prueba de rango logarítmico

Prueba de hipótesis para comparar las distribuciones de supervivencia de dos muestras.

La prueba de rangos logarítmicos , o prueba de rangos logarítmicos , es una prueba de hipótesis para comparar las distribuciones de supervivencia de dos muestras. Es una prueba no paramétrica y apropiada para usar cuando los datos están sesgados y censurados (técnicamente, la censura no debe ser informativa). Se utiliza ampliamente en ensayos clínicos para establecer la eficacia de un nuevo tratamiento en comparación con un tratamiento de control cuando la medición es el tiempo hasta el evento (como el tiempo desde el tratamiento inicial hasta un ataque cardíaco). La prueba a veces se denomina prueba de Mantel-Cox . La prueba de rango logarítmico también puede verse como una prueba de Cochran-Mantel-Haenszel estratificada en el tiempo .

La prueba fue propuesta por primera vez por Nathan Mantel y Richard y Julian Peto la denominaron prueba de rangos logarítmicos . ^{[1] [2] [3]}

Definición

La estadística de prueba de rango logarítmico compara estimaciones de las funciones de riesgo de los dos grupos en cada momento del evento observado. Se construye calculando el número observado y esperado de eventos en uno de los grupos en cada momento del evento observado y luego sumándolos para obtener un resumen general en todos los puntos temporales donde hay un evento.

Considere dos grupos de pacientes, por ejemplo, tratamiento versus control. Sean los distintos tiempos de los eventos observados en cada grupo. Sea y el número de sujetos "en riesgo" (que aún no han tenido un evento ni han sido censurados) al inicio del período en los grupos, respectivamente. Sea y el número observado de eventos en los grupos en el momento . Finalmente, defina y . ${\displaystyle 1,\ldots ,J}$ ${\displaystyle N_{1,j}}$ ${\displaystyle N_{2,j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle O_{1,j}}$ ${\displaystyle O_{2,j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}}$ ${\displaystyle O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}}$

La hipótesis nula es que los dos grupos tienen funciones de riesgo idénticas . Por lo tanto, bajo , para cada grupo , sigue una distribución hipergeométrica con parámetros , , . Esta distribución tiene valor esperado y varianza . ${\displaystyle H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle O_{i,j}}$ ${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle N_{i,j}}$ ${\displaystyle O_{j}}$ ${\displaystyle E_{i,j}=O_{j}{\frac {N_{i,j}}{N_{j}}}}$ ${\displaystyle V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)}$

Para todos , la estadística logrank se compara con su expectativa según . Se define como ${\displaystyle j=1,\ldots ,J}$ ${\displaystyle O_{i,j}}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle Z_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)}$      (para o ) ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle 2}$

Según el teorema del límite central , la distribución de cada uno converge a la de una distribución normal estándar cuando se acerca al infinito y, por lo tanto, puede aproximarse mediante la distribución normal estándar para una distribución suficientemente grande . Se puede obtener una aproximación mejorada equiparando esta cantidad a las distribuciones de Pearson tipo I o II (beta) con los primeros cuatro momentos coincidentes, como se describe en el Apéndice B del artículo de Peto y Peto. ^[2] ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Distribución asintótica

Si los dos grupos tienen la misma función de supervivencia, la estadística de rango logarítmico es aproximadamente normal estándar. Una prueba de nivel unilateral rechazará la hipótesis nula si donde está el cuantil superior de la distribución normal estándar. Si el índice de riesgo es , hay un total de sujetos, es la probabilidad de que un sujeto en cualquiera de los grupos eventualmente tenga un evento (por lo que ese es el número esperado de eventos en el momento del análisis) y la proporción de sujetos asignados al azar a cada grupo. es 50%, entonces el estadístico de rango logarítmico es aproximadamente normal con media y varianza 1. ^[4] Para una prueba de nivel unilateral con potencia , el tamaño de muestra requerido es donde y son los cuantiles de la distribución normal estándar. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Z>z_{\alpha }}$ ${\displaystyle z_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle nd}$ ${\displaystyle (\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1-\beta }$ ${\displaystyle n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}}$ ${\displaystyle z_{\alpha }}$ ${\displaystyle z_{\beta }}$

