Propiedad de elevación

Teoría de categorías de conceptos (matemáticas)

En matemáticas , en particular en teoría de categorías , la propiedad de elevación es una propiedad de un par de morfismos en una categoría . Se utiliza en la teoría de homotopía dentro de la topología algebraica para definir propiedades de morfismos a partir de una clase explícitamente dada de morfismos. Aparece de manera destacada en la teoría de categorías modelo , un marco axiomático para la teoría de homotopía introducido por Daniel Quillen . También se utiliza en la definición de un sistema de factorización y de un sistema de factorización débil , nociones relacionadas con la noción de categoría modelo pero menos restrictivas que ella. Varias nociones elementales también pueden expresarse utilizando la propiedad de elevación a partir de una lista de (contra)ejemplos.

Definición formal

Un morfismo en una categoría tiene la propiedad de elevación izquierda con respecto a un morfismo , y también tiene la propiedad de elevación derecha con respecto a , a veces denotado o , si y solo si la siguiente implicación se cumple para cada morfismo y en la categoría: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\perp p}$ ${\displaystyle i\downarrow p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• si el cuadrado exterior del siguiente diagrama conmuta, entonces existe completando el diagrama, es decir para cada y tal que existe tal que y . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f:A\to X}$ ${\displaystyle g:B\to Y}$ ${\displaystyle p\circ f=g\circ i}$ ${\displaystyle h:B\to X}$ ${\displaystyle h\circ i=f}$ ${\displaystyle p\circ h=g}$

Esto a veces también se conoce como que el morfismo es ortogonal al morfismo ; sin embargo, esto también puede referirse a la propiedad más fuerte de que siempre que y sean como los anteriores, el morfismo diagonal existe y también se requiere que sea único. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Para una clase de morfismos en una categoría, su ortogonal izquierda o con respecto a la propiedad de sustentación, respectivamente su ortogonal derecha o , es la clase de todos los morfismos que tienen la propiedad de sustentación izquierda, respectivamente derecha, con respecto a cada morfismo en la clase . En notación, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\perp \ell }}$ ${\displaystyle C^{\perp }}$ ${\displaystyle C^{\perp r}}$ ${\displaystyle {}^{\perp }C}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp \ell }&:=\{i\mid \forall p\in C,i\perp p\}\\C^{\perp r}&:=\{p\mid \forall i\in C,i\perp p\}\end{aligned}}}$$

Tomar la ortogonal de una clase es una forma sencilla de definir una clase de morfismos excluyendo los no isomorfismos de , de una manera que resulta útil en un diagrama que persigue el cálculo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Así, en la categoría Conjunto de conjuntos , el ortogonal derecho de la no-sobreyección más simple es la clase de las sobreyecciones. Los ortogonales izquierdo y derecho de la no-inyección más simple son ambos precisamente la clase de las inyecciones. ${\displaystyle \{\emptyset \to \{*\}\}^{\perp r}}$ ${\displaystyle \emptyset \to \{*\},}$ ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\}\to \{*\},}$

$${\displaystyle \{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp \ell }=\{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp r}=\{f\mid f{\text{ is an injection }}\}.}$$

Está claro que y . La clase siempre está cerrada bajo retractos, pullbacks , (pequeños) productos (siempre que existan en la categoría) y composición de morfismos, y contiene todos los isomorfismos (es decir, morfismos invertibles) de la categoría subyacente. Mientras tanto, está cerrada bajo retractos, pushouts , (pequeños) coproductos y composición transfinita ( colimites filtrados ) de morfismos (siempre que existan en la categoría), y también contiene todos los isomorfismos. ${\displaystyle C^{\perp \ell r}\supset C}$ ${\displaystyle C^{\perp r\ell }\supset C}$ ${\displaystyle C^{\perp r}}$ ${\displaystyle C^{\perp \ell }}$

