Intersección de línea y plano

Intersección geométrica de una línea y un plano en el espacio 3D

Las tres posibles relaciones plano-línea en tres dimensiones. (En cada caso se muestra solo una parte del plano, que se extiende infinitamente).

En geometría analítica , la intersección de una línea y un plano en el espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío , un punto o una línea. Es la línea completa si esa línea está inserta en el plano, y es el conjunto vacío si la línea es paralela al plano pero está fuera de él. De lo contrario, la línea corta el plano en un solo punto.

La distinción entre estos casos y la determinación de ecuaciones para el punto y la línea en los últimos casos tienen utilidad en gráficos de computadora , planificación de movimiento y detección de colisiones .

Forma algebraica

En notación vectorial , un plano se puede expresar como el conjunto de puntos para los cuales ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$

donde es un vector normal al plano y es un punto en el plano. (La notación denota el producto escalar de los vectores y .) ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

La ecuación vectorial de una línea es

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d\quad d\in \mathbb {R} }$

donde es un vector unitario en la dirección de la línea, es un punto en la línea y es un escalar en el dominio de los números reales . Sustituyendo la ecuación de la línea en la ecuación del plano se obtiene ${\displaystyle \mathbf {l} }$ ${\displaystyle \mathbf {l_{0}} }$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle ((\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d)-\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

La expansión da

${\displaystyle (\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} )\ d+(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

Y resolviendo obtenemos ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.}$

Si entonces la recta y el plano son paralelos, se darán dos casos: si entonces la recta está contenida en el plano, es decir, la recta corta al plano en cada punto de la recta, en caso contrario la recta y el plano no tienen intersección. ${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0}$ ${\displaystyle (\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$

Si hay un único punto de intersección, se puede calcular el valor de y el punto de intersección, , se da por ${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d}$.

Forma paramétrica

La intersección de la línea y el plano.

Una línea se describe por todos los puntos que están en una dirección dada desde un punto. Un punto general en una línea que pasa por puntos y se puede representar como ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})}$

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

¿De dónde apunta el vector a ? ${\displaystyle \mathbf {l} _{ab}=\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$

De manera similar, un punto general en un plano determinado por el triángulo definido por los puntos , y puede representarse como ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,\quad u,v\in \mathbb {R} ,}$

¿Dónde está el vector que apunta desde a , y es el vector que apunta desde a ? ${\displaystyle \mathbf {p} _{01}=\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{02}=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$

El punto en el que la línea interseca el plano se describe entonces fijando el punto de la línea igual al punto del plano, obteniéndose la ecuación paramétrica:

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t=\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v.}$

Esto se puede reescribir como

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=-\mathbf {l} _{ab}t+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,}$

que puede expresarse en forma matricial como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}},}$

donde los vectores se escriben como vectores columna.

Esto produce un sistema de ecuaciones lineales que se pueden resolver para , y . Si la solución satisface la condición , entonces el punto de intersección está en el segmento de línea entre y , de lo contrario está en otra parte de la línea. Del mismo modo, si la solución satisface , entonces el punto de intersección está en el paralelogramo formado por el punto y los vectores y . Si la solución satisface además , entonces el punto de intersección se encuentra en el triángulo formado por los tres puntos , y . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$ ${\displaystyle u,v\in [0,1],}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{01}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{02}}$ ${\displaystyle (u+v)\leq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$

El determinante de la matriz se puede calcular como

${\displaystyle \det({\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}})=-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}).}$

Si el determinante es cero, entonces no hay solución única; la recta está en el plano o es paralela a él.

Si existe una solución única (el determinante no es 0), entonces se puede encontrar invirtiendo la matriz y reordenando:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}},}$

que se expande a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}^{\mathrm {T} }\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}}$

y luego a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\end{bmatrix}},}$

Dando así las soluciones:

${\displaystyle t={\frac {{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle u={\frac {{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle v={\frac {{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}.}$

El punto de intersección es entonces igual a

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t}$

Usos

En el método de trazado de rayos de los gráficos por computadora, una superficie se puede representar como un conjunto de piezas de planos. La intersección de un rayo de luz con cada plano se utiliza para producir una imagen de la superficie. En la reconstrucción 3D basada en visión , un subcampo de la visión por computadora, los valores de profundidad se miden comúnmente mediante el llamado método de triangulación, que encuentra la intersección entre el plano de luz y el rayo reflejado hacia la cámara.

El algoritmo se puede generalizar para cubrir la intersección con otras figuras planas, en particular, la intersección de un poliedro con una línea .

Véase también

• Coordenadas de Plücker#Encuentro plano-línea calculando la intersección cuando la línea se expresa mediante coordenadas de Plücker.
• Intersección plano-plano

Enlaces externos

• Intersecciones de líneas, segmentos y planos (2D y 3D) de GeomAlgorithms.com

Referencias

• https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/1%3A_Vectors_in_Space/Intersection_of_a_Line_and_a_Plane