raíz cúbica

Número cuyo cubo es un número dado

En matemáticas , una raíz cúbica de un número x es un número y tal que y ³ = x . Todos los números reales distintos de cero tienen exactamente una raíz cúbica real y un par de raíces cúbicas complejas conjugadas , y todos los números complejos distintos de cero tienen tres raíces cúbicas complejas distintas. Por ejemplo, la raíz cúbica real de 8 , denotada , es 2 , porque 2 ³ = 8 , mientras que las otras raíces cúbicas de 8 son y . Las tres raíces cúbicas de −27 i son: ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}$ ${\displaystyle -1+i{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle -1-i{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle 3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i,\quad {\text{and}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.}$

En algunos contextos, particularmente cuando el número cuya raíz cúbica se va a tomar es un número real, una de las raíces cúbicas (en este caso particular la real) se denomina raíz cúbica principal , denotada con el signo radical El cubo raíz es la función inversa de la función cúbica si se consideran solo números reales, pero no si se consideran también números complejos: aunque siempre se tiene, el cubo de un número distinto de cero tiene más de una raíz cúbica compleja y su raíz cúbica principal puede no ser el número eso fue al cubo. Por ejemplo, pero ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{~^{~}}}.}$ ${\displaystyle \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x,}$ ${\displaystyle (-1+i{\sqrt {3}})^{3}=8}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2.}$

Gráfica de y = ³ √ x . La gráfica es simétrica con respecto al origen, al ser una función impar . En x = 0 esta gráfica tiene una tangente vertical .

Un cubo unitario (lado = 1) y un cubo con el doble de volumen (lado = ³ √ 2 = 1,2599... OEIS : A002580 ).

Definicion formal

Las raíces cúbicas de un número x son los números y que satisfacen la ecuación.

${\displaystyle y^{3}=x.\ }$

Propiedades

Numeros reales

Para cualquier número real x , existe un número real y tal que y ³  =  x . La función cúbica es creciente, por lo que no da el mismo resultado para dos entradas diferentes y cubre todos los números reales. En otras palabras, es una biyección o uno a uno. Entonces podemos definir una función inversa que también sea uno a uno. Para los números reales, podemos definir una raíz cúbica única de todos los números reales. Si se utiliza esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número negativo.

Las tres raíces cúbicas de 1.

Si se permite que x e y sean complejos , entonces hay tres soluciones (si x es distinto de cero), por lo que x tiene tres raíces cúbicas. Un número real tiene una raíz cúbica real y dos raíces cúbicas más que forman un par conjugado complejo . Por ejemplo, las raíces cúbicas de 1 son:

${\displaystyle 1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

Las dos últimas de estas raíces conducen a una relación entre todas las raíces de cualquier número real o complejo. Si un número es una raíz cúbica de un número real o complejo en particular, las otras dos raíces cúbicas se pueden encontrar multiplicando esa raíz cúbica por una u otra de las dos raíces cúbicas complejas de 1.

Números complejos

Gráfico de la raíz cúbica compleja junto con sus dos hojas adicionales. La primera imagen muestra la rama principal, que se describe en el texto.

Superficie de Riemann de la raíz cúbica. Se puede ver cómo encajan las tres hojas.

Para números complejos, la raíz cúbica principal suele definirse como la raíz cúbica que tiene la mayor parte real o, de manera equivalente, la raíz cúbica cuyo argumento tiene el menor valor absoluto . Está relacionado con el valor principal del logaritmo natural mediante la fórmula

${\displaystyle x^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).}$

Si escribimos x como

${\displaystyle x=r\exp(i\theta )\,}$

donde r es un número real no negativo y θ se encuentra en el rango

${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$,

entonces la raíz cúbica compleja principal es

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}$

Esto significa que en coordenadas polares , estamos tomando la raíz cúbica del radio y dividiendo el ángulo polar por tres para poder definir una raíz cúbica. Con esta definición, la raíz cúbica principal de un número negativo es un número complejo y, por ejemplo, ³ √ −8 no será −2, sino 1 + i √ 3 .

Esta dificultad también puede resolverse considerando la raíz cúbica como una función multivaluada : si escribimos el número complejo original x en tres formas equivalentes, a saber

${\displaystyle x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}}$

Representación geométrica de las raíces 2.ª a 6.ª de un número complejo z , en forma polar re ^iφ  donde r = | z  | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Las principales raíces cúbicas complejas de estas tres formas son respectivamente

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}}$

A menos que x = 0 , estos tres números complejos son distintos, aunque las tres representaciones de x fueran equivalentes. Por ejemplo, ³ √ −8 se puede calcular como −2, 1 + i √ 3 o 1 − i √ 3 .

Esto está relacionado con el concepto de monodromía : si se sigue por continuidad la función raíz cúbica a lo largo de un camino cerrado alrededor de cero, después de un giro el valor de la raíz cúbica se multiplica (o divide) por ${\displaystyle e^{2i\pi /3}.}$

Imposibilidad de construcción con compás y regla.