Ejemplos

Se pueden definir varias nociones pasando a la ortogonal izquierda o derecha varias veces a partir de una lista de ejemplos explícitos, es decir como , donde es una clase que consta de varios morfismos dados explícitamente. Una intuición útil es pensar que la propiedad de elevación a la izquierda contra una clase es una especie de negación de la propiedad de estar en , y que la elevación a la derecha también es una especie de negación. Por lo tanto, las clases obtenidas de tomando ortogonales un número impar de veces, como etc., representan varios tipos de negación de , por lo que cada uno consta de morfismos que están lejos de tener la propiedad . ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r},C^{\perp \ell \ell }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r\ell },C^{\perp \ell \ell \ell }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r\ell },C^{\perp \ell \ell \ell }}$ ${\displaystyle C}$

Ejemplos de propiedades de elevación en topología algebraica

Un mapa tiene la propiedad de elevación de ruta si y solo si donde es la inclusión de un punto final del intervalo cerrado en el intervalo . ${\displaystyle f:U\to B}$ ${\displaystyle \{0\}\to [0,1]\perp f}$ ${\displaystyle \{0\}\to [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Un mapa tiene la propiedad de elevación de homotopía si y solo si donde está el mapa . ${\displaystyle f:U\to B}$ ${\displaystyle X\to X\times [0,1]\perp f}$ ${\displaystyle X\to X\times [0,1]}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$

Ejemplos de propiedades de elevación provenientes de categorías de modelos

Fibraciones y cofibraciones.

• Sea Top la categoría de espacios topológicos y sea la clase de aplicaciones , incrustaciones del límite de una bola en la bola . Sea la clase de aplicaciones que incrustan la semiesfera superior en el disco. son las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones. ^[1] ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle S^{n}\to D^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}}$ ${\displaystyle D^{n+1}}$ ${\displaystyle WC_{0}}$ ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

• Sea sSet la categoría de conjuntos simpliciales . Sea la clase de inclusiones de contorno , y sea la clase de inclusiones córneas . Entonces las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones son, respectivamente, . ^[2] ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \partial \Delta [n]\to \Delta [n]}$ ${\displaystyle WC_{0}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{i}[n]\to \Delta [n]}$ ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

• Sea la categoría de complejos de cadena sobre un anillo conmutativo . Sea la clase de aplicaciones de la forma ${\displaystyle \mathbf {Ch} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{0}}$

$${\displaystyle \cdots \to 0\to R\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots ,}$$

y ser ${\displaystyle WC_{0}}$

$${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots .}$$

Luego están las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones. ^[3] ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

Ejemplos elementales en varias categorías

En conjunto ,

• ${\displaystyle \{\emptyset \to \{*\}\}^{\perp r}}$es la clase de sobreyecciones,

• ${\displaystyle (\{a,b\}\to \{*\})^{\perp r}=(\{a,b\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$es la clase de inyecciones.

En la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo , ${\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$ ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp r},\{R\to 0\}^{\perp r}}$es la clase de sobreyecciones, respectivamente inyecciones,

• Un módulo es proyectivo , resp. inyectivo , si y solo si está en , resp. está en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to M}$ ${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp r\ell }}$ ${\displaystyle M\to 0}$ ${\displaystyle \{R\to 0\}^{\perp rr}}$

En la categoría de grupos , ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$

• ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \to 0\}^{\perp r}}$, resp. , es la clase de inyecciones, resp. sobreyecciones (donde denota el grupo cíclico infinito ), ${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Un grupo es un grupo libre si y solo si está en ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0\to F}$ ${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r\ell },}$

• Un grupo está libre de torsión si y solo si está en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\to A}$ ${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r},}$

• Un subgrupo de es puro si y solo si está en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}.}$

Para un grupo finito , ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle \{0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\}\perp 1\to G}$si y solo si el orden de es primo a si y solo si , ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{{\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\to 0\}\perp G\to 1}$

• ${\displaystyle G\to 1\in (0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })^{\perp rr}}$iff es un -grupo , ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