Distribución conjunta

Supongamos que y son las estadísticas de rango logarítmico en dos momentos diferentes en el mismo estudio ( anteriormente). Nuevamente, supongamos que las funciones de riesgo en los dos grupos son proporcionales al índice de riesgo y son las probabilidades de que un sujeto tenga un evento en los dos momentos en los que . y son aproximadamente normales bivariadas con medias y correlación . Se necesitan cálculos que involucran la distribución conjunta para mantener correctamente la tasa de error cuando los datos son examinados varias veces dentro de un estudio por un Comité de Monitoreo de Datos . ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}}$ ${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}}$

Relación con otras estadísticas

• La estadística de rango logarítmico se puede derivar como prueba de puntuación para el modelo de riesgos proporcionales de Cox que compara dos grupos. Por lo tanto, es asintóticamente equivalente al estadístico de prueba de razón de verosimilitud basado en ese modelo.
• El estadístico de rango logarítmico es asintóticamente equivalente al estadístico de prueba de razón de verosimilitud para cualquier familia de distribuciones con alternativa de riesgo proporcional. Por ejemplo, si los datos de las dos muestras tienen distribuciones exponenciales .
• Si es el estadístico de rango logarítmico, es el número de eventos observados y es la estimación del índice de riesgo, entonces . Esta relación es útil cuando se conocen dos de las cantidades (por ejemplo, a partir de un artículo publicado), pero se necesita la tercera. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ ${\displaystyle \log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}}$
• El estadístico logrank se puede utilizar cuando se censuran las observaciones. Si no hay observaciones censuradas en los datos, entonces la prueba de suma de rangos de Wilcoxon es apropiada.
• La estadística logrank da a todos los cálculos el mismo peso, independientemente del momento en que ocurre un evento. El estadístico de la prueba de rango logarítmico de Peto da más peso a eventos anteriores cuando hay una gran cantidad de observaciones.

Supuestos de prueba

La prueba de logrank se basa en los mismos supuestos que la curva de supervivencia de Kaplan-Meier , es decir, que la censura no está relacionada con el pronóstico, las probabilidades de supervivencia son las mismas para los sujetos reclutados al principio y al final del estudio, y los eventos ocurrieron en los momentos especificados. . Las desviaciones de estos supuestos son más importantes si se cumplen de manera diferente en los grupos que se comparan, por ejemplo, si la censura es más probable en un grupo que en otro. ^[5]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Estimador Kaplan-Meier
• Cociente de riesgo

Referencias

1. Mantel, Nathan (1966). "Evaluación de datos de supervivencia y dos nuevas estadísticas de orden de clasificación que surgen en su consideración". Informes de quimioterapia contra el cáncer . 50 (3): 163–70. PMID  5910392.
2. Peto, Richard ; Peto, Julián (1972). "Procedimientos de prueba de invariantes de rango asintóticamente eficientes". Revista de la Royal Statistical Society, Serie A. 135 (2). Publicación Blackwell: 185–207. doi :10.2307/2344317. hdl : 10338.dmlcz/103602 . JSTOR  2344317.
3. Harrington, David (2005). "Pruebas de rango lineal en análisis de supervivencia". Enciclopedia de Bioestadística . Wiley Interciencia. doi :10.1002/0470011815.b2a11047. ISBN 047084907X.
4. Schoenfeld, D (1981). "Las propiedades asintóticas de las pruebas no paramétricas para comparar distribuciones de supervivencia". Biometrika . 68 (1): 316–319. doi :10.1093/biomet/68.1.316. JSTOR  2335833.
5. Suave, JM ; Altman, DG (2004). "La prueba de rango logarítmico". BMJ . 328 (7447): 1073. doi :10.1136/bmj.328.7447.1073. PMC 403858 . PMID  15117797.