Las raíces cúbicas surgen en el problema de encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de un ángulo dado ( trisección de ángulo ) y en el problema de encontrar la arista de un cubo cuyo volumen sea el doble que el de un cubo con una arista dada ( duplicar el cubo ). En 1837, Pierre Wantzel demostró que ninguna de estas cosas se puede hacer con una construcción con compás y regla .

Métodos numéricos

El método de Newton es un método iterativo que se puede utilizar para calcular la raíz cúbica. Para números reales de coma flotante, este método se reduce al siguiente algoritmo iterativo para producir aproximaciones sucesivamente mejores de la raíz cúbica de a :

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).}$

El método consiste simplemente en promediar tres factores elegidos de modo que

${\displaystyle x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a}$

en cada iteración.

El método de Halley mejora esto con un algoritmo que converge más rápidamente con cada iteración, aunque con más trabajo por iteración:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).}$

Esto converge cúbicamente , por lo que dos iteraciones realizan tanto trabajo como tres iteraciones del método de Newton. Cada iteración del método de Newton cuesta dos multiplicaciones, una suma y una división, suponiendo que ⁠1/3⁠ a se calcula previamente, por lo que tres iteraciones más el cálculo previo requieren siete multiplicaciones, tres sumas y tres divisiones.

Cada iteración del método de Halley requiere tres multiplicaciones, tres sumas y una división, ^[1] por lo que dos iteraciones cuestan seis multiplicaciones, seis sumas y dos divisiones. Por tanto, el método de Halley tiene el potencial de ser más rápido si una división es más cara que tres adiciones.

Con cualquiera de los métodos, una mala aproximación inicial de x ₀ puede dar lugar a un rendimiento del algoritmo muy pobre, y llegar a una buena aproximación inicial es una especie de arte oscuro. Algunas implementaciones manipulan los bits exponentes del número de punto flotante; es decir, llegan a una aproximación inicial dividiendo el exponente por 3. ^[1]

También es útil esta fracción continua generalizada , basada en el método de la raíz enésima :

Si x es una buena primera aproximación a la raíz cúbica de a y y = a − x ³ , entonces:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.}$

La segunda ecuación combina cada par de fracciones de la primera en una sola fracción, duplicando así la velocidad de convergencia.

Aparición en soluciones de ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Las ecuaciones cúbicas , que son ecuaciones polinómicas de tercer grado (lo que significa que la potencia más alta de la incógnita es 3) siempre se pueden resolver para sus tres soluciones en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas (aunque existen expresiones más simples solo en términos de raíces cuadradas para las tres soluciones, si al menos una de ellas es un número racional ). Si dos de las soluciones son números complejos, entonces las tres expresiones de solución involucran la raíz cúbica real de un número real, mientras que si las tres soluciones son números reales, entonces pueden expresarse en términos de la raíz cúbica compleja de un número complejo .

Las ecuaciones cuárticas también se pueden resolver en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas.

Historia

El cálculo de las raíces cúbicas se remonta a los matemáticos babilónicos ya en el año 1800 a. C. ^[2] En el siglo IV a. C., Platón planteó el problema de duplicar el cubo , lo que requería una construcción con compás y regla de la arista de un cubo con el doble del volumen de un cubo dado; esto requirió la construcción, ahora conocida como imposible, de la longitud ³ √ 2 .

Un método para extraer raíces cúbicas aparece en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a.C. y comentado por Liu Hui en el siglo III d.C. ^[3] El matemático griego Héroe de Alejandría ideó un método para calcular raíces cúbicas en el siglo I d.C. Su fórmula es mencionada nuevamente por Eutokios en un comentario sobre Arquímedes . ^[4] En 499 EC, Aryabhata , un matemático y astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , dio un método para encontrar la raíz cúbica de números que tienen muchos dígitos en Aryabhatiya (sección 2.5). ^[5]

Ver también

• Métodos para calcular raíces cuadradas
• Lista de temas de polinomios
• raíz enésima
• Raíz cuadrada
• radical anidado
• Raíz de la unidad

Referencias

1. "En busca de una raíz cúbica rápida". metamerist.com . 2008. Archivado desde el original el 27 de diciembre de 2013.
2. Saggs, HWF (1989). Civilización anterior a Grecia y Roma . Prensa de la Universidad de Yale. pag. 227.ISBN​ 978-0-300-05031-8.
3. Crossley, Juan; WC. Lun, Anthony (1999). Los nueve capítulos sobre el arte matemático: acompañamiento y comentario. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 213.ISBN​ 978-0-19-853936-0.
4. Smyly, J. Gilbart (1920). "Fórmula de Heron para la raíz cúbica". Hermatena . 19 (42). Trinity College de Dublín: 64–67. JSTOR  23037103.
5. Aryabhatiya Archivado el 15 de agosto de 2011 en archive.today Marathi : आर्यभटीय , Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p. 62, ISBN 978-81-7434-480-9 

enlaces externos

• La calculadora de raíz cúbica reduce cualquier número a la forma radical más simple
• Computing the Cube Root, Ken Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998. Incluye código fuente en C.
• Weisstein, Eric W. "Raíz cúbica". MundoMatemático .