• ${\displaystyle H}$es nilpotente si y solo si el mapa diagonal está en donde denota la clase de mapas ${\displaystyle H\to H\times H}$ ${\displaystyle (1\to *)^{\perp \ell r}}$ ${\displaystyle (1\to *)}$ ${\displaystyle \{1\to G:G{\text{ arbitrary}}\},}$

• Un grupo finito es soluble si y solo si está en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1\to H}$ $${\displaystyle \{0\to A:A{\text{ abelian}}\}^{\perp \ell r}=\{[G,G]\to G:G{\text{ arbitrary }}\}^{\perp \ell r}.}$$

En la categoría de espacios topológicos, sea , resp. el espacio discreto , resp. antidiscreto con dos puntos 0 y 1. Sea el espacio de Sierpinski de dos puntos donde el punto 0 está abierto y el punto 1 está cerrado, y sea etc. las incrustaciones obvias. ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \{0\leftrightarrow 1\}}$ ${\displaystyle \{0\to 1\}}$ ${\displaystyle \{0\}\to \{0\to 1\},\{1\}\to \{0\to 1\}}$

• un espacio satisface el axioma de separación T si y solo si está en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \{*\}}$ ${\displaystyle (\{0\leftrightarrow 1\}\to \{*\})^{\perp r},}$

• un espacio satisface el axioma de separación T 1 si y solo si está en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset \to X}$ ${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp r},}$

• ${\displaystyle (\{1\}\to \{0\to 1\})^{\perp \ell }}$es la clase de mapas con imagen densa ,

• ${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$es la clase de mapas tales que la topología en es el pullback de la topología en , es decir, la topología en es la topología con el menor número de conjuntos abiertos tales que el mapa es continuo , ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r}}$es la clase de mapas sobreyectivos,

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell }}$es la clase de mapas de forma donde es discreto, ${\displaystyle A\to A\cup D}$ ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell \ell }=(\{a\}\to \{a,b\})^{\perp \ell }}$es la clase de mapas tales que cada componente conectado de interseca , ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} A}$

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp r}}$es la clase de mapas inyectivos,

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$es la clase de mapas tales que la preimagen de un subconjunto abierto cerrado conexo de es un subconjunto abierto cerrado conexo de , p. ej., está conexo si y solo si está en , ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \{*\}}$ ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$

• Para un espacio conectado , cada función continua en está acotada si y solo si donde es la función de la unión disjunta de intervalos abiertos en la línea real. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset \to X\perp \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-n,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• un espacio es de Hausdorff sólo si y sólo si para cualquier mapa inyectivo , se cumple donde denota el espacio de tres puntos con dos puntos abiertos y , y un punto cerrado , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X\perp \{a\to x\leftarrow b\}\to \{*\}}$ ${\displaystyle \{a\leftarrow x\to b\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

• un espacio es perfectamente normal si y solo si donde el intervalo abierto tiende a  , y se asigna al punto , y se asigna al punto , y denota el espacio de tres puntos con dos puntos cerrados y un punto abierto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset \to X\perp [0,1]\to \{0\leftarrow x\to 1\}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{0\leftarrow x\to 1\}}$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle x}$

En la categoría de espacios métricos con mapas uniformemente continuos .

• Un espacio es completo si y solo si donde es la inclusión obvia entre los dos subespacios de la línea real con métrica inducida, y es el espacio métrico que consiste en un solo punto, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp X\to \{0\}}$ ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{0\}}$

• Un subespacio es cerrado si y solo si ${\displaystyle i:A\to X}$ ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp A\to X.}$

Notas

1. Hovey, Mark. Categorías de modelos.Definición 2.4.3, Tesis 2.4.9
2. Hovey, Mark. Categorías de modelos.Definición 3.2.1, Tesis 3.6.5
3. Hovey, Mark. Categorías de modelos.Definición 2.3.3, Tesis 2.3.11

Referencias

• Hovey, Mark (1999). Categorías de modelos.
• JP May y K. Ponto, Topología algebraica más concisa: localización, completitud y categorías de modelos