Número de Knudsen

Número adimensional relativo a la trayectoria libre media de una partícula

El número de Knudsen ( Kn ) es un número adimensional definido como la relación entre la longitud media del recorrido libre molecular y una escala de longitud física representativa . Esta escala de longitud podría ser, por ejemplo, el radio de un cuerpo en un fluido. El número recibe su nombre del físico danés Martin Knudsen (1871–1949).

El número de Knudsen ayuda a determinar si se debe utilizar la mecánica estadística o la formulación de la mecánica de medios continuos de la dinámica de fluidos para modelar una situación. Si el número de Knudsen es cercano o mayor que uno, el recorrido libre medio de una molécula es comparable a una escala de longitud del problema y el supuesto de medio continuo de la mecánica de fluidos ya no es una buena aproximación. En tales casos, se deben utilizar métodos estadísticos.

Definición

El número de Knudsen es un número adimensional definido como

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}},}$

dónde

${\displaystyle \lambda }$= recorrido libre medio [L ¹ ],

${\displaystyle L}$= escala de longitud física representativa [L ¹ ].

La escala de longitud representativa considerada, , puede corresponder a varios rasgos físicos de un sistema, pero más comúnmente se relaciona con una longitud de espacio sobre la cual ocurre el transporte térmico o el transporte de masa a través de una fase gaseosa. Este es el caso en materiales porosos y granulares, donde el transporte térmico a través de una fase gaseosa depende en gran medida de su presión y el consiguiente camino libre medio de las moléculas en esta fase. ^[1] Para un gas de Boltzmann , el camino libre medio se puede calcular fácilmente, de modo que ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}pL}}={\frac {k_{\text{B}}}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}\rho R_{s}L}},}$

dónde

${\displaystyle k_{\text{B}}}$es la constante de Boltzmann (1,380649 × 10 ⁻²³ J/K en unidades SI ) [M ¹ L ² T ⁻² Θ ⁻¹ ],

${\displaystyle T}$es la temperatura termodinámica [θ ¹ ],

${\displaystyle d}$es el diámetro de la capa dura de la partícula [L ¹ ],

${\displaystyle p}$es la presión estática [M ¹ L ⁻¹ T ⁻² ],

${\displaystyle R_{s}}$es la constante específica del gas [L ² T ⁻² θ ⁻¹ ] (287,05 J/(kg K) para el aire),

${\displaystyle \rho }$es la densidad [M ¹ L ⁻³ ].

Si se aumenta la temperatura, pero el volumen se mantiene constante, entonces el número de Knudsen (y el recorrido libre medio) no cambia (para un gas ideal ). En este caso, la densidad permanece igual. Si se aumenta la temperatura y se mantiene constante la presión , entonces el gas se expande y, por lo tanto, su densidad disminuye. En este caso, el recorrido libre medio aumenta y, con ello, el número de Knudsen. Por lo tanto, puede ser útil tener en cuenta que el recorrido libre medio (y, por lo tanto, el número de Knudsen) depende realmente de la variable termodinámica densidad (proporcional al recíproco de la densidad), y solo indirectamente de la temperatura y la presión.

Para la dinámica de partículas en la atmósfera , y suponiendo una temperatura y presión estándar , es decir, 0 °C y 1 atm, tenemos ≈ ${\displaystyle \lambda }$8 × 10 ⁻⁸  m (80 nm).

Relación con los números de Mach y Reynolds en los gases

El número de Knudsen se puede relacionar con el número de Mach y el número de Reynolds .

Utilizando la viscosidad dinámica

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}\rho {\bar {c}}\lambda ,}$

con la velocidad molecular promedio (de la distribución de Maxwell-Boltzmann )

${\displaystyle {\bar {c}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}},}$

El recorrido libre medio se determina de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}.}$

Dividiendo por L (una longitud característica), se obtiene el número de Knudsen:

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}},}$

dónde

${\displaystyle {\bar {c}}}$es la velocidad molecular promedio de la distribución de Maxwell-Boltzmann [L ¹ T ⁻¹ ],

T es la temperatura termodinámica [θ ¹ ],

μ es la viscosidad dinámica [M ¹ L ⁻¹ T ⁻¹ ],

m es la masa molecular [M ¹ ],

k _B es la constante de Boltzmann [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ ],

${\displaystyle \rho }$es la densidad [M ¹ L ⁻³ ].

El número de Mach adimensional se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {U_{\infty }}{c_{\text{s}}}},}$

donde la velocidad del sonido viene dada por

${\displaystyle c_{\text{s}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}},}$

dónde

U _∞ es la velocidad de corriente libre [L ¹ T ⁻¹ ],

R es la constante universal de los gases (en el SI , 8,314 47215 JK ⁻¹ mol ⁻¹ ) [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ mol ⁻¹ ],

M es la masa molar [M ¹ mol ⁻¹ ],

${\displaystyle \gamma }$es la relación de calores específicos [1].

