia de desde . ${\displaystyle dist(p,{\hat {p}})}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

Radio de estabilidad de funciones

El radio de estabilidad de una función continua f (en un espacio funcional F ) respecto de un dominio de estabilidad abierto D es la distancia entre f y el conjunto de funciones inestables (respecto a D ). Decimos que una función es estable respecto de D si su espectro está en D . Aquí, la noción de espectro se define caso por caso, como se explica a continuación.

Definición

Formalmente, si denotamos el conjunto de funciones estables por S(D) y el radio de estabilidad por r(f,D) , entonces:

${\displaystyle r(f,D)=\inf _{g\in C}\{\|g\|:f+g\notin S(D)\},}$

donde C es un subconjunto de F .

Nótese que si f ya es inestable (con respecto a D ), entonces r(f,D)=0 (siempre que C contenga cero).

Aplicaciones

La noción de radio de estabilidad se aplica generalmente a funciones especiales como polinomios (el espectro son las raíces) y matrices (el espectro son los valores propios ). El caso en el que C es un subconjunto propio de F nos permite considerar perturbaciones estructuradas (por ejemplo, para una matriz, podríamos necesitar perturbaciones solo en la última fila). Es una medida interesante de robustez, por ejemplo, en la teoría de control .

Propiedades

Sea f un polinomio ( complejo ) de grado n , C=F el conjunto de polinomios de grado menor (o igual) que n (que identificamos aquí con el conjunto de coeficientes). Tomamos como D el disco unitario abierto , lo que significa que buscamos la distancia entre un polinomio y el conjunto de polinomios estables de Schur . Entonces: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

${\displaystyle r(f,D)=\inf _{z\in \partial D}{\frac {|f(z)|}{\|q(z)\|}},}$

donde q contiene cada vector base (por ejemplo, cuando q es la base de potencia habitual). Este resultado significa que el radio de estabilidad está limitado por el valor mínimo que f alcanza en el círculo unitario. ${\displaystyle q(z)=(1,z,\ldots ,z^{n})}$

Ejemplos

• El polinomio (cuyos ceros son las raíces octavas de 0,9 ) tiene un radio de estabilidad de 1/80 si q es la base de potencia y la norma es la norma de infinito. Por lo tanto, debe existir un polinomio g con norma (de infinito) 1/90 tal que f+g tenga (al menos) una raíz en el círculo unitario. Un g de este tipo es, por ejemplo , . De hecho, (f+g)(1)=0 y 1 está en el círculo unitario, lo que significa que f+g es inestable. ${\displaystyle f(z)=z^{8}-9/10}$ ${\displaystyle g(z)=-1/90\sum _{i=0}^{8}z^{i}}$

Véase también

• polinomio estable
• Modelo maximin de Wald

Referencias

1. Zlobec S. (2009). Optimización no diferenciable: programación paramétrica. Pp. 2607-2615, en Encyclopedia of Optimization, Floudas CA y Pardalos, PM editors, Springer.
2. Sniedovich, M. (2010). Una perspectiva general de la teoría de decisiones basada en la brecha de información. Journal of Risk Finance, 11(3), 268-283.
3. Wilf, HS (1960). Integración numérica de máxima estabilidad. Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 8(3),537-540.
4. Milne, WE y Reynolds, RR (1962). Métodos de quinto orden para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Journal of the ACM, 9(1), 64-70.
5. Hindrichsen, D. y Pritchard, AJ (1986). Radios de estabilidad de sistemas lineales, Systems and Control Letters, 7, 1-10.
6. Zlobec S. (1988). Caracterización de la optimalidad en modelos de programación matemática. Acta Applicandae Mathematicae, 12, 113-180.
7. Paice ADB y Wirth, FR (1998). Análisis de la robustez local de la estabilidad para flujos. Matemáticas de control, señales y sistemas , 11, 289-302.