En matemáticas y física teórica , una cuasiesférica es una generalización de la hiperesfera y del hiperplano al contexto de un espacio pseudoeuclidiano . Puede describirse como el conjunto de puntos para los cuales la forma cuadrática del espacio aplicada al vector de desplazamiento desde un punto central es un valor constante, con la inclusión de los hiperplanos como caso límite.
Este artículo utiliza la siguiente notación y terminología:
Una cuasiesférica es una subvariedad de un espacio pseudoeuclidiano E s , t que consiste en los puntos u para los cuales el vector de desplazamiento x = u − o desde un punto de referencia o satisface la ecuación
donde a , c ∈ R y b , x ∈ R s , t . [2] [d]
Dado que a = 0 está permitido, esta definición incluye hiperplanos; por lo tanto, es una generalización de círculos generalizados y sus análogos en cualquier número de dimensiones. Esta inclusión proporciona una estructura más regular bajo transformaciones conformes que si se omiten.
Esta definición se ha generalizado a espacios afines sobre números complejos y cuaterniones reemplazando la forma cuadrática por una forma hermítica . [3]
Una cuasiesférica P = { x ∈ X : Q ( x ) = k } en un espacio cuadrático ( X , Q ) tiene una contraesfera N = { x ∈ X : Q ( x ) = − k } . [e] Además, si k ≠ 0 y L es una línea isótropa en X que pasa por x = 0 , entonces L ∩ ( P ∪ N ) = ∅ , punzando la unión de la cuasiesférica y la contraesfera. Un ejemplo es la hipérbola unitaria que forma una cuasiesférica del plano hiperbólico , y su hipérbola conjugada , que es su contraesfera.
El centro de una cuasiesférica es un punto que tiene un cuadrado escalar igual a todos los puntos de la cuasiesférica, el punto en el que se encuentran los trazos de líneas normales a los hiperplanos tangentes. Si la cuasiesférica es un hiperplano, el centro es el punto en el infinito definido por este trazo.
Cuando a ≠ 0 , el vector de desplazamiento p del centro desde el punto de referencia y el cuadrado escalar radial r se pueden hallar de la siguiente manera. Ponemos Q ( x − p ) = r , y comparando con la ecuación definitoria anterior para una cuasiesférica, obtenemos
El caso de a = 0 puede interpretarse como que el centro p es un punto bien definido en el infinito con un cuadrado escalar radial infinito o cero (este último para el caso de un hiperplano nulo). Sin embargo, conocer p (y r ) en este caso no determina la posición del hiperplano, sino solo su orientación en el espacio.
El cuadrado escalar radial puede tomar un valor positivo, cero o negativo. Cuando la forma cuadrática es definida, aunque p y r se puedan determinar a partir de las expresiones anteriores, el conjunto de vectores x que satisfacen la ecuación definitoria puede estar vacío, como es el caso en un espacio euclidiano para un cuadrado escalar radial negativo.
Cualquier par de puntos, que no necesariamente deben ser distintos (incluida la opción de que hasta uno de ellos sea un punto en el infinito), define un diámetro de una cuasiesférica. La cuasiesférica es el conjunto de puntos para los cuales los dos vectores de desplazamiento de estos dos puntos son ortogonales.
Se puede seleccionar cualquier punto como centro (incluido un punto en el infinito), y cualquier otro punto de la cuasiesférica (que no sea un punto en el infinito) define un radio de una cuasiesférica y, por lo tanto, especifica la cuasiesférica.
En referencia a la forma cuadrática aplicada al vector de desplazamiento de un punto en la cuasiesférica desde el centro (es decir, Q ( x − p ) ) como el cuadrado escalar radial , en cualquier espacio pseudoeuclidiano las cuasiesféricas pueden separarse en tres conjuntos disjuntos: aquellas con un cuadrado escalar radial positivo, aquellas con un cuadrado escalar radial negativo y aquellas con un cuadrado escalar radial cero. [f]
En un espacio con una forma cuadrática definida positiva (es decir, un espacio euclidiano), una cuasiesférica con un cuadrado escalar radial negativo es el conjunto vacío, una con un cuadrado escalar radial cero consiste en un solo punto, una con un cuadrado escalar radial positivo es una n -esfera estándar, y una con curvatura cero es un hiperplano que está particionado con las n -esferas.