El número de Reynolds adimensional se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho U_{\infty }L}{\mu }}.}$

Dividiendo el número de Mach por el número de Reynolds:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}={\frac {U_{\infty }/c_{\text{s}}}{\rho U_{\infty }L/\mu }}={\frac {\mu }{\rho Lc_{\text{s}}}}={\frac {\mu }{\rho L{\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}}$

y multiplicando por se obtiene el número de Knudsen: ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}=\mathrm {Kn} .}$

Por lo tanto, los números de Mach, Reynolds y Knudsen están relacionados por

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}.}$

Solicitud

El número de Knudsen se puede utilizar para determinar la rarefacción de un flujo: ^{[3] [4]}

• ${\displaystyle \mathrm {Kn} <0.01}$: Flujo continuo
• ${\displaystyle 0.01<\mathrm {Kn} <0.1}$: Flujo de deslizamiento
• ${\displaystyle 0.1<\mathrm {Kn} <10}$: Flujo de transición
• ${\displaystyle \mathrm {Kn} >10}$: Flujo molecular libre ^[5]

Esta clasificación de regímenes es empírica y depende del problema, pero ha demostrado ser útil para modelar adecuadamente los flujos. ^{[3] [6]}

Los problemas con números de Knudsen altos incluyen el cálculo del movimiento de una partícula de polvo a través de la atmósfera inferior y el movimiento de un satélite a través de la exosfera . Una de las aplicaciones más utilizadas para el número de Knudsen es en microfluídica y diseño de dispositivos MEMS donde los flujos varían desde continuos hasta moleculares libres. ^[3] En los últimos años, se ha aplicado en otras disciplinas como el transporte en medios porosos, por ejemplo, depósitos de petróleo. ^[4] Se dice que los movimientos de fluidos en situaciones con un número de Knudsen alto exhiben flujo de Knudsen , también llamado flujo molecular libre . ^{[ cita requerida ]}

El flujo de aire alrededor de una aeronave, como un avión de pasajeros, tiene un número de Knudsen bajo, lo que lo coloca firmemente en el ámbito de la mecánica de medios continuos. Al utilizar el número de Knudsen, se puede aplicar un ajuste de la ley de Stokes en el factor de corrección de Cunningham ; se trata de una corrección de la fuerza de arrastre debido al deslizamiento de partículas pequeñas (es decir, d _p  < 5 μm). El flujo de agua a través de una boquilla normalmente será una situación con un número de Knudsen bajo. ^[5]

Las mezclas de gases con diferentes masas moleculares se pueden separar parcialmente haciendo pasar la mezcla a través de pequeños agujeros en una pared delgada, ya que el número de moléculas que pasan a través de un agujero es proporcional a la presión del gas e inversamente proporcional a su masa molecular. La técnica se ha utilizado para separar mezclas isotópicas , como el uranio , utilizando membranas porosas, ^[7] También se ha demostrado con éxito su uso en la producción de hidrógeno a partir del agua. ^[8]

El número de Knudsen también desempeña un papel importante en la conducción térmica de los gases. En el caso de los materiales aislantes, por ejemplo, en los que los gases están contenidos a baja presión, el número de Knudsen debe ser lo más alto posible para garantizar una baja conductividad térmica . ^[9]

Véase también

• Factor de corrección de Cunningham  : número utilizado para corregir los cálculos de arrastre para partículas pequeñas en un fluido
• Dinámica de fluidos  : aspectos de la mecánica de fluidos que involucran el flujo
• Número de Mach  : relación entre la velocidad de un objeto que se mueve a través de un fluido y la velocidad local del sonido.
• Flujo molecular libre  : flujo de gas con un recorrido molecular libre medio relativamente grande
• Difusión de Knudsen  – Comportamiento de partículas en sistemas de longitud menor que el recorrido libre medio
• Paradoja de Knudsen  : flujo aparentemente anómalo en canales

Referencias

1. Dai; et al. (2016). "Conductividad térmica efectiva de polvos submicrónicos: un estudio numérico". Mecánica Aplicada y Materiales . 846 : 500–505. doi :10.4028/www.scientific.net/AMM.846.500. S2CID  114611104.
2. Dai, W.; et al. (2017). "Influencia de la presión del gas en la conductividad térmica efectiva de lechos de guijarros reproductores cerámicos". Ingeniería y diseño de fusión . 118 : 45–51. doi :10.1016/j.fusengdes.2017.03.073.
3. Karniadakis, G. y Beskok, A. y Aluru, N. (2000). Microflujos y nanoflujos: fundamentos y simulación . Springer.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Ziarani AS, Aguilera R., Cui XC (2020). Permeabilidad de formaciones compactas de arena y pizarra: un enfoque de mecanismo dual para yacimientos de micro y nanodarcy . Conferencia sobre recursos no convencionales de la SPE de Canadá. SPE-200010-MS. SPE. ISBN 978-1-61399-685-0.{{cite conference}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Laurendeau, Normand M. (2005). Termodinámica estadística: fundamentos y aplicaciones. Cambridge University Press. pág. 306. ISBN 0-521-84635-8., Apéndice N, página 434
6. Cussler, EL (1997). Difusión: transferencia de masa en sistemas de fluidos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-45078-0.
7. Villani, S. (1976). Separación de isótopos . Hinsdale, Ill.: Sociedad Nuclear Americana.
8. Kogan, A. (1998). "División solar térmica directa del agua y separación in situ de los productos - II. Estudio de viabilidad experimental". Revista internacional de energía del hidrógeno . 23 (2). Gran Bretaña: Elsevier Science Ltd: 89–98. doi :10.1016/S0360-3199(97)00038-4.
9. tec-science (27 de enero de 2020). «Conductividad térmica de los gases». tec-science . Consultado el 22 de marzo de 2020 .

Enlaces externos

• Calculadoras de difusividad y número de Knudsen