En matemáticas y física, una ecuación diferencial parcial no lineal es una ecuación diferencial parcial con términos no lineales . Describen muchos sistemas físicos diferentes, que van desde la gravitación hasta la dinámica de fluidos, y se han utilizado en matemáticas para resolver problemas como la conjetura de Poincaré y la conjetura de Calabi . Son difíciles de estudiar: casi no existen técnicas generales que funcionen para todas esas ecuaciones y, por lo general, cada ecuación individual debe estudiarse como un problema separado.
La distinción entre una ecuación diferencial parcial lineal y no lineal se realiza generalmente en términos de las propiedades del operador que define la propia EDP. [1]
Una cuestión fundamental para cualquier ecuación diferencial parcial es la existencia y unicidad de una solución para unas condiciones de contorno dadas. En el caso de las ecuaciones no lineales, estas cuestiones son, en general, muy difíciles: por ejemplo, la parte más difícil de la solución de Yau a la conjetura de Calabi fue la prueba de la existencia de una ecuación de Monge-Ampere . El problema abierto de la existencia (y suavidad) de soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes es uno de los siete problemas del Premio del Milenio en matemáticas.
Las cuestiones básicas sobre las singularidades (su formación, propagación y eliminación, y regularidad de las soluciones) son las mismas que para las EDP lineales, pero, como es habitual, mucho más difíciles de estudiar. En el caso lineal, se pueden utilizar simplemente espacios de distribuciones, pero las EDP no lineales no suelen definirse sobre distribuciones arbitrarias, por lo que se sustituyen los espacios de distribuciones por refinamientos como los espacios de Sobolev .
Un ejemplo de formación de singularidades lo ofrece el flujo de Ricci : Richard S. Hamilton demostró que, si bien existen soluciones de tiempo corto, las singularidades suelen formarse después de un tiempo finito. La solución de Grigori Perelman a la conjetura de Poincaré dependía de un estudio profundo de estas singularidades, donde demostró cómo continuar la solución más allá de las singularidades.
Las soluciones en un entorno de una solución conocida a veces se pueden estudiar linealizando la EDP alrededor de la solución. Esto corresponde al estudio del espacio tangente de un punto del espacio de módulos de todas las soluciones.
Lo ideal sería poder describir explícitamente el espacio (de módulos) de todas las soluciones, y para algunas EDP muy especiales esto es posible. (En general, este es un problema sin esperanza: es poco probable que exista alguna descripción útil de todas las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes , por ejemplo, ya que esto implicaría describir todos los posibles movimientos de fluidos). Si la ecuación tiene un grupo de simetría muy grande, entonces normalmente solo nos interesa el espacio de módulos de soluciones módulo el grupo de simetría, y este es a veces una variedad compacta de dimensión finita, posiblemente con singularidades; por ejemplo, esto sucede en el caso de las ecuaciones de Seiberg-Witten . Un caso ligeramente más complicado son las ecuaciones de Yang-Mills autoduales, cuando el espacio de módulos es de dimensión finita pero no necesariamente compacto, aunque a menudo se puede compactificar explícitamente. Otro caso en el que a veces se puede esperar describir todas las soluciones es el caso de los modelos completamente integrables, cuando las soluciones son a veces una especie de superposición de solitones ; esto sucede, por ejemplo, para la ecuación de Korteweg-de Vries .
A menudo es posible escribir algunas soluciones especiales explícitamente en términos de funciones elementales (aunque rara vez es posible describir todas las soluciones de esta manera). Una forma de encontrar tales soluciones explícitas es reducir las ecuaciones a ecuaciones de menor dimensión, preferiblemente ecuaciones diferenciales ordinarias, que a menudo se pueden resolver de manera exacta. Esto a veces se puede hacer utilizando la separación de variables o buscando soluciones altamente simétricas.
Algunas ecuaciones tienen varias soluciones exactas diferentes.
La solución numérica en una computadora es casi el único método que se puede utilizar para obtener información sobre sistemas arbitrarios de ecuaciones en derivadas parciales. Se ha realizado mucho trabajo, pero aún queda mucho por hacer en la resolución numérica de ciertos sistemas, especialmente para la ecuación de Navier-Stokes y otras ecuaciones relacionadas con la predicción meteorológica .
Si un sistema de ecuaciones en derivadas parciales se puede poner en forma de par Lax
entonces suele tener un número infinito de primeras integrales, que ayudan a estudiarlo.
Los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales suelen surgir como ecuaciones de Euler-Lagrange para un problema variacional. Los sistemas de esta forma a veces se pueden resolver hallando un extremo del problema variacional original.
Las ecuaciones en derivadas parciales que surgen de sistemas integrables suelen ser las más fáciles de estudiar y, en ocasiones, pueden resolverse por completo. Un ejemplo bien conocido es la ecuación de Korteweg-de Vries .
Algunos sistemas de ecuaciones en derivadas parciales tienen grandes grupos de simetría. Por ejemplo, las ecuaciones de Yang-Mills son invariantes bajo un grupo de calibración de dimensión infinita y muchos sistemas de ecuaciones (como las ecuaciones de campo de Einstein ) son invariantes bajo difeomorfismos de la variedad subyacente. Estos grupos de simetría se pueden utilizar normalmente para ayudar a estudiar las ecuaciones; en particular, si se conoce una solución, se pueden generar más de manera trivial actuando con el grupo de simetría.
A veces las ecuaciones son parabólicas o hiperbólicas "módulo la acción de algún grupo": por ejemplo, la ecuación de flujo de Ricci no es del todo parabólica, sino que es "parabólica módulo la acción del grupo de difeomorfismos", lo que implica que tiene la mayoría de las buenas propiedades de las ecuaciones parabólicas.
Vea la extensa lista de ecuaciones diferenciales parciales no lineales